Цикл область притяжения

При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [c.259]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом при е- Е к устойчивому циклу, лежащему на торе, подтягивается седловой цикл удвоенного периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при <е и при е=е передает свою неустойчивость этому предельному циклу. [c.162]

Бифуркация устойчивого цикла на торе, при которой седловой цикл, лежащий в границе области притяжения тора, подтягивается к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает. Мультипликатор в этот момент становится равным (+1). [c.162]

Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Т при е<е. [c.162]

Часть фазовой плоскости, в которой располагаются фазовые траектории, стремящиеся к устойчивой особой точке или к устойчивому предельному циклу, называется областью притяжения этой особой точки или этого предельного цикла. [c.76]

Ту часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории, стремящиеся к данному предельному циклу, называют областью притяжения этого цикла. [c.25]

Неустойчивые предельные циклы разделяют фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам или устойчивым предельным циклам. Устойчивые и неустойчивые предельные циклы чередуются на фазовой плоскости. [c.25]

Общие сведения об автоколебаниях и автоколебательных системах приведены в п 2 гл 1 Для автоколебательной системы с одной степенью свободы характерно наличие на фазовой плоскости одного или нескольких устойчивых предельных циклов Соответственно в автоколебательных системах могут существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами. Установление конкретного процесса зависит от того, в какой области притяжения находятся начальные условия. [c.171]

В случае, показанном на рис. 6.5.20, начало координат представляет собой неустойчивую особую точку типа неустойчивый фокус и вся фазовая плоскость является областью притяжения к предельному циклу. Одна из главных особенностей установившихся автоколебаний состоит в независимости их периода и размахав от начальных условий. [c.379]

Несмотря на сложный вид фазового портрета, его общая структура очень проста цилиндр 0 = 0 разбивается на три области притяжения синхронизмов А" , А и /. Это соответствует разбиению трехмерного исходного фазового пространства на три области притяжения трех устойчивых синхронизмов. При дальнейшем росте параметра ц- возникают сначала касания, а затем и пересечения сепаратрисных кривых 5+ и 8 не только различных, но и одних и тех же синхронизмов. Это приводит к образованию гомоклинических структур, содержащих циклы. Фазовый портрет [c.207]

При д> д ъ зависимости от начальных условий маятник может совершать незатухающие периодические колебания с периодом 4я/vo относительно нижнего либо верхнего положения равновесия. Кроме того, возможны режимы регулярного вращения, когда за период колебаний оси подвеса маятник совершает один оборот в ту или иную сторону. Проекция фазового портрета на плоскость х, х при а = 0,1 л>о = 20 д = 95,92, полученная на ЭВМ, представлена на рис. 9.19, а [225]. Вид реализации процесса х 1), его спектральная плотность и форма предельного цикла, соответствующие колебаниям относительно верхнего положения равновесия, при тех же значениях параметров показаны на рис. 9.19, б, в и г. Отметим, что области притяжения предельных циклов снаружи являются довольно узкими. При сравнительно небольших отклонениях от этих циклов маятник переходит во вращательный режим. [c.280]

При q 204 существовавшая до этого гомоклиническая структура (о ее существовании можпо судить по хаотическому характеру процессов установления) становится притягивающей, и в системе, кроме регулярных аттракторов, соответствующих периодическим вращениям, рождается еще один аттрактор — хаотический. Его область притяжения растет с увеличением q, а области притяжения регулярных аттракторов уменьшаются. При q 306 мультипликаторы циклов, соответствующих регулярным враще- [c.282]

Третья область, как уже указывалось, является весьма интересной с теоретической точки зрения. Здесь возможны и двухзонные и трехзонные автоколебания. Этому соответствует наличие в фазовом пространстве двух устойчивых предельных циклов. Разумеется, что одновременно они существовать не могут. Существуют или один или другой. Какой именно тип автоколебаний установится в системе и соответственно какой из предельных циклов фазового пространства будет существовать, зависит от предшествующего движения. Оба предельных цикла имеют свои области притяжения, причем в них нет участков взаимного проникновения, и поэтому, задавшись начальными условиями движения, можно однозначно определить, к какому предельному циклу придет фазовая траектория системы. [c.117]

Особая точка остается устойчивым фокусом, поэтому колебания самопроизвольно установиться не могут. Область притяжения устойчивого фокуса распространяется на всю часть фазовой плоскости, расположенную внутри неустойчивого предельного цикла. Поэтому все начальные отклонения, которым соответствуют точки фазовой плоскости, расположенные внутри неустойчивого предельного цикла, будут затухать. [c.73]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Так можно построить Ф /-сетку любой плотности. В результате кусочной линеаризации может возникнуть ложное пересечение траекторий (в виде слияния струек фазовой жидкости), могут сдвинуться точки покоя и циклы, а также деформироваться области притяжения. [c.560]

Применение второй методы к нахождению области притяжения данного цикла отличается от сказанного тем, что оболочки Ляпунова должны иметь вид замкнутых трубок, стягивающихся к данному циклу при стремлении уровня к нулю. [c.563]

Если мы возьмем начальную точку в области притяжений состояния равновесия О (см. рис. 113, а) или в области притяжения устойчивого предельного цикла 2 достаточно далеко от границы—неустойчивого предельного цикла то достаточно малые случайные толчки (которые мы всегда должны предполагать существующими в реальной системе) не выведут изображающую точку из соответствующей области притяжения, и она при увеличении t будет стремиться все к тому же стацио нарному режиму. Очевидно, так же будет вести себя и соответствующая реальная система. Иначе обстоит дело, если начальное значение взять достаточно близко к разделяющему неустойчивому предельному циклу Ьи Малый случайный толчок может перекинуть изображающую точку в область притяжения состояния равновесия О либо в область притяжения предельного цикла 2, поэтому при начальных значениях, достаточно близких к разделяющему циклу Ь, существует неопределенность в зависимости от случайных толчков возможно установление Рис. 114 одного из двух равновесных режимов. [c.221]

В этом случае со-сепаратриса о седла С является граничной для двух областей притяжения различных устойчивых элементов (устойчивых состояний равновесия или предельных циклов), и поэтому малые случайные толчки могут привести к тому, что изображающая точка пойдет к одному или другому стационарному режиму. Здесь, так же как в предыдущем случае для реальной системы, имеет место некоторая неопределенность возможного поведения. [c.222]

Рассмотренный нами применительно к генератору Ван-дер-Поля режим возникновения автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом мягкого возбуждения. Для генераторов с одной степенью свободы такому режиму соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 14.2 а. Встречаются также системы с жестким возбуждением автоколебаний. Это такие системы, в которых колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с жестким возбуждением в режим стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Фазовый портрет такого генератора приведен на рис. 14.2 б. Видно, что для выхода траектории на устойчивый предельный цикл начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне области притяжения устойчивого состояния равновесия. Отсюда ясен и физический смысл неустойчивых предельных циклов они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким движениям соответствуют притягивающие [c.298]

Следовательно, любые такие последовательности Яо, Я1,. .. имеют своей предельной точкой неподвижную точку я, а соответствующие фазовые траектории асимптотически (при оо) приближаются к симметричному предельному циклу. Таким образом, в рассматриваемом случае область притяжения интервала состояний равновесия состоит из области и небольших сегментных областей на листах (//) и (///), а вся остальная часть фазовой поверхности представляет собой область притяжения простого симметричного цикла (рис. 436). [c.616]

Иная, более сложная структура областей притяжения интервала состояний равновесия и предельного цикла получается при [c.616]

Следовательно, мы можем считать доказанным, что при выполнении условия существования простого симметричного предельного цикла (т. е. условия (8.776)) фазовая поверхность рассматриваемой релейной системы состоит только из областей притяжения интервала состояний равновесия и указанного предельного цикла. Иначе говоря, мы доказали, что в системе не существует никаких других устойчивых стационарных режимов, кроме состояний равновесия и автоколебательного режима, соответствующего простому симметричному предельному циклу. Таким образом, система будет приходить к тому или иному состоянию равновесия или в ней будет устанавливаться автоколебательный процесс в зависимости от начальных условий — в зависимости от того, в какой области притяжения находилась изображающая точка в начальный момент времени. Поэтому при выполнении условия (8.776) [c.618]

Неустойчивый предельный цикл не соответствует, конечно, автоколебательным процессам, существующим в генераторе. Он является границей, разделяющей области притяжения устойчивого автоколебательного режима и устойчивого состояния равновесий. [c.684]

Фазовые траектории, начинающиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит из нее, по вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости и устойчивости. С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сказать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством устойчивости в целом если после некоторого начального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она и далее будет оставаться в этих пределах). [c.237]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предельными точками при /->-00 предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части Содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержаи1ую его (внешнюю). Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состояние равновесия эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это означает, что если начальное отклонение от точки (О, 0) гаково, что изображающая точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству (31) соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодическое движение. [c.183]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Областью притяжения цикла (точрси, зоны покоя) называется множество точек, являющихся начальными фазами для положительных полутраекторий, по которым фазы стремятся к соответствуюпщм центрам притяжения (циклам, точкам, зонам покоя). [c.559]

Циклы и точки (или зоны) покоя, имеющие области нритяжеЕШЯ, называются устойчивыми. Применяется гидромеханическая трактовка фазового пространства, по которой оно мыслится заполненным некоторой воображаемой га-мер-ной жидкой средой — фазовой жидкостью . При этом каждая траектория рассматривается как струйка этой жидкости, а область притяжения — как область, где эта жидкость приливается к соответствующему центру притяжения. [c.559]

Замкнутую кривую АБ,ВГА на рис. 379, являющуюся границей области притяжения устойчивого фокуса (О, 0), также можно считать неустойчивым предельным циклом, если сделать следующее доопределение закона движения изображающей точки на отрезке отталкивания АБ изображающая точка двигается вдоль этого отрезка вправо во всех точках, кроме Б,, где она переходит на траекторию Б,ВГА. В пользу такого доопределения говорит следующее обстоятельство на фазовой плоскости генератора с характеристикой лампы, аппроксимируемой гладкой непрерывной кривой, сколь угодно близкой к /-характеристике, изоклиной горизонтальных касательных будет непрерывная кривая, близкая к ломаной А АББ, а неустойчивый предельный цикл будет близок к замкнутой кривой АБ1ВГА. [c.538]

Интересно отметить, что граница, разделяющая области притяжения предельного цикла и интервала состояний равновесия, не является неустойчивым предельным циклом, как это было в ранее рассмотренных динамических системах с плоской фазовой поверхностью. Этой границей являются фазовые траектории, проходящие через пограничные точки интервала состояний равновесия. Такая сравнительно необычная структура разбиения на траектории фазовой поверхности рассматриваемой сейчас системы обусловлена, конечно, многолистно-стью этой поверхности. [c.619]

На рис. 523 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая жесткого режима возбуждения разрывных автоколебаний, когда на фазовой плоскости наряду с (устойчивым) разрывным предельным циклом АБВГА имеется еще и устойчивое состояние равновесия (на участке линии медленных движений). Замкнутая линия абвга является неустойчивым предельным циклом и делит фазовую плоскость на области притяжения состояния равновесия и предельного цикла АБВГА. Именно, в системе установится состояние равновесия, если изображающая точка находилась в начальный момент времени в области, лежащей внутри кривой абвга если же в начальный момент времени изображающая точка находилась вне этой области, то она придет на разрывный предельный цикл АБВГА, т. е. в системе установятся разрывные автоколебания. [c.762]

Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определенная область притяжения, причем границами между этими областями служат неустойчивые предельные циклы (иногда такие циклы, а такн е неустойчивые состояния равновесия называют репеллерами — от английского глагола to repel — отталкивать). Эта картина подобна тому, как на земной поверхности границы между бассейнами рек проходят по линиям водораздела. [c.208]

Нри простой структуре фазовой диаграммы, когда существует единственный аттрактор — устойчивое состояние равновесия как на рис. 2.3, или устойчивый предельный цикл как на рис. 13.3 — его областью притяжения слунтт вся фазовая плоскость. В более сложных случаях стремление возмущенного двин ения к тому или иному аттрактору зависит от того, в какой из областей притяжения оказалась изображающая точка при начальном возмущении. Так, для системы с двумя предельными циклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, располо- кенпая внутри неустойчивого предельного цикла яв- [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...