Голоморфные семейства

Приведение голоморфных семейств каустик или волновых фронтов к первой нормальной форме может быть только формальным в общем случае приводящие ряды расходятся. [c.220]

Замечание 4.1. Очевидно, что ограниченно голоморфное семейство операторов допускает классическое аналитическое продолжение, так как это связано с рассмотрением рядов Тейлора. [c.282]

V (ц) - 2ц[/(ц) есть ограниченно голоморфное семейство операторов тг в В- Но (Л(цц) )г/(ио) взаимно однозначно отображает I на В. Поэтому обратный к нему оператор [c.284]

Пусть у функции Но имеются две гиперболические критические точки (не обязательно различные), соединенные сепаратрисой Ло эта кривая — траектория однопараметрического семейства двоякоасимптотических решений невозмущенной задачи — задается уравнениями х = Xa t - fi), у = Уа Ь - /i), где fi — вещественный параметр. Функции Ха -), Уа ) голоморфны в некоторой полосе [c.276]

Теорема 5 ([8]). Любые два голоморфных векторных поля, трансверсальных бифуркационной диаграмме нулей любого из семейств 3, ft, Н см. теоремы 1, 2), приводимы друг к другу локальным голоморфным диффеоморфизмом объемлющего пространства, сохраняющим бифуркационную диаграмму. [c.266]

В качестве упражнения докажем первую часть этой теоремы. Если семейство 4(ц) голоморфно, то операторы 1/(ц) и Г(ц) из определения 4.3 существуют (с X = У = В), и ( 4 (ц) - ) [/(ц) = [c.284]

Теорема 4.2. Пусть Л(ц) - семейство операторов из В в В, голоморфное по раствору для малых [ ц -. Если Г - простая замкнутая кривая, содержащаяся в р(Л (ц )), то для достаточно малого 1 ц - Ид I кривая Г содержится в р(Л (и)) проектор [c.284]

С другой стороны, для каждого фиксированного е = е. >0 семейство + е (с2 + +1 есть голоморфное по перемен- [c.289]

Нормальные семейства. Введем предварительное определение. Семейство голоморфных отображений римановой поверхности S в компактную риманову поверхность Т называется нормальным семейством, если его замыкание С Но1(5, Т) — компактное множество или, что эквивалентно, если любая бесконечная последовательность функций содержит локально-равномерно сходящуюся к некото- [c.48]

Следствие. Если 8 иТ гиперболичны, то каждое семейство голоморфных отображений из 8 в Т нормально. [c.49]

Заметим, что для любого достаточно большого компактного множества К С S каждая компонента S K является гиперболической римановой поверхностью. Для достаточно больших j отображения fj принимают значения в S К и, следовательно, образуют нормальное семейство. Если все pj лежат в некотором компактном подмножестве S (например, если последовательность pj сходится к некоторой точке S ), то можно выбрать подпоследовательность такую, что fj локально-равномерно сходится к предельному голоморфному отображению / N° S K. (В самом деле, поскольку мы можем применить те же рассуждения для диска радиуса г +1, то эта подпоследовательность равномерно сходится в замкнутом диске N ). [c.50]

Задача 3-е. Локальная нормальность. Покажите, что нормальность является локальным свойством. Более точно, пусть 5 и Т — произвольные римановы поверхности и / — семейство голоморфных отображений из 5 в Г. Используя диагональный метод, как в доказательстве теоремы 3.2, покажите, что если каждая точка в 8 имеет окрестность II такую, что семейство / является нормальным в Но1(С/, Г), то семейство / само является нормальным. [c.53]

Для начала упомянем хорошо известную теорему. Пусть Д — семейство голоморфных нелинейных рациональных отображений с параметром Лес, где /а(0) = О, Я(0) = Л так, что /х г) = Хг+ + (старшие члены). [c.159]

Чтобы убедиться в том, что а полунепрерывна сверху, заметим, что a z) ао тогда и только тогда, когда существует однозначное отображение Рг, удовлетворяющее (11 4). По набор всех голоморфных отображений —> 2 образует нормальное семейство. Следовательно, любая последовательность таких отображений содержит локально равномерно сходящуюся на подпоследовательность. В частности, из данной последовательности однозначных отображений удовлетворяющей (11 4), можно выбрать сходящуюся подпоследовательность и нетрудно проверить, что предельная функция однозначна и удовлетворяет (11 4). Следовательно, множество мультипликаторов Ag G Ш), для которых о-(Л) сго замкнуто, что и требовалось. [c.162]

Напомним, что, согласно 4.11, множество Жюлиа /(/) не имеет изолированных точек. Значит, из него можно удалить конечное множество точек без ущерба для доказательства. Пусть — произвольная точка в J f), не являющаяся ни неподвижной точкой, ни критическим значением. Другими словами, предположим, что существует (1 различных прообразов. .., га, каждый из которых также отличен от го, где (1 2 — степень отображения. Согласно теореме об обратной функции, можно найти (1 голоморфных функций 2 г), определенных всюду в некоторой окрестности N точки го и удовлетворяющие соотношениям /( р г)) = г и <Р] го) = г . Утверждается, что для некоторого п > О и некоторого г N итерация /° г) должна принимать одно из трех значений 2 , < 1(2 ) или р2 г). В противном случае семейство голоморфных функций [c.184]

Если го дА не принадлежало бы замыканию какой-нибудь критической орбиты, то можно было бы построить маленький диск V вокруг го так, чтобы орбиты всех критических точек не попадали бы в V. Это означало бы, что каждая ветвь п-кратной итерации обратной функции могла быть определена как однозначная голоморфная функция У — С. Выберем ту из ветвей, которая переводит пересечение Д П У в Д ясно, что это отображение является вращением диска Д. Поскольку число вращения иррационально, можно выбрать некоторую подпоследовательность итераций обратных отображений, сходящуюся на Д П У к тождественному отображению. Поскольку семейство этих отображений не принимает значений в центральной части Д, оно должно быть нормальным. Значит, существует подпоследовательность сходящаяся локально равномерно на всем У ясно, что предельное отображение обязано быть тождественным. Отсюда легко следует, что соответствующая последовательность итераций /° ( ) также сходится к тождественному отображению на V. Но это противоречит 14.2. [c.186]

Для изучения спектральных свойств голоморфных семейств важна следующая теорема, которая дает свойства голоморфности резольвент. [c.283]

Теорема 7.1. Пусть D - открытая связная область комплексной плоскост и T(ii) есть ограниченно-голоморфное семейство хомпактных операторов из банахова пространства X в себя. Далее, пусть найдется точка х вВ, ткая что (/ - Т(ц ))-1 ( JI, Х),Тог-да ( / - T ii)) - есть ограниченная мероморфная функция в D ео значениями в X, X), [c.380]

Например, резонансный случай п = i, а = —1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений X = V (х) и их бифуркаций в конечнопараметрических семействах. Однопараметрическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду X — х + е + с е) (при к параметрах ответ такой X = х -[- г х - -Ь. . . -f- ej -Ь с (е) [c.428]

Нужное здесь условие общности положения состоит в том, что касательная плоскость листа в нуле не совпадает с касательной плоскостью ласточкина хвоста в нуле. Всякая гладкая функция, постоянная на линии самопересечения хвоста, имеющая ненулевой дифференциал на касательной плоскости хвоста в нуле, приводится вблизи нуля сохраняющим хвост диффеоморфизмом к виду A,2+ onst, а семейство голоморфных симплектических структур на плоскостях к = onst приводится к виду dkl Д dk голоморфным локальным диффеоморфизмом трехмерного пространства, сохраняющим ласточкин хвост и расслоение на плоскости к = onst (УМН. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 236). [c.434]

В 1981 г. А. Н. Варченко и А. Б. Гивенталь (которому принадлежит также доказательство этой теоремы для исключительных групп) указали далекие ее обобщения. Евклидову структуру они заменили формой пересечений подходящего невырожденного отображения периодов семейства голоморфных дифференциальных форм на слоях расслоения Милнора версального семейства функций. Невырожденная форма пересечений определяет (в зависимости от четности числа переменных) либо локально плоскую псевдоевкли-дову метрику со стандартной особенностью на лежандровом фронте, либо симплектическую структуру, голоморфно продолжающуюся на фронт. [c.456]

Второе условие теоремы 17.8.1 было введено лишь из соображений удобства. В общем случае можно исследовать динамику комплексных отображений начиная с классической дихотомии для поведения орбит. Орбиты с простым поведением образуют множество Фату отображения. В случае голоморфного отображения естественным выражением этой простоты является понятие нормального семейства функций, т. е. равностепенно непрерывного семейства. Множество Фату — это множество точек, обладающих окрестностью, для которой итерации отображения / образуют нормальное семейство. Таким образом, оно открыто. Это понятие весьма естественно, так как нормальное семейство не только компактно в С -топологии (по теореме Арцела — Асколи П 1.24), но к тому же компактно в голоморфной топологии. Множество Жулиа определяется как дополнение этого множества и, следовательно, оно по определению замкнуто. Покажем, что в интересных случаях это множество непусто. [c.562]

Рождение комплексных циклов. В комплексном случае рассматривается семейство уравнений т,=0. 1-форма m, на двумерном комплексном многообразии предполагается голоморфной и голоморфно зависящей от комплексного (малого) одномерного параметра е. Невозмущенная форма (отвечающая 8 = 0) предполагается точной ono—dH, где Я — голоморфнай функция. Пусть уравнение то==0 имеет семейство неодносвязных интегральных кривых. Роль y (с) играет комплексный цикл,, представленный замкнутым путем на неодносвязной интегральной кривой формы шо, путь непрерывно (а кривая голоморфно) зависит от комплексного параметра 8. [c.114]

Действительно, если уравнение (2) не имеет критических точек, то соответствующее поле направлений аналитически продолжается на произведение СхСР, гбС, дабСР, и трансверсально каждому слою г X СР , кроме, может быть, конечного множества слоев. Поднимем поле д/дг до векторного поля V, порождающего наше поле направлений проектируя V на слои гХСР вдоль оси 2, получим семейство голоморфных векторных полей на проективной прямой. Но такие поля задаются полиномами второй степени. > [c.120]

Рассмотрим деформацию ростка f в классе ц== onst, т. е. гладко зависящее от вещественного р- мерного параметра t семейство голоморфных ростков F(-, i) (С", 0) (С, 0), имеющих в нуле особенности одинаковой кратности. Пусть U z —шар достаточно малого радиуса с центром в нуле. [c.73]

Пусть (О — голоморфная (п—1)-форма, o(i)—непрерывное семейство целочисленных гомологий неособых слоев милноровского расслоения, a[c.102]

Так, например, при деформациях, сохраняющих кратность точки, наибольший возможный порядок интеграла голоморфной формы по классам ковариантно постоянного семейства исчезающих циклов не меняется. Это означает, что если при некоторой деформации наибольший возможный порядок изменился, что критическая точка распадается при такой деформации. Из этого рассуждения можно получить оценку снизу коразмерности страта (1= onst [c.121]

Пусть ц—другая конечнократная особенность, О С"ХС -)-->С — ее версальная деформация, причем g примыкает к это означает, что в любой окрестности точки ОбС непусто множество / , состоящее из таких значений параметра хбС , что одна из близких к О критических точек функции С7(-,х) биголоморфно эквивалентна особенности f. Для любой неособой точки хо множества / , достаточно близкой к О, и для любой трансверсали Ь к множеству f в точке хо семейство функций 0(-,х), хбЬ, является версальной деформацией особой точки функция (3(-,хо). Следовательно, деформация Р эквивалентна индуцированной из этого семейства при некотором локальном голоморфном отображении ,0)-> L,кo). При этом Ф (Е(0))с 2( ) и возникает гомоморфивм колец ф (G)->--> (.F). Этот гомоморфизм зависит от выбора точки чо и индуцирующего отображения ф. [c.152]

Огибающая семейства плоских кривы х Рассмотрим множество ростков семейств (С, 0)(С , О)- - (С2,0) с точкой возврата выделенной кривой на огибающей.. Как и в гладком вещественном случае, общий элемент миожест-за приводится формальными заменами к виду х- -ху- -у у) (х, у ). К чему этот элемент можно привести заменами голоморфными [c.95]

Теорема 4.2. Для всякого семейства Rw z) рациональных эндоморфизмов, голоморфно зависящих от параметров wW z сгС, множество 5= ш Rw z) есть /-устойчивый эндоморфизм открыто и всюду плотно в и. Гомеоморфизм, осуществляющий [c.225]

Опрепепение 4.3. Пусть ХиУ - два банаховых пространства. Семейство замшутых операторов А ц) из X в У, зависящее от параметра И (пробегающего окрестность точки 1 = комплексной плоскости) называется голоморфным (по раствору) в точке й ц, если найдется третье банахово пространство I и два семейства операторов 1/(ц)б (2, X), Г(ц) 6 (2, У), ограниченно голоморфные в точке ц = Цд а такие, что V отображает 2 взаимно однозначно на 0(А(и)) и [c.282]

Так как определение голоморфности по раствору сложно, желательны простые критерии голоморфности определенных классов семейств. В этой связи полезны следующие два предложения. [c.282]

Опрепепение 4.4. Пусть V - гильбертово пространство и пусть а(ц и, г>) - семейство ограниченных полуторалинейных форм на V, определенное в области Л комплексной плоскости. Скажем, что а(ц) ограниченно голоморфна, если а(ц и, г>) голоморфна при кйждомиеУ. [c.283]

Тогда если 4(ц) - семейство максимально аккретивных операторов на Н, соответствующих форме а(ц) яо первой теореме о представлении, о 4 (ц) - голоморфное по раствору семейство. Говорят, что это - семейство типа В по Като. [c.283]

Теорема 4.1. Пусть 4(ц) - семейство замкнутых операторов в банаховом пространстве В, определенное в комплексной окрестности й = Цц, а пусть принадлежит р(Л (ц )) - резольвентному множеству оператора Тогда 4(й) голоморфно при й = тогда и только тогда, когда z ep A( x)) и резольвента (Л(ц) - 2 / )-1 ограниченно голоморфна для достточно малых ц - . Более того, если 4(й) голоморфна, (А ( х) - г/) ограниченно голоморфна по двум переменным й, 2 на множестве всех х, г, таких что гер(А ) а ц -йц дэстаючно мало в зависимости от г). [c.283]

Теорема (Монтель). Пусть 8 — риманова поверхность и пусть З — семейство голоморфных отображений / 8 С, не принимающих трех различных значений. То есть предположим, что существуют три различные точки а, Ь, с С такие, что /(5) С С С а, Ь, с для любого Тогда З — нормальное семейство [c.52]

Определение. Пусть 8 — компактная риманова поверхность, 8 8 — непостоянное голоморфное отображение, а /°" 8 8 — его п-кратпая итерация. Область нормальности семейства итераций / " называется областью Фату Га1ои(/), а его дополнение [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...