Двойственные гиперповерхности

Задача. Докажите, что особенности педальных к типичным гиперповерхностям совпадают (с точностью до диффеоморфизма) с. особенностями фронтов типичных лежандровых отображений (и, следовательно, с особенностями двойственных гиперповерхностей для типичных [c.67]

Указание. Педальная поверхность есть инверсия фронта данной гиперповерхности, то есть она может быть получена из двойственной гиперповерхности инверсией. Инверсия является диффеоморфизмом вне точки О. [c.68]

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112]

Примеры. 1. Преобразование Лежандра гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной. [c.452]

Проективная двойственность. Поверхность, проективно двойственная данной гиперповерхности проективного пространства, состоит из касательных гиперповерхностей исходной поверхности, рассматриваемых как точки двойственного проективного пространства. [c.98]

Теорема. Гиперповерхности, проективно двойственные типичным гладким гиперповерхностям в пространстве измерений, локально диффеоморфны дискриминантам евклидовых групп отражений Ап, Оп, Еп- Эти особенности устойчивы. - "Пример. Особенности кривы х и поверхностей -двойственных типичным гладким, устойчивы и те же, что и для эквидистант кривых на плоскости и поверхностей в пространстве (рис. 44 и 45). [c.98]

Причина двойственная поверхность — тоже фронт лежандрова отображения, и типичной гиперповерхности отвечает типичное семейство функций, как и для эквидистант. [c.98]

Задачи, гипотезы, дополнения. А. Основная гипотеза п. 1.3. В частности, существуют ли тела, удовлетворяющие всем ограничениям из п. 1.3 Дивизоры в СР , не имеющие параболических точек, строятся легко достаточно взять гиперповерхность, двойственную к неособой однако она будет иметь ребра возврата. Отметим также, что препятствия к интегрируемости,, задаваемые особенностями дивизора Af, не исчерпываются описанными в пп. 1.11—1.12. Дело в том, что особенности притягивают параболические точки. [c.188]

Замечание. Подобные рассуждения доказывают аналогичную теорему для полных флагов (состоящих из проективных пространств произвольных размерностей). Эта теорема двойственности является основой проективной двойственности кривых в проективном пространстве Р" (двойственная кривая лежит в Р" и состоит из соприкасающихся гиперплоскостей исходной кривой, рассматриваемых как точки двойственного пространства. Она также является ребром возврата гиперповерхности, образованной всеми гиперплоскостями, касающимися исходной кривой). [c.65]

Фронт Я С Р этого отображения называется гиперповерхностью, двойственной к Н. Аффинная версия построения фронта данной гиперповерхности называется преобразованием Лежандра. [c.66]

Теоремы о линеаризованном сворачивании инвариантов могут быть сформулированы в терминах алгебр Ли линейных векторных полей. Полное сворачивание инвариантов определяет векторные поля, касающиеся дискриминантной гиперповерхности (и, следовательно, фронтов соответствующих особенностей). На линеаризованном уровне эта конструкция доставляет линейное семейство линейных векторных полей на касательном пространстве многообразия орбит в нуле. Эти векторные поля параметризованы точками двойственного пространства Т. [c.93]

Из предыдущей теоремы вытекает, что конструкция двойственной гиперповерхности (и, следовательно, преобразование Лежандра) инво-лютивно. [c.66]

Двойственные гиперповерхности 66 Двойственные проективные кривые 230 Дефект корневого дерева 149 Дефект футощи 148 Деформации скорости 178 Деформация 178 Джусти список кривых 170 Дискриминант особенности 97 Дискриминантная гиперповерхность 72 Дискриминантное многообразие 72, 82 Дисперсионное соотношение 276 Дифференцирование коммутативной алгебры 91 Длинный корень 177 Длинный элемент 177 Допустимое отображение 101 Допустимые отождествления 89, 91 Дынкина диаграмма 72 [c.331]

Итак, проектхшно двойственная гладкой гиперповерхность есть фронт лежандрова отображения. [c.452]

Пусть СсСР" —алгебраическая. - гиперповерхность (воз-М0Ж(Н0 с осо1беи1ностям ). Двойственное к ней мнюгообрааие А с=СР —это замыкание множества гиперплоскостей, касательных к X в его неособых точках. Для любой точки хбСР , обозначим через тх х) индекс пересечения в точке х дивизора X и прямой общего положения, проходящей через х (например, тх(х)=0 х Х). [c.235]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Дело в том, что особенностн первообразных — также лежандровы первообразную можно рассматривать как гиперповерхность, двойственную инверсии исходной. [c.100]

Многомерный случай. Об особенностях фронтов многомерных лежандровых отображений (следовательно, об особенностях эквидистант, двойственных гладким гиперповерхностей, преобразований Лежандра, подэр, первообразных и т. д.) мало что известно. Из общих теорем Варченко 29], (30], [31], [226], следует конечность числа негомеоморфных особенностей на типичных фронтах любой фиксированной размерности. Явной же топологической классификации пока нет уже для шестимерных фронтов. [c.100]

По каждому полному флагу в линейном пространстве во всех грассманианах, пространствах полных и неполных флагов строятся (см. [87]) клеточные разбиения Шуберта, клетки которых задаются условиями постоянства размерностей пересечений с линейными подпространствами исходного флага. В пространстве полных флагов клетки разбиения Шуберта нумеруются перестановками. Шлейф полного флага является объединением всех клеток положительной коразмерности построенного по нему разбиения Шуберта. III/ является приводимой гиперповерхностью в Р, состоящей нз п—1 неприводимой компоненты Дь. .., Дп-ь Д< состоит из флагов, п— -мерное подпространство которых нетрансверсально -мерному подпространству заданного флага. Д< и Дп-< диффеоморфны по двойственности. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...