Метод сопряженных градиентов

К группе градиентных методов относятся также методы наискорейшего спуска, сопряженных направлений, а также метод сопряженного градиента [30]. [c.157]

Более высокую сходимость имеют методы сопряженных градиентов [5.22, 5.23] и метод быстро сходящегося спуска [5.24], которые отличаются лишь несколько иным способом формирования рабочих шагов. [c.198]

Дальнейшее уточнение методики приводит к решению объемной задачи теории упругости. Расчет пространственно-напряженного состояния диска сложной конфигурации с эксцентричными отверстиями неправильной формы требует разбиения области решения на большее число элементов. Хотя принципиальных трудностей при решении пространственной задачи МКЭ не возникает, для реализации ее требуются ЭВМ, обладающие значительным объемом оперативной памяти и быстродействием. Например, решение пространственной задачи для РК ДРОС методом конечных элементов с использованием достаточно простого разбиения на элементы (линейные призмы) и решением системы уравнений методом исключения Гаусса потребует приблизительно 2-10 байт оперативной памяти. Сокращения необходимого объема оперативной памяти можно достигнуть применением метода сопряженных градиентов вместо метода Гаусса, однако в этом случае резко увеличивается время счета (до нескольких десятков часов для ЭВМ серии ЕС). [c.106]

Для решения системы линейных уравнений [А] х = Ь z симметричной матрицей используют метод сопряженных градиентов [15]. Схема вычислений состоит в следующем выбирают приближенный вектор Xq, затем вычисляют последовательность векторов решения х , х ,. .. и векторов невязок Го, rj, Гз. на основе приращений и Аг/1 и множества чисел 4 и согласно следующим соотношениям [c.49]

Теоретически точное решение получается за п или менее шагов, в зависимости от способа выбора и начального приближения. Практически (за счет ошибок округления) иногда требуется и больше, чем п шагов, поэтому вопрос об окончании процесса является не тривиальным. Для сокраш,ения числа итераций, необходимых для получения точного решения, может быть применено масштабирование, т. е. элементы столбцов и строк матрицы и соответственно правая часть преобразуются так, чтобы они были величинами одного порядка. Метод сопряженных градиентов с разреженной матрицей реализуется процедурой MSG. Обращение [c.50]

Среди известных итерационных процессов, используемых для решения системы линейных уравнений с положительно определенной матрицей, своей эффективностью выделяются оптимальный линейный итерационный процесс и метод сопряженных градиентов. [c.43]

В связи с этим использование рассматриваемого линейного итерационного процесса имеет смысл в том случае, когда этот процесс дает существенное уменьшение времени счета по сравнению с методом сопряженных градиентов. Анализируемый алгоритм является оптимальным по скорости сходимости. [c.45]

Рассмотрим известный в математике метод сопряженных градиентов [Л. 91], обеспечивающий указанный эффект. В этом методе формула (2-26) заменяется на формулу [c.52]

При использовании метода сопряженных градиентов в формуле (2-32) для вычисления шага Лр, вместо (ЗЕЯ/ Зг,э следует подставлять рц. [c.52]

Аналогичный методу сопряженных градиентов эффект дает также метод Б. Т. П о л я к а [Л. 61]. [c.52]

Все три приема (методы сопряженных градиентов, Б. Т. Поляка и быстрого градиента) влияют на улучшение прохождения оврагов , образуемых штрафными функциями на поверхности целевой функции. Поэтому совместное применение этих приемов нецелесообразно и рекомендуется использовать только один из них — метод сопряженных, градиентов. [c.52]

Опыт расчетов показывает, что при использовании метода сопряженных градиентов более предпочтителен по объему программы и затратам машинного времени следующий путь решения. В точках разрыва (и вблизи от них) берутся не по два, а по одному значению производных н dN JdN. Эти производные вычисляются слева от точки разрыва, если мощность ГЭС отличается от предельной допустимой мощности более, чем на некоторую величину В противном случае произ- [c.63]

При таком учете производных вблизи точек их разрыва могут быть зигзагообразные ходы (в градиентном методе) вдоль линий предельных мощностей ГЭС. Однако метод сопряженных градиентов, ускоряющий зигзагообразный обход границ ограничений (учитываемых с помощью штрафных функций), выполнит свою полезную роль и в последнем случае. [c.63]

Другие итерационные методы. Популярными методами решения систем с симметричными положительно определенными матрицами являются метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряженных градиентов, изложенные в п. 5.1.10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (5.4). Изложение метода минимальных невязок, линейного многошагового метода с чебышев-ским набором параметров и других методов можно найти в [8, 13, 16, 58, 59]. [c.129]

Метод сопряженных градиентов. Ненулевые [c.142]

Методы сопряженных направлений различаются способами построения сопряженных направлений. Наиболее известным среди них является метод сопряженных градиентов, в котором направ- [c.143]

Минимизацию произвольной функции / методом сопряженных градиентов осуществляют в [c.143]

Управляющая процедура метода сопряженных градиентов [c.50]

J G — итерационный метод сопряженных градиентов Якоби [c.188]

P G — метод сопряженных градиентов с предварительными настройками применим для расчета статических задач, переходных процессов и определения форм и частот [c.189]

Сформулированную задачу нелинейного программирования предлагается решать методом штрафных функций в сочетании с методом сопряженных градиентов. В работе этот метод использован для решения оптимизационной задачи по определению минимума функции многих переменных f (х) при наличии ограничений gi (х) = О (i = О, 1, 2. ..). Известны две группы методов решения подобных задач . В первой группе методов ограничения учитываются с помощью множителей Лагранжа . С этой целью составляется функция Лагранжа [c.105]

Относится к группе методов сопряженных градиентов.— Прим. ред. [c.171]

На рис. 3.9 сплошной линией показана траектория поиска минимума квадратичной целевой функции методом наискорейшего спуска. Поиск по методу сопряженных градиентов (пунктирная линия) дает более быстрое определение экстремума квадратичной функции. [c.74]

Рис. 6.4. Поиск экстремума квадратичной функции методом покоординатного спуска (а), методом параллельных касательных (б), методом нанскорейшего спуска (в) и методом сопряженных градиентов (г)

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Решение уравнений (10) может быть найдено при помощи как ТОЧНЫХ, так и приближенных методов. Наиболее эффер тивными оказались блочный метод исключения Гаусса и метод сопряженных градиентов. Итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны. [c.560]

Во ВНИИЭ был исследован также прием ускорения процесса решения [Л. 84], известный в математике под названием быстрого градиента . Проверка показала, что этот прием дает определенный положительный эффект, однако меньший, чем метод сопряженных градиентов. [c.52]

Один из приемов, использованный в методе сопряженных градиентов (называемом также методом Флетчера - Ривса), основан на понятии сопряженности векторов. Векторы А и В называют Q-сопряженными, если A QB = О, где Q — положительно определенная квадратная матрица того же порядка, что и размер Л векторов А и В (частный случай сопряженности — ортогональность векторов, когда Q является единичной матрицей порядка iV) А — вектор-строка В — вектор-столбец. [c.163]

Для сильно выпуклой гладкой функцин / при некоторых дополнительных условиях метод сопряженных градиентов обладает высокой сверхлиней-ной скоростью сходимости. В то же время его трудоемкость невысока и сравнима с трудоемкостью метода напскорейшего спуска. Если решается задача минимизации функции с очень большим числом переменных, то метод сопряженных градиентов, по-видимому, является единственным подходящим универсальным методом. [c.143]

Так как в явном виде матрица В К В в левой части первой системы уравнений (7.63) не вычисляется, эта система уравнений решается итерационным методом сопряженных градиентов [102]. После ее решения найденное значение ДЛ подставляется в правую часть второй системы уравнений (7.63) и находится решение для Ди. Итерационный цикл по решению системы (7.63) продолжается до тех пор, пока решение не сойдется и перехлест Ас [c.238]

Итерационные методы достаточно эффективны при решении конечно-разностных СЛАУ, матрицы которых имеют весьма специальные структуру и спектральные свойства. Метод сопряженных градиентов (МСГ) [2, 10] нельзя отнести безоговорочно к первой или второй группе, поскольку, будучи итерационным по характеру вычислительного процесса, он дает (при отсутствии погрешностей округления) точное решение за число шагов, не превышающее размерности задачи. Однако наличие погрешностей округления в реальных расчетах на ЭВМ сводит на нет эту его особенность. Спектральные свойства конечно-элементных матриц обычно обеспечивают достаточно быструю сходимость МСГ число [c.34]

RSLEGP3 БЛОК ИТЕРАЦИЙ ПО МЕТОДУ СОПРЯЖЕННЫХ / / ГРАДИЕНТОВ. / [c.428]

M GIAP / / МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НОРМИ- / / РОВАННОЙ МАТРИЦЕЙ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ. / [c.429]

M GIAP метода сопряженных градиентов с предварительно нормированной матрицей — Вычислительный модуль 4Й—430 [c.515]

J GOUT — метод сопряженных градиентов Якоби, версия для компьютеров с недостаточной оперативной памятью для расчета собственных частот не применяется [c.188]

P GOUT — метод сопряженных градиентов с предварительными настройками, версия для компьютеров с недостаточным объемом оперативной памяти [c.189]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

В работе [1] можно найти обзор алгоритмов нелинейного программирования для задач восстановления изображений. Задача сводится к минимизации целевых функционалов с учетом ограничений, накладываемых на функции, входящие в задачу. Если результирующий функционал с учетом ограничений можно нредставить в виде суммы линейного и квадратичных функционалов, то решение задачи находится аналитически. В противном случае требуется создавать вычислительные алгоритмы. Среди них можно выделить следующие метод прямой оптимизации, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов. Последний из перечисленных методов имеет наилучшую сходимость. Еще более быструю сходимость демонстрирует метод модифицированных функций Лагранжа, [c.67]

Для увеличения скорости сходимости можно использовать и другие градиентные методы. Например, метод сопряженного градиента. Для его варианта Флетчера-Ривза каждое последующее приближение выглядит следующим образом [26] [c.70]

Для расчета профиля решетки будем использовать градиентный метод минимизации функции ошибки е(х). Основной проблемой, связанной с градиентными процедурами, является выбор начального профиля для получения стабильной сходимости. Как правило, при случайном выборе начального профиля, градиентные алгоритмы стагнируют при среднеквадратичной ошибке формирования заданных значений интенсивности порядков в 75-85%. Использование аналитического начального приближения (2.144), (2.150), (2.152) дает быструю и стабильн ую сходимость градиентных процедуры при высокой эффективности и низкой среднеквадратичной ошибке. Рассмотрим метод сопряженного градиента для минимизации функцшт ошибки е(х). Метод состоит в итерационной коррекции координат профиля решетки по правилу [70 [c.84]

Одним из известных методов сопряженных направлений является метод сопряженных градиентов Флетчера — Ривса. Согласно этому методу [c.155]

В методе сопряженных градиентов каждый итерационный шаг состоит нз двух подшагов, причем первый делается вдоль внутренней нормали, а второй — параллельно предыдущему итерационному шагу, что улучшает скорость сходимости. Хотя уже основной вариант этого- метода полезен [46, 47] из-за малых требований к памяти, существует усовершенствованный вариант [22], который яйляется еще более обещающим. Сопряженный метод Ньютона [48], алгебраически эквивалентный методу сопряженных градиентов, использует кроме итераций значительное число исключений Гаусса и кажется перспективным. [c.242]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.287 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.163 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.142 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.7 , c.330 ]

Введение в метод конечных элементов (1981) -- [ c.242 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...