Алгебра измеримых множеств

Определение 11.1 . Динамическая система (М, //, (р) называется ii-системой , если существует подалгебра 21 алгебры измеримых множеств (mod 0) 1 (см. приложение 6) такая, что [c.38]

Проводя рассуждения с прямоугольниками, стороны которых параллельны осям Ох и Оу, и замечая, что эти прямоугольники образуют базис алгебры измеримых множеств, мы видим, что (р сохраняет меру /1 (р А) = 1л А) для любого измеримого множества А, [c.142]

Поверхность сечения 97, 228 Подалгебра алгебры измеримых множеств 151 Поле Якоби 186 [c.279]

Тогда множество Е называется измеримым, если для каждого АСХ выполнено равенство у, (А) = ii (A П Л ) -I- ц (А Е). Совокупность измеримых множеств образует сг-алгебру, а /м определяет меру на ией. [c.715]

За доказательством этой теоремы мы отсылаем читателя к теореме С из раздела 41 [111]. Каждая мера канонически продолжается до полной меры на пополнении 5. Например, отметим, что 7--алгебра измеримых по Лебегу множеств представляет собой пополнение относительно меры Лебега сг-алгебры борелевских множеств. Пусть (Х,5,ц) и (Y,T,v) — пространства с мерами. Тогда отображение f X - У (определенное п. в) называется изоморфизмом пространств с мерами X и У, если / индуцирует изоморфизм S - Т пополнений S и Т. Пространства с мерами могут быть, таким образом, классифицированы с точностью до изоморфизма, и они изоморфны тогда и только тогда, когда их измеримые сг-алгебры изоморфны. [c.715]

Теорема П 6.3. Пространство с мерой (X, S, /г) изоморфно стандартному пространству с мерой ([0,1], М, Л), где М — (г-алгебра измеримых по Лебегу множеств на [О, 1], тогда и только тогда, когда fi —неатомарная сепарабельная вероятностная мера с полным базисом. В этом случае каждый базис полон. [c.715]

Измеримая а-алгебра множества М. Это — бт-алгебра, порожденная множествами вида [c.16]

Мерой называется а-аддитивная функция ц 5 - и оо , т. е. такая функция, что A (U i) = S м(- г) множества попарно ие пересекаются. Измеримая (г-алгебра — [c.714]

Определение 1118.5. Пусть а — измеримое разбиение. Множество счетных объединений элементов разбиения а называется алгеброй ШТ(о ), порожденной разбиением а. [c.158]

М — произвольное множество, а — выделенная ст-алгебра его подмножеств. В дальнейшем М будет фазовым пространством динамической системы. Что касается Jt, то выбор ее во всех конкретных случаях не вызывает затруднений. Мы будем пользоваться ниже понятиями прям ого произведения измеримых пространств и. й -измеримой функции. [c.7]

Хотя в нашем изложении траекторная теория выглядела чисто геометрически, имеется ее функционально-алгебраическая версия. Более того, она, как уже отмечалось, формировалась одновременно с геометрическим языком. Напомним, что измеримое разбиение описывается адекватно кольцом функций (из или Ь ), постоянных на элементах разбиения. Поэтому теория измеримых разбиений или о-подалгебр о-алгебры измеримых множеств есть теория подколец коммутативного кольца Ь". Поскольку траекторные разбиения в наиболее интересных случаях не являются измеримыми, то подобного эквивалента здесь нет Выход оказывается в том, чтобы рассматривать некоммутативные алгебры. Исторически это построение было впервые приведено в статье [99] в форме скрещенного произведения по действию группы и лишь гораздо позже было осознано, что это скрещенное произведение фактически зависит лишь от траекторного разбиения, а не от действия. Эта широко известная конструкция используется как для изучения С - и 1 -алгебр, факторов, представлений и построения примеров с помощью эргодической теории, так и наоборот, для изучения динамических систем, траекторных разбиений", слоений и др. с помощью алгебраических методов. Вот в чем она состоит. [c.105]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

Определение П17Л. Подалгебра измеримых множеств 2I алгебры 1 есть часть этой алгебры, замкнутая относительно взятия счетного объединения и перехода к дополнению [c.151]

Напомним, что если найдется вероятностное (О, Т, Р) пространство с потоком сг-алгебр [ 0, 1] и такая пара процессов [х(1 согласованных с этим потоком, что процесс будет винеровским, а процессы х 1) и с вероятностью 1 связаны соотношением (12.1) при всех I [ о, ], где Г 1, т) x t) — измеримая на множестве определения вектор-функция, то такую пару процессов (ж( ), w t)) называют слабым решением уравнения (12.1), в отличие от сильного, когда процесс х Ь) при каждом Ь -измерим и с вероятностью 1 соотношение (12.1) выполняется для всех t [ о, 1]. [c.361]

ПО алгебре функций на Г (которые в этом случае мы будем рассматривать как обобщенные наблюдаемые ), то естественным кандидатом будет С -алгебра S (Г) всех комплекснозначных ограниченных и измеримых по Бэру функций на Г. Поскольку пространство Г компактно и, следовательно, измеримо по Бэру, измеримость по Бэру функции / означает просто, что f М) есть множество Бэра, если М — борелевское множество в С. Заметим ), что всякая непрерывная функция на Г измерима по Бэру, вследствие чего (5 (Г) есть -подалгебра С -ал-гебры 2(Г). Если есть а-кольцо подмножеств пространства Г, то эквивалентны следующие условия [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...