Евклидово преобразование координат

Наиболее общее евклидово преобразование координат имеет вид [c.287]

Евклидово преобразование координат 287 [c.521]

В случае декартовой системы координат все пространство можно себе представить состоящим из множества бесконечно малых параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При преобразовании координат. точек этого пространства к криволинейным координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее остается прежним евклидовым пространством. [c.83]

Формально закон движения среды в евклидовом пространстве (3.22), (3.23) представляет взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое преобразование множества точек, заключенного в объеме Уо и ограниченного поверхностью Еа Уо — начальный объем, 2о — граница среды) во множество точек х, заключенное в объеме У с границей 2 время I является параметром преобразования. При этом окрестность каждой точки х аффинно преобразуется в окрестность соответствующей точки х. Теория деформаций, следовательно, опирается на дифференциальную геометрию, соответствующую преобразованиям координат (3.22), (3.23). [c.68]

Но пространство в деформируемой среде, отнесенное к координатам Лагранжа, связано с евклидовым пространством, отнесенным к координатам Эйлера, формулами точечного преобразования (IV. 79), которые, по предположению, взаимно однозначны. Следовательно, и в деформированной среде можно ввести евклидову метрику, т. е. пространство в деформированной среде является евклидовым. [c.504]

Преобразование Лоренца соответствует поворотам системы координат в пространстве — времени. В специальной теории относительности доказывается инвариантность физических законов только относительно этого типа преобразований. Обычная векторная алгебра дает нам систему обозначений, не зависящую от какой-либо конкретной системы координат в обычном трехмерном пространстве. Значение открытия Эйнштейна состоит в обобщении собственно преобразования Лоренца и простой геометрии четырехмерного пространства — времени.. В общей теории относительности Эйнштейн доказал возможность выразить физические законы в форме, независимой от любых преобразований я пространстве — времени, а не только преобразований перехода от одной неускоренной системы отсчета к другой. При этом четырехмерное пространство — время уже не является пространством с евклидовой геометрией — наоборот, оно может обладать кривизной. [c.371]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

Преобразования Лоренца. Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются преобразованиями Лоренца . Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами = ix, Xj = iy, x = iz, Xi = t. Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму [c.344]

Можно сказать, что каждая из координат изменяется в границах — оо, + со с непрерывным взаимно однозначным соответствием между конфигурациями (или точками пространства Q) и множеством значений qi, q2,. . . ). Это простейший случай (евклидова топология). Мы не должны, однако, применять обязательно только эти координаты мы можем перейти к другим, при условии, что в рассматриваемой области пространства Q преобразование гладкое и его якобиан отличен от нуля. [c.206]

Для изображения состояний и процессов в МСС используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат и классическое время. Выбор системы координат произволен и не должен сказываться на физических следствиях получаемых уравнений. Значит, математические объекты, характеризующие физические явления, не должны зависеть от частного выбора системы координат, а физические законы должны выражаться через эти объекты математическими соотношениями, инвариантными относительно преобразований системы координат. [c.50]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Тензоры в евклидовом пространстве. Тензором второго ранга (или тензорным полем) называется объект, задаваемый набором девяти функций Tik (х) в системе координат х, которые при собственном преобразовании (1.5) преобразуются по правилу [8] [c.17]

Аналогия Колосова и ее обобщения. В работе Г. В. Колосова [101] приведено преобразование фазовых переменных и времени, сводящее задачу Ковалевской на е(3) к динамике точки на евклидовой плоскости в некотором потенциальном поле, для которого разделяющими являются эллиптические координатами. Это — известная аналогия Колосова, позволяющая использовать в динамике твердого тела некоторые соображения из небесной механики. Рассмотрим аналогичную процедуру для задачи Ковалевской на пучке (8.13). В этом случае аналог преобразования Колосова приводит к динамике частицы на некоторой осесимметричной поверхности непостоянной кривизны. [c.313]

Если бы переменные (Хг) и (х ) были действительными числами, их можно было бы интерпретировать как декартовы координаты точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда преобразования (4.3) представляли бы собой обыкновенные вращения декартовых осей в этом пространстве, а расстояние [c.71]

Заметим, что выполнить такого рода преобразование сразу во всем пространстве, вообще говоря, нельзя, т. е. нельзя найти такую систему координат х , х , х , чтобы (4.22) во всем пространстве привелась к виду (4.23). Если такая система координат существует, то пространство называется евклидовым, если нет — неевклидовым. Если в п-мерном пространстве форму [c.59]

Выше мы не использовали явное выражение (3z) для силовой функции. Действительно, сказанное в 316—319 можно повторить без всяких изменений в случае любой функции /( i,. .., ), инвариантной по отношению к шести-параметрической группе преобразований i - - ю евклидовых координат. Например, [c.293]

Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449]

Теория относительности Эйнштейна была создана как электродинамика движущихся тел, в основу к-рои были положены новый принцип относительности (относительность обобщалась с механич. явлений на явления эл.-магн. и оптические) и принцип постоянства и предельности скорости света с в пустоте, не зависящей от состояния движения излучающего тепа. Эйнштейн показал, что операцповальные приёмы, с помощью к-рых устанавливается физ. содержание евклидова пространства в классич. механике, оказались неприменимыми к процессам, протекающим со скоростями, соизмеримыми со скоростью света. Поэтому он начал построенпе электродинамики движущихся тел с определения одновременности, используя световые сигналы для синхронизации часов. В теории относительности понятие одновременности лишено абс. значения и становится необходимым развить соответствующую теорию преобразования координат (х, у, z) и времени (t) при переходе от покоящейся системы отсчёта [c.158]

Исследование уравнений Эйнштейна (П2.39) показывает (подробности см. в фундаментальной работе [360]), что эти уравнения являются единственными при наличии следующих условий 1) соответствие уравнению Пуассона, 2) общая ковариантность (имеется в виду сохранение вида уравнений при преобразованиях координат, содержащих произвольные функции), 3) линейность от вторых производных метрического тензора д , 4) выполнение соотношения (П2.38) для левой части уравнения (П2.39), 5) (псевдо)евклидовость в отсутствие масс. [c.452]

Векторы в криволинейной системе координат 26 Евклидово пространство (26). Дифференциал вектора (30). Взаимный базис (31). Взаимный базис в криволинейной системе координат (34). О неголономности координат X. (35). Произвольная ортогональная система координат (37). Преобразование координат (38). [c.5]

Математическая характеристика различных преобразований симметрии, входящих в пространственные группы, состоит в том, что они являются линейными, вещественными, неоднородными, дискретными (специальными аффинными) преобразованиями трехмерного евклидова пространства. Аффинное преобразование можно понимать как преобразование, переводящее одну точку в трехмерном пространстве в другую точку в трехмерном пространстве (активная интерпретация). С другой стороны, аффинное преобразование можно истолковывать как преобразование координат фиксированной точки в результате изменения системы координат, используемой для описания точки (пассивная и11терпретация). В любой интерпретации это преобразование [c.24]

Преобразование естественной конгруэнции к прямым ЛИВИЯМ с помощью решения уравнения Гамильтона — Якоби. В 90 мы исследовали две различные точки зрения на преобразование. Примем здесь второй взгляд рассмотрим евклидово пространство 2n+2 в котором имеются неподвижные оси координат, а преобразование х, у) х, у ) означает перемещение точек этого пространства в новые положения. Для того чтобы обойти трудный вопрос о топологии пространства QTPH, будем рассматривать только малые области пространства QTPH, топология которых совпадает с топологией евклидова пространства. [c.313]

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ — набор вещест-венных чисел. .., q , определяющих положение точки Р в нек-рой области G -мерного евклидова пространства и связанных с декартовыми координатами 27],. ... этой точки посредством преобразований < , qj xi,. .., Хп)у i = 2,...,п, где qi xy,. .., х ) — однозначные непрерывно дифференцируемые ф-ции в G. [c.491]

С другой стороны, вариации координат (или виртуальные перемещения), широко используемые впервые Лагранжем,можносчитатьирообразами лиев-ских бесконечно малых преобразований непрерывных групп. Больше того, представление об евклидовой симметрии пространства, восходящее к геометрии Евклида и постепенно утвердившееся ко времени Ньютона в физике, в сочетании с представлением о непрерывности пространства приводили естественным образом к понятию бесконечно малых движений пространства. Введя бесконечно малые канонические преобразования и открыв их групп о- вую природу, С. Ли нашел тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике как теории групп . Основное значение в этом новом понимании механики имела теорема, которой С. Ли придавал фундаментальное значение и которая представляет собой нечто иное, как своеобразный канонический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение . [c.232]

Уа Ув — а — в - (6) Математически инвариантность s аналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины t, х, у, Z можно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве-времени Минковского x t, х =х, х —у, x —z. [c.510]

С матем. точки зрения частная О. т. есть геометрия пространства-времени Минковского. (Если вместо ж ввести мнимую координату a =ix i t, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном ф-ле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пр-ве.) Вследствие того, что квадраты разностей временных и пространств, координат входят в (6) с разными знаками, знак может быть различным, геометрия такого пр-ва отличается от евклидовой и наз. псевдоевк-л и д о в о й. [c.510]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...