Лагранжа производные

Найдем необходимые для уравнения Лагранжа производные [c.355]

Итак, что же мы имеем Мы вывели две родственные теоремы теорему Кастилиано — производная от энергии по силе равна перемещению — и теорему Лагранжа — производная от энергии по перемещению равна силе. Но первая теорема пригодна только для линейных систем, а вторая — как для линейных, так и для нелинейных. [c.85]

Выражение в квадратных скобках в уравнении (1-7.12) представляет собой, очевидно, субстанциональную производную скорости выкладки, приводящие к уравнению (1-6.7), можно без труда повторить с заменой ноля плотности р полем скорости v. Подставляя выражение (1-7.12) в уравнение (1-7.10), получаем динамическое уравнение в форме Лагранжа [c.45]

Порядок частного дифференцирования в смешанных производных можно изменять. С учетом этого (35) и (36) совпадают. Таким образом, второе тождество Лагранжа доказано. [c.408]

Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа. Имеем [c.444]

Вычисляем производные, входящие в уравнение Лагранжа [c.465]

Производные, входящие в уравнение Лагранжа, [c.467]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Подставим эти частные производные в уравнения Лагранжа [c.344]

В уравнение Лагранжа II рода следует подставить производную от П по q. [c.360]

Учитывая выражения (3.7), (3.8) и (3.1) —(3.3), а также обозначая заряд п-й катушки q , производным функций Л и П по Кп и Кп, входящим в уравнение Лагранжа (3.4), можно придать следующий вид [c.60]

Уравнения Лагранжа содержат - -1 функций. Этими функциями являются Qj, j=l,. .., п, и кинетическая энергия Т. Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, нужно выразить эти функции через новые координаты производные от [c.129]

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (либо Б форме (29)). После подстановки в левые части этих уравнений выражений для кинетической энергии Т (или лагранжиана L) и соответствующих дифференцирований получаются уравнения, уже не обязательно разрешенные относительно старших производных. Может случиться, что некоторые (или все) из этих уравнений содержат не одну, а несколько (или все) старших производных от обобщенных координат [c.136]

Естественно возникает вопрос всегда ли можно разрешить уравнения Лагранжа относительно старших производных от обобщенных координат qj, т. е. представить эти уравнения Б форме Коши и, следовательно, применить к ним теорему [c.136]

Вернемся теперь к уравнениям (22) и подставим в них вместо Т линейную форму Т . Легко видеть, что выполнение всех операций, указанных в левой части уравнений (22), не может привести к появлению членов, содержащих вторые производные от координат q. Поэтому результатом этой подстановки будет ( ), Это тем более будет выполняться при подстановке в уравнения (22) вместо Т члена Го, не содержащого производных q. Отсюда следует, что в любом случае уравнения Лагранжа (22) сводятся к виду (44). [c.141]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла ф, т. е. обобщенной координаты q . Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная dT/dq равна [c.192]

В гл. IV было показано, что система уравнений Лагранжа всегда может быть разрешена относительно старших производных и в стационарном случае сводится к виду [c.208]

Из этого определения следует, чго в положении равновесия все и ijj равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки. Разрешим уравнения Лагранжа относительно старших производных, т. е. представим их в виде [c.209]

Тогда входящие в уравнения Лагранжа частные производные dT/d j и дТ/дд/ будут малыми первого порядка. [c.213]

Формально для доказательства теоремы требуется лишь непрерывность функции V (q). В механике, однако, предполагается существование производных dV/dq, так как только тогда имеют смысл понятия обобщенная сила , уравнения Лагранжа и т. д. [c.225]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Таким образом, в рассматриваемом простейшем примере частные производные, фигурирующие в первых членах уравнений Лагранжа, имеют простой физический смысл —они совпадают с проекциями количества движения (импульса) точки на оси х, у W г. [c.260]

Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени. [c.263]

Эти уравнения называются уравнениями Я -оби. Легко видеть, что каждое из уравнений Якоби имеет второй порядок, что общий порядок системы уравнений Якоби равен 2п — 2 и что подобно уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, ири обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными. [c.329]

Переходим к составлению уравнений Лагранжа. Для этого вычислим частные производные от кинетической энергии 7 по обобщенным скоростям ф и [c.496]

Для составления системы уравнений Лагранжа второго рода следует вычислить частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным скоростям и г [c.501]

Для составления уравнений Лагранжа второго рода вычислим частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным скоростям фо и ф1, а затем возьмем производные от полученных результатов по времени. Находим [c.510]

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат q, q2,. .., qs называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется S уравнениями Лагранжа второго рода (3.29). [c.59]

Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости [c.434]

Разность производной по Уравнения Лагранжа в обоб- [c.259]

Теперь мы имеем все необходимые величины для составления уравнения Лагранжа (228). Возьмем частную производную от кинетической энергии по обобщенной скорости = i)j [c.263]

От этой величины возьмем полную производную по времени и получим первый член левой части уравнения Лагранжа [c.263]

Следствие 8.1.3. Систему уравнений Лагранжа можно, за исключением тех случаев, когда координаты принимают значения, соответствующие особым точкам, разрешить относительно вторых производных от обобщенных координат. [c.543]

Подсгавляя эти значения производных в уравнение Лагранжа (1), получим следующее дифференциальное уравнение малых собсгвенных колебаний системы с одной степенью свободы [c.428]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Доказательство теоремы дословно повторяет доказательство теоремы Лагранжа — Дирихле для консервативной системы (когда утверждается, что производная dV/di неположительна) и доказательство теоремы об условиях устойчивости равновесия диссипативной системы (когда утверждается, что производная dV/dt отрицательна всюду в -окрестности). [c.233]

В этом смысле уравнения (20) представляют собой эквивалент уравнений Лагранжа (4). Уравнения (20) разрешены относительно старших производных и представлены в симметричной и удобной форме. Их называют каноническими уравнениями или уравнениями Гамилыпона для движения в потенциальных полях. [c.263]

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а dt = dt, т. е. функция d jdt в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции qiy в силу преобразования (78) тождественно равны qj, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д- 1да= и формула (69) принимает вид [c.290]

Е1озвращаясь к составлению уравнения Лагранжа для рассматриваемого кривошипно-шатунного механизма, вычислим частную производную от кинетической энергии Т, определенной формулой (17), [c.491]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

В 1...2 доя составления уравнений движения использовалась система аналитических вычислений REDU E. Эта система позволяет не только получить уравнения движения, но и составить программу их интегрирования на одном из алгоритмических языков. В данном параграфе рассматривается иной подход к анализу уравнений движения, а именно их автоматическое получение и интегрирование численными методами. Приводится описание алгоритма, который позволяет в значительной мере сократить количество выкладок, связанных с получением уравнений движения, и затраты труда на программирование при численном интегрировании уравнений движения. В основе алгоритма лежит реализация второго метода Лагранжа получения уравнений движения с помощью численного определения частных производных. [c.68]

Взяв частную производную dTldq, а затем полную производную по времени, получим первый член уравнения Лагранжа [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...