Устойчивость движения, граница линейная

Множество технических проблем и ряд процессов в природе связаны с волновым движением границы раздела фаз. Исторически волновые движения первоначально изучались применительно к анализу морских волн, механизма распада жидких струй и т.д. В настоящее время теория волновых движений относится к числу наиболее полно разработанных проблем гидромеханики. Это справедливо в первую очередь для ставшей уже классической линейной теории колебаний и устойчивости, которая основана на двух основных допущениях принимается, что соприкасающиеся фазы — невязкие (идеальные) жидкости и что амплитуда волновых колебаний намного меньше длины волны. [c.125]

Корни характеристического уравнения (9.78) для исследо-вания устойчивости движения удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости. Тогда условие устойчивости при линейных уравнениях движения формулируется как условие расположения всех корней характеристического уравнения слС ва от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или одна пара сопряженных комплексных корней находится справа от мнимой оси, то механизм неустойчив. Мнимая ось является границей устойчивости. [c.182]

Таким образом, из рассмотрения экспериментальных и теоретических работ по устойчивости следует, что линейная теория неустойчивости позволяет определить границы устойчивого течения. Поскольку уравнения движения Навье-Стокса содержат нелинейные члены, проблема устойчивости в общем случае должна рассматриваться как нелинейная. Влияние нелинейности при развитии возмущений конечной амплитуды сводится в основном к двум факторам. Во-первых, появляются гармоники колебаний более высоких порядков, чем основная, в результате чего происходит перераспределение энергии между этими гармониками и осредненным течением во-вторых, напряжение Рейнольдса приводит к изменению исходного профиля скорости. [c.184]

Таким образом, линейная теория устойчивости позволяет найти периодичность возникающих на границе устойчивости движений (она определяется критическим волновым числом кт), но не позволяет определить их форму. Это обстоятельство не связано с конкретным видом условий на границах слоя. Решение проблемы отбора упорядоченных конвективных структур, возникающих в результате неустойчивости, может быть получено лишь средствами нелинейной теории (см. об этом 22). [c.39]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Обычный метод разыскания возможных границ области устойчивости установившегося движения некоей механической системы (произвольное движение которой, мало отклоняющееся от исследуемого, описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) заключается в построении так называемого D-разбиения в пространстве параметров [24]. [c.104]

Если часть характеристической области механизма оказывается в зоне неустойчивости, то методы линейной теории не могут дать ответ на вопрос о величине амплитуды установившихся колебаний, так как эти методы не учитывают влияния на движение механизма нелинейных факторов. Однако того факта, что в зоне неустойчивости амплитуда колебаний может значительно увеличиться, достаточно, чтобы при проектировании механизма соответствующим выбором параметров стремиться обеспечить его динамическую устойчивость. Необходимость этого усугубляется еще и тем, что на границах зон неустойчивости возможен резонанс, возникающий от действия той составляющей возбуждения, которая зависит только от времени и содержится в правой части уравнения (4.50). [c.152]

Параметры капель на границах ячеек также определялись из решения задачи о нестационарном одномерном течении газа частиц с кусочно-постоянным начальным распределением в предположении об отсутствии межфазного взаимодействия. В силу принятых допущений газ частиц не обладает собственным давлением, поэтому все возмущения переносятся в такой среде со скоростью частиц (семейство характеристик вырождено), а разрыв в начальном распределении скоростей приводит к возникновению либо зоны вакуума , либо зоны взаимопроникающего движения двух потоков частиц. Если нормальные к границе ячейки составляющие скорости капель направлены в одну сторону ( i 2>0), то на границу приходят/ характеристики только из одной ячейки и значения параметров принимаются равными значениями в той ячейке, из которой газ частиц вытекает. Если нормальные составляющие скорости имеют разные знаки ( i 2 0), то граница ячейки попадает в область, где характеристики отсутствуют ( вакуум ) или пересекаются (зона взаимопроникающего движения). В этих случаях решение в обычном смысле найдено быть не может и возникает необходимость дополнить решение. В расчетах были опробованы несколько вариантов аппроксимации параметров частиц на границах ячеек при условии i 2<0. В окончательном варианте схемы скорость капель определялась с помощью линейной интерполяции, а значения плотности р2 и энергии сносились из той ячейки, из которой газ частиц вытекает. Такой способ определения параметров капель на границах ячеек обеспечивает устойчивость вычислительного процесса и гладкость профилей параметров капель. [c.132]

Линейная теория устойчивости исходит из предположения о том, что возникающие возмущения основного состояния малы. Эта теория позволяет определить границу устойчивости и проследить за судьбой малых возмущений. В линейном приближении возмущения равновесия в области неустойчивости пара стают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако, что в действительности неограниченного возрастания возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного развития и привлекает к себе внимание все более широкого круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы связаны со значительными математическими трудностями. Хотя до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, достигнутый в последние годы, представляется несомненным. [c.137]

Изложенная в предыдущих параграфах линейная теория, основанная на рассмотрении малых возмущений, позволяет найти границу устойчивости стационарного конвективного движения. Возмущения в надкритической области и, в частности, предельные режимы, возникающие в результате развития конечных возмущений, могут быть исследованы лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Мы изложим здесь результаты такого исследования для случая движения в вертикальном слое. [c.351]

Численные расчеты показали,, что при О < 512, в полном согласии с выводами линейной теории устойчивости, любое начальное возмущение приводит в процессе установления к плоскопараллельному стационарному движению (50.3). При значениях О, превосходящих критическое, переходный процесс приводит к стационарному движению иной структуры. Траектории частиц жидкости в этом режиме не параллельны границам слоя, а распределение температуры отличается от линейного (рис. 142). Структура вторичного движения хорошо согласуется с результатами линейной теории (рис. 122) и данными эксперимента (рис. 123). [c.352]

Как указывалось в 22, температурная зависимость вязкости существенно влияет на структуру и устойчивость надкритических движений. Так, согласно трехмерные гексагональные ячейки в плоском бесконечном слое при достаточной неоднородности вязкости возбуждаются жестко (см. рис. 37), причем устойчивым является лишь движение, при котором на оси ячейки жидкость поднимается вверх (имеется в виду типичный для капельных жидкостей случай убывания вязкости с температурой). Движение с противоположной циркуляцией оказывается неустойчивым. Как показано в работе Джозефа Р], это обстоятельство специфично для бесконечного слоя, где границы ячеек выделены условиями периодичности в горизонтальной плоскости. В замкнутой же области с твердыми границами ситуация иная отличие в свойствах спектра линейной задачи приводит здесь к тому, что оказываются устойчивыми обе ветви, соответствующие двум возможным направлениям циркуляции, причем движение с нисходящим осевым потоком возбуждается мягко , а движение с восходящим потоком — жестко . [c.384]

КОЙ ТОЧКИ, определяемыми численно й по линейной теории устойчивости. Не исключено, что это расхождение свидетельствует о наличии вблизи нижней границы подкритических движений. [c.45]

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из критических значений ( >j + ( л)/А , если и — собственнице частоты одного рода, и I (Оу — о>й I /М, если со и со — собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А, Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их опасности . [c.37]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

В работах А.Г. Сокольского [20, 33] (см. также [31]), А.М. Ковалева и А.Н. Чудненко [31], А.Н. Иванова и А.Г. Сокольского [18, 19] во всех подробностях рассмотрена задача об устойчивости системы (1) при наличии резонансов первого и второго порядков. Трудности исследования устойчивости при резонансах низших порядков связаны с особеннностями процедуры линейной и нелинейной нормализации, с большим количеством принципиально различных под случаев, в каждом из которых задача об устойчивости решается своим техническим приемом. Отличительной особенностью этих задач является также то, что в некоторых под случаях движение, неустойчивое в линейном приближении, становится устойчивым при учете нелинейностей в правых частях системы (1). С прикладной точки зрения резонансы низших порядков приобретают особенно большое значение в связи с известной проблемой безопасности границ областей устойчивости, так как во многих прикладных задачах в пространстве параметров эти резонансы отвечают границам областей устойчивости линеаризованной системы. [c.122]

Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс (г, являюш,емся границей области устойчивости в линейном приближении. При (Л = (Л частоты плоских колебаний равны между собой (шх = 0 2 = со = У 2/2), а частота пространственных колебаний (Оз, как и при любых значениях (г, равна единице. Линейным веш,ественным каноническим преобразованием д,, р, р] приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения д/, р,- (/= 1, 2) преобразуем с помош,ью матрицы N = ( , / = 1,.. 4), задаюш,ейся равенством (5.1) седьмой главы, а д , р оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмуш енного [c.143]

Из резонансов, являющихся порождающими (на оси 0[а) для областей неустойчивости линейной системы, это только резонансы 2о)1 = N( 2, где Ж > 5 (в плоской и пространственной задачах), и 2 = ЫьУ2, где > 4 (в пространственной задаче), для периодических движений II типа. Из соответствующих этим резонансам точек на оси 0[х будут исходить очень узкие области неустойчивости (вообще говоря, области тем уже, чем больше N), которые при приближении к оси Ог сгущаются и перемежаются с областями устойчивости в линейном приближении. Согласно формулам (8.27), границы этих областей параметрического резонанса мало отличаются от квадратичных парабол, а подсчитанные для них величины б из (8.28) при достаточно малых а будут принимать только отрицательные значения следовательно, все параболы загнуты к оси Ое при достаточно малых р, и е. [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...