Система Ляпунова

И п-мерная вектор-функция. Х(х) является голоморфной относительно X в некоторой п-мерной области G ( e G ), называется системой Ляпунова. [c.791]

Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть X > О, собственные значения матрицы А (10.1.16) не равны числам mU (т — О, 1, 2,. ..) и вектор-функция Х(х) является голоморфной в области G относительно х, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Пусть, кроме того, система Ляпунова (10.1.15) имеет голоморфный, не зависящий от t, интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит компоненты х и Хг п-мерного вектора х. [c.791]

Такие системы называются системами Ляпунова. [c.205]

СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА И СИСТЕМЫ. БЛИЗКИЕ К СИСТЕМАМ ЛЯПУНОВА [c.25]

Систему (1.42) называют близкой к системе Ляпунова. [c.28]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Рассмотрим теперь вопрос о том, как оценить состояние покоя консервативной системы в положении, в котором она не имеет минимума потенциальной энергии. Ответ на этот вопрос содержится в специальных теоремах А. М. Ляпунова [c.336]

Резаля 155 Теоремы Ляпунова 336 Теория удара 257 Тождество Пуассона 379 Точка изображающая 391 Траектория движения системы 391 Траектории искусственных спутников [c.422]

Наиболее мощные методы преобразования уравнений с периодическими коэффициентами в теории вращающихся электрических цепей объединены под названием преобразование координат. Смысл преобразования координат заключается в замене переменных и переходе от исходных уравнений к новым уравнениям, которые сравнительно просто решаются стандартными методами. При этом модель ЭМП в виде системы взаимодействия цепей преобразуется к модели в виде системы условно неподвижных цепей. Принципиальная возможность преобразования координат устанавливается известной в теории дифференциальных уравнений и устойчивости теоремой Ляпунова. По этой теореме система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений с постоянными [c.82]

Несмотря на принципиальную важность, теорема Ляпунова не дает формальных правил преобразования уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому для выбора новой координатной системы (новых переменных) используется дополнительная информация в виде условия неизменности (инвариантности) процессов электромеханического преобразования энергии и энергетических соотношений относительно координат. Совместный учет математических условий преобразования и дополнительной информации в некоторых случаях делает выбор новой координатной системы однозначным. Иногда же выбор осуществляется путем сравнительного анализа ряда возможных координатных систем. [c.83]

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия V (q) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении V (q) в ряд по степеням, q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил Q, что [c.230]

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651]

Строгое определен понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце прошлого века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Приведем это определение для системы с любым конечным числом степеней свободы п. [c.386]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область изменения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения равновесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последующем движении системы ограничены заданной в окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений q, и q , определяемые положительными числами T]i и Ti2> зависят от выбранной е окрестности, т. е. самого числа е. Эти области начальных значений qf и q] не должны соответствовать Лх = о и Ла = 0> т. е. только самому положению равновесия, для которого i = о и q = 0. [c.409]

Исследования вопроса о случаях неустойчивости равновесия системы принадлежат А. М. Ляпунову. Найденные им теоремы рассмотрены в следующих параграфах. [c.219]

Иное доказательство теоремы об устойчивости равновесия. Теоремы А. М. Ляпунова о состоянии равновесия в тех случаях, когда потенциальная энергия системы не имеет минимума [c.225]

Это замечание позволяет упростить применение признаков устойчивости движения по А. М. Ляпунову к вопросу об устойчивости траекторий. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени t, и приравнивая остальные координаты функциям Qh Ляпунова, вновь заключаем, что определение устойчивости движения по Н. Е. Жуковскому вытекает из общего определения А. М. Ляпунова как частный случай. [c.330]

Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.) [c.64]

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, Стационарные состояния дви жения нелинейных систем осуществляются обычно в виде или со стояний устойчивых периодических колебательных движений, ил1 устойчивых равновесных состояний, которые можно считать такз периодическими движениями с периодом, равным оо. Но наряду ( устойчивыми периодическими движениями в нелинейных систе мах возможны и неустойчивые периодические движения. Толью устойчивые состояния осуществляются в действительности, и толь ко такие состояния могут иметь практический интерес. Понятн поэтому, какое большое значение имеет установление признано устойчивости периодических движений нелинейных систем. Ив да самое нахождение периодических движений является решение некоторой задачи на устойчивость, как это имеет место, например в нелинейных системах Ляпунова Именно по этим соображе ниям учению о нелинейных колебаниях предпосылается кратко введение в теорию устойчивости движения. [c.380]

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малую область измеч1ения начальных значений обобщенных координат в окрестности положения рав1ювесия и область начальных обобщенных скоростей, для которых величины обобщенных координат при последуюн ем движении системы ограничены заданной е окрестностью вблизи положения равновесия. Ясно, что области начальных значений и определяемые [c.421]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Анализ этой системы иераьенств показывает, что все они выполняются в области / (см. рис. 1.5), Таким образом, дня значений параметров а и /3, принадтежащих области I, цилиндрическая прецессия устойчива по Ляпунову. [c.112]

По Ляпунову равновесие системы называется устойчивым, если для всякого как угодно малого полозкительного числа е можно выбрать ива других малых полежи тельных числа и Рз, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям [c.386]

По Ляпунову, равновесие системы назьюаетоя устойчивым, если для всякого как угодно малого положительного числа е можно выбрать два других малых положительных чиола t]i и т)2> оли при начальных возмущениях они удовлетворяют условиям q41 СПх, qf I < Лг. в дальнейшем движении механической системы выполняютвя условия Qi (01 < < Е для каждой обобщенной координаты. [c.409]

Необходимо подчеркнуть, что возникновение возмущенного дфижения согласно концепции А. М. Ляпунова объясняется лиигь изменением координат и скоростей точек системы в начальный момент времени, а не действием возмущающих сил. Этим отличается понятие о возмунгенном движении в теории устойчивости А. М. Ляпунова от более распространенного понятия о возмущенном движении, как результате действия возмущающих сил ). [c.326]

Записать уравнения возмущенного движения системы, описанной в задаче 18.28, li [юр.мальной формо, вводя обозначения х = у, у = 2. Построит , функцию Ляпунова, производная которой по времени п силу системы уравнений п нормальной форме имеет вид [c.280]

Написать матричное уравнение д.чя функции Ляпунова I, производная которой но времени в силу системы ( ) имеет вид Г == —+ с..(Ай))-+ ГзСДсс) ] (с,, с , ,i — положительные постоянные). [c.283]

А.А.Андронов предлагал различать два этапа в атаках на нелинейные системы до 1928 года, т.е. до того, как была установлена связь нелинейных задач теории колебаний с работами Пуанкаре и Ляпунова... и второй эгап - когда эта связь была установлена. [c.342]

Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова [c.336]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...