Интегралы движения инвариант

Эти последние соображения возвращают нас к рассуждениям, проведенным в гл. V, где рассматривалась связь между симметрией и интегралами движения. Введение аргументации, основанной на свойствах скобок Пуассона, позволило расширить область применения этих соображений и включить в нее все интегралы движения, а не только интегралы количества движения, как это имело место ранее. Теперь показано, что функция Гамильтона является инвариантом (а следовательно, система симметрична) относительно любого бесконечно малого преобразования, порожденного некоторым интегралом движения. Обратное утверждение также верно, и оно дает возможность находить интегралы движения при внимательном рассмотрении любой симметрии, которая обнаруживается в функции Гамильтона. [c.116]

Можно сказать, что в случае (1.2) интеграл энергии является аддитивным, а в случае (1.3) — неаддитивным. Однако, как и ранее, есть два интеграла движения (действия Т" , Тг). Поэтому снова можно ввести два квантовых числа, и энергия системы будет двухпараметрической функцией. Дальнейшее увеличение энергии взаимодействия может привести к появлению стохастичности. Тогда один из интегралов движения исчезнет и только полная энергия Е (или функция от нее) останется инвариантом движения. [c.160]

Устранение резонансных знаменателей. Адиабатические инварианты, как это было показано в 2.4, в окрестности резонансов претерпевают топологические изменения. Для отдельного резонанса замена переменных вида (2.4.6) (резонансные переменные) позволяет учесть изменения топологии и составляет основу резонансной теории возмущений, изложенной в п. 2.4а в первом порядке по е. Поскольку для двух степеней свободы движение полностью разделяется на быстрое и медленное, то методы этого параграфа применимы и для нахождения интегралов движения более высоких порядков вблизи резонансов. [c.160]

Выбор структурных функций а ( , з) и Ь (з, ) не может быть произвольным, а должен быть согласован со связью (4.23), которая означает, что величина (t, з) является интегралом движения для любой модели контурной динамики в данном классе параметризации. С геометрической точки зрения, равенство (4.23) выделяет в фазовом пространстве х (з, Ь) поверхность, на которой сосредоточено действительное движение таких систем. Как известно, подобные интегралы движения называются инвариантами Казимира и являются аннуляторами скобок Пуассона, т.е. t , = 0. Откуда следует условие [c.199]

Нетрудно видеть, что переменные (О и г, легко исключаются из системы (30)—(34), так что в результате для описания крупномасштабных конвективных течений вращающейся жидкости получается динамическая система с фазовым пространством восьми измерений. Замечательное свойство рассматриваемой системы состоит в том, что она имеет несколько невязких инвариантов, которые являются аналогами фундаментальных интегралов движения исходных гидродинамических уравнений, а [c.25]

Связь между интегральными инвариантами и интегралами дифференциальных уравнений движения [c.391]

Действительные возмущенные движения находятся среди группы бинарных преобразований. И, значит, инвариант бинарных преобразований движения будет интегралом уравнений в вариациях Пуанкаре. [c.360]

Интегральные инварианты, теорема Гельмгольца о циркуляции, французский математик Пуанкаре (1859— 1912) предложил для любых интегралов, связанных с фазовой жидкостью и сохраняющих свою величину при движении фазовой жидкости, название интегральные инварианты . Объем а фазовой жидкости, рассматривавшийся в предыдущем пункте, является одним из примеров подобных интегральных инвариантов. Другим важным примером является величина, введенная Гельмгольцем и называемая циркуляцией . [c.209]

Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильтоновых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов. [c.274]

Дан краткий обзор развития теории интегральных инвариантов. Указаны основные направления применения этой теории нахождение новых интегралов уравнений движения исследование свойств функций, описывающих законы движения динамических систем исследование приближенных решений дифференциальных уравнений. [c.124]

Рассмотрим ситуации со скрытыми инвариантами, возникающие в теории затопленных струй. Струйные течения, в частности закрученные струи, играют не только важную практическую роль, но и в теоретическом плане имеют столь нетривиальные особенности, которые не перестают давать пищу для ума исследователей в течение более чем полувека. Задача о закрученной струе впервые была сформулирована в рамках теории пограничного с.поя н приближенно решена Лойцянским в 1953 г. [90]. Решение строилось в виде асимптотического ряда по целым обратным степеням расстояния от точечного источника струи. Заданными величинами, характеризующими закрученную струю, считались интегралы сохранения импульс /, расход Q и момент количества движения L. [c.33]

Решение. Адиабатические инварианты, введенные Эренфестом, представляют собой интегралы по области движения частицы [c.387]

Наличие двух первых интегралов системы (3.38)еще раз указывает на интегрируемость в квадратурах исходной задачи. Эти инварианты позволяют определить относительное движение системы трех вихрей, не прибегая к интегрированию исходных уравнений движения. Подробно об этом будет сказано ниже. [c.88]

В нерелятивистской теории при рассмотрении интегралов вдоль траектории частиц мы использовали в качестве независимого параметра время 1, записывая движение как = х 1) координаты и время входили в эту запись совершенно неравноправным образом. Теперь такой выбор (хотя и всегда возможен) не всегда удобен, поскольку, не говоря уже о нарушении четырехмерной симметрии, время не есть инвариант. [c.173]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Заметим, что, как и система точечных вихрей [Гешев, Черных, 1983], система вихревых частиц в круге допускает интегралы движения, независящие от времени - инварианты. Во-первых, это сам гамильтониан Я,у (6.59), который соответствует кинетической энергии движения завихренной жидкости. Во-вторых, поскольку область движения жидкости - круг, то в силу инвариантности гамильтониана (6.59) относительно вращений существует интеграл движения, связанный с законом сохранения момента импульса [c.378]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Теорема Э. Нёгер. Если действие по Гамильтону S (2) является инвариантом группы Ли (3) с операторами (5), то система уравнений Лагранжа (1) допускает R интегралов движения [c.73]

Для немеридиональных лучей косых лучей) описание становится более сложным, поскольку плоскость, содержащая отрезок луча и две образующие цилиндра, которые он пересекает, изменяет свое положение при каждом отражении (рис. 8.5). Однако можно показать, что угол падения ф между произвольным отрезком луча и нормалью n к поверхности раздела сердцевина — оболочка является интегралом движения [см. инвариант наклона в разд. 2.13.1] наряду с углами в и [c.580]

Полученная таким образом упрощенная система уравнений движения также обладает дв я квадратичными интегралами движения. Следует, однако, подчеркнуть, что если существование интеграла энергии является общим свойством всех гидродинамических систем, то наличие других инвариантов связано с их индивидуальными особенностями, которые уже не носят столь универсального характера и могут иметь различный физический смысл. В только что рассмотренном примере существование второго квад-ратнчного7 интеграла движения (2) оказывается прямым следствием двумерностн течения жидкости, тогда как трехмерное течение идеальной жидкости, вообще говоря, сопровождается лишь сохранением энергии. [c.40]

Инвариант W = (Я, Л)д сохраняется (при условиях вмороженности поля Я и касания Я к Г) под действием любого сохраняющего объемы гладкого преобразования области D. Поэтому W является интегралом движения и для жидкости с конечной кинематической вязкостью и нулевой (исчезающе малой) магнитной вязкостью. Для замкнутой области D стационарными точками интеграла энергии (Я, Я)о магнитного поля Я, вмороженного в жидкость, относительно действия сохраняющих объемы преобразований D являются поля Я, коммутирующие с rot Я (см. [7]). Если в начальный момент W фО, то при затухании поля скорости (за счет вязкости) энергия магнитного поля не может упасть до нуля. Можно показать, что поле Я, коммутирующее с rot Я, либо имеет почти все интегральные кривые лежащими на двумерных торах, либо является собственным полем для rot rot Я = с-Я, с = onst (см. [7,5]). Поле Я вморожено, и поэтому если в начальный момент не существовало магнитных поверх- [c.327]

Найдены аналитические формулы для интеграла действия, которые весьма эффективно можно использовать для анализа возмущённого движения. Интеграл действия является первым интегралом невозмущённой системы и в некоторых частых случаях представляет собой адиабатический инвариант возмущённой системы [21, 22 [c.52]

Пусть выполняется условие (3.26) и аэродинамическое демпфирование отсутствует = О, гпуп = О, = 0). Найдём оценку для амплитуды колебания max при движении, близком к плоскому. Интеграл действия согласно (3.29) не изменяет своего значения и является адиабатическим инвариантом. Интеграл действия может быть приведён с помощью решения (2.19) к четырём полным эллиптическим интегралам, входящим в правые части уравнений (3.23) [c.104]

В рамках этого круга идей в работах Ковалевской, Клебша, Чаплыгина, Стеклова и других авторов был решен ряд новых задач механики, некоторые из которых весьма нетривиальны. Стоит отметить, что в этих классических работах не использовалась гамильтонова структура уравнений движения. Условия интегрируемости и само интегрирование уравнений динамики основаны на методе интегрирующего множителя Эйлера — Якоби. Напомним, что для этого автономная система п дифференциальных уравнений должна иметь интегральный инвариант и обладать п —2 независимыми интегралами. Из-за этого обстоятельства не была замечена интегрируемость ряда задач динамики. Самый яркий пример—задача [c.11]

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием ( фазовым пространством ), симплектической структурой на нем ( интегральным инвариантом Пуанкаре ) и функцией на нем ( функцией Гамильтона ). Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. [c.142]

И интегралы от любых функций вихря (с учетом условий их существования). Из последних интегралов наиболее важным является интеграл от квадрата вихря (энстро-фия), поскольку при переходе к конечномерной аппроксимации двумерных уравнений Эйлера (например, фурье-представлению) все интегралы указанного вида, кроме энстрофии, уже не будут инвариантами движения. Если в трехмерной турбулентности передача энергии по спектру является основным механизмом, приводящим к колмогоровскому закону, то в двумерном случае, наряду с последним, осуществляется и другой стационарный режим, связанный с передачей квадрата вихря [130, 131]. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...