Особые точки поверхности

Из этого определения непосредственно следует способ построения нормали. Очевидно, что в особой точке поверхности положение нормали неопределенно. [c.132]

Два однородных изотопных тела / и // с различными упругими постоянными соприкасаются в точке О, расположенной на гладких участках их поверхностей (рис. 10.5). В точке касания О, не являющейся особой точкой поверхностей тел, имеет место общая касательная плоскость. [c.347]

Если ю принимает несколько значений из совокупности индексов к, то во время бесконечно малого элемента пути нагружения компоненты тензора напряжений продолжают соответствовать особым точкам поверхности нагружения. Если со = /, где у — единственный фиксированный индекс, то во время бесконечно малого пути нагружения происходит переход из особой точки в регулярную точку поверхности 2р. Если индексы О принимают все значения из совокупности индексов к, то такой процесс нагружения называется полным. [c.438]

Согласно дифференциальной геометрии каждый элемент йЗ аналитической (без особых точек) поверхности характеризуется двумя главными значениями кривизны к и йг, которые соответствуют двум кривым, образованным в результате сечения элемента 5 ортогональными плоскостями, параллельными нормали к йЗ. Если векторы Й1 и 2 направлены к центру кривизны, то элемент йЗ выпуклый [c.88]

Но последняя точка является особой точкой поверхности конуса. Здесь нарушается определение направления нормали к поверхности конуса. Метод Лагранжа не дает возможности исследовать это положение. [c.94]

В регулярных точках поверхность текучести Е имеет единственную нормаль, поэтому вектор е однозначно определяет соответствуюш ий вектор а и скалярное произведение D = <зг определяется однозначно для данного . В особых точках поверхности нагружения разные векторы е могут соответствовать одному вектору а, тем не менее, скалярное произведение D = ог однозначно определяется заданием вектора е. Наконец, если поверхность нагружения имеет невогнутые участки, [c.42]

Рассмотрим определения разгрузки, нейтрального нагружения и нагрузки для особых точек поверхности нагружения (2.1.6). В данном случае соответствующие определения для одной гладкой функции нагружения / могут быть распространены на совокупность гладких функций нагружения определяющих рассматриваемую особен- [c.269]

Если т совпадает с несколькими индексами, то точка нагружения при нейтральном нагружении продолжает оставаться особой точкой поверхности нагружения Е, если ш — единственный фиксированный индекс, то точка нагружения при нейтральном нагружении смещается с особой точки в регулярную точку поверхности Е. [c.270]

По смыслу множитель дАа/да является комбинированной плотностью состояний, дающих вклад в наблюдаемый сигнал. В особых точках поверхности синхронизма эта плотность может резко возрастать (см. ниже). Направление й на точку наблюдения в (4) считается фиксированным, поэтому из следует [c.183]

Особые точки поверхности нулевой скорости. [c.262]

Особые точки поверхности [c.262]

Из последнего уравнения для 2 сразу находим, что 2=0. Следовательно, все особые точки поверхности нулевой скорости лежат в плоскости ху. Для особых точек уравнения движения (V. 176) принимают вид [c.263]

Особые точки поверхности нулевой скорости, лежащие на оси X, называются либрационными точками Лагранжа и обозначаются Li, и L . [c.265]

Уравнения (1.3.6). справедливы только для гладких частей поверхности текучести. В особых точках поверхности текучести принцип максимума позволяет получить ассоциированный закон пластичности тем же методом Лагранжа в следующей форме [c.13]

Таким образом, для особых точек поверхности текучести также получается замкнутая система уравнений., [c.13]

В обыкновенной точке поверхности можно провести только одну вполне определенную касательную плоскость к поверхности. 13 особой точке поверхности касательная плоскость — неопределенная или не единственная. Проведению касательных плоскостей посвящен 53. [c.207]

Для того чтобы уточнить, какое именно рациональное отображение / имеет эти свойства, нам следует перенумеровать особые точки поверхности 82- Четыре точки ветвления на Т отображаются в четыре точки разветвления на 82, которые будут играть особую роль. Выберем конформный изоморфизм 82 на С, отображающий первые три из этих точек в точки оо, О и 1, соответственно. Четвертая точка разветвления должна отображаться при этом в некоторую точку а 6 С О, 1 . Это позволяет построить отображение проектирования р Т —С степени два, которое удовлетворяет соотношению р —г) = р(г) и имеет критические значения [c.92]

При исследовании формы поверхности в окрестности рассматриваемой точки касательная плоскость играет весьма важную роль. Однако не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость или неопределенная, или не единственная. Такие точки называют особыми точками кинематических поверхностей. Например, точки ребра возврата поверхности торса, вершина конической поверхности, точки оси [c.266]

В рассматриваемых кинематических поверхностях с параболическими точками имеются особые точки, к которым принадлежат вершины конусов и точки ребра возврата торсов. [c.270]

Точки ОР ч при р ф п, О — седловые особые точки. Через седловую особую точку нро.ходят две поверхности Sp и Sq размерностей р и q, составленные из траекторий, стремящихся к точке 0 при + оо и соответственно /-> — се. [c.244]

На поверхности точка ОР " является устойчивой особой точкой а на поверхности —неустойчивой [c.244]

Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (j) при t -> — оо В некоторых случаях она довольно проста и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек 0 [c.246]

Аналогично, точка 0 ч на поверхности Sq — это неустойчивая особая точка 0 > с областью заполнения [c.247]

Точки поверхности соответствуют наличию двух чисто мнимых сопряженных корней i o, точки Л о — одного нулевого. Поверхность нулевых корней yVo совпадает с поверхностью (7.15), определяющей границу области существования особой точки X (ц). Внутри каждой области, ограничиваемой поверхностями yv,,, и Л/ , состояние равновесия зависит от параметров (х непрерывно и имеет один и тот же тип, определяемый числами р и < . [c.252]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

При описании явления отрыва ( 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии ). [c.231]

Поверхности врап1ения нмеют бесконечно много меридиональных плоскостей и, сле-дова1ельно, в особой точке поверхности вращения можно построить бесконечное мно- [c.275]

Это положение доказывается в курее дифференциальной геометрии. Там же рассматриваются особые точки поверхности, в которых касательная плоскость или неопределенная, или же не единственная. Пр нмером такой точки может служить вершина конической поверхности. [c.170]

Поверхность 2 может содержать особенности в виде ребра возврата L. Все точки L являются особыми точками поверхности а (и, i )-, L — регулярная кривая. Сечение поверхности, проведенное под произвольным углом к L, отличном от нуля, имеет точку возврата на L. В точках ребра возврата L поверхность 2 имеет не касательную плоскость, а континген-цию в виде полуплоскости. Если Р — точка поверхности 2 вблизи точки Zg ребра возврата, то орт-нормали к поверхности [c.87]

Требование независимости параметров с(. , Ы предполагает, что равенство (1.4) не имеет места товдественно Однако в отдельных точках прверхности произведение [ Ti, "] может обращаться в нуль такие точки носят название особых точек поверхности, в противоположность обыкновенным точкам, в которых это произведение отлично от нуля. Такое определение особой точки, вообще говоря, связано с заданным аналитическим ее выражением, с ее координацией. Поэтому, обнаружив особую точку поверхности, необходимо исследовать, обуславливается ли это особенностью геометрической структуры поверхности или способом ее задания, так как точка, признаваемая особой при одной координации поверхности, может оказаться обыкновенной при другой координации. [c.14]

Если уменьшать величину С, внешняя замкнутая кривая сжимается. Кривые, окружающие т и wi2, расширяются и, как показали расчеты, доходят до соприкосновения друг с другом (в особой точке поверхности Хилла), а затем соединяются между собой, образуя профиль несимметричной гантели, тяготеющей к большему по массе притягивающему телу гп (точка 1 — m на рис. 6.3, а, б, в). Гантель имеет симметричную форму только при т = 1/2, когда гп = Ш2. Дальнейшая эволюция формы кривых при уменьшении величины С показана на рис. 6.3, г, 3, е и будет обсуждаться несколько позже. Значения постоянной С, соответствующие построенным кривым, удовлетворяют неравенствам [c.223]

Пусть О — вершина такой поверхности, на которой всегда лежит цеитр шара G. Пусть касательные к линиям кривизны в точке О взяты в качестве осей X и /, и пусть (х, у, г) — координаты точки G. Будем считать, что О не является особой точкой поверхности. С целью упростить общие уравнения движения (4) из II. 215 в качестпе осей GA и GB возьмем касательные к лннням кривизиы в точке G. Однако поскольку точка G всегда очень близка к точке О, линии кривизны в точке Сив точке О будут почти параллельны. Удерживая бесконечно малые первого порядка, имеем [c.203]

Теорема ([110]). Пусть а — изолированная особая точка поверхности А и F zW—плоская компонента волнового фронта, состоящая из таких точек у, что ортогональные к ним плоскости У проходят через а. Тогда вблизи любой неособой точки компоненты F выполнено локальное условие Петровского со стороны обеих частей Дополнения к этой компоненте. [c.200]

Особые точки поверхностей Хилла, или точки относительного равновесия, на. зываются обыкновенно точками либрации. Прим. ред. [c.260]

У поверхностей вращения особыми точками являются точки пересечения меридиана с осью вращения. Эти точки не имеют ходов. Касательные плоскости в точках меридиана, как известно, перпендикулярны к соответствующим меридиональным плоскостям. В каждой из указанных особых точек можно построить к поверхности вращения касательную п]юскость, пользуясь лишь каса-1ельной к тому меридиану, к которому отнесена эта особая точка. [c.275]

В особых точках касательная плоскость или не определяется единственным образом, или не существует вообще. Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называют обыкновенными. Наконец, введем еще одно понятие — нормаль к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на 1юстроение нормалей к кривым поверхностям можно свести к задачам на построение касательных плоскостей. [c.130]

Возможны также случаи, когда на поверхности имеются точки, в которых невозможно провести касательную к поверхности такие точки называют особыми. В качестве примера особых точек можно привести точки, принадлежащие ребру возврата торсовой поворхпос-ти, или точку пересечения меридиана поверхности вращеьп1я с ее осью, если меридиан и ось пересекаются не под прямым углом. [c.141]

Пересечение отрезков f 1"2"] и 3 4 ] укажет фронтальные проекции двух точек L l и L iiL" = L 2), принадлежащих линии пересечения поверхностей О и (3. Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии /j изменяется в пределах от min = 0"М" яо Ktnax == 0"В" (точка М" определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану поверхности 3 из центра О"). Для определения точек линии /2 тах 0"С", /Jrnin - 0"М". На рие. 228 показано определение точек N" и Nj., принадлежащих линии. Г ори-зонтальная проекция линии пересечения может быть найдена из условия ее принадлежности поверхности fi. Для ее построения необходимо через фронтальные проекции точек кривых I" и /j провести горизонтальные прямые — фронтальные проекции параллелей поверхности 3, а из точки О — окружности - горизонтальные проекции параллелей, на которых с помощью линий св зи можно определить горизонтальные проекции точек, принадлежащих кривым и Особые точки Л, В, С, D определяются пересечением главных меридианов поверхностей а и р. Они же являются высшими (точки А и С) и низшими (точки в и D) точками линии пересечения поверхностей. Границы видимости линии на горизонтальной плоскости проекции определяются точками, принадлежащими го- [c.159]

К таким поверхностим относятся торсы, при этом особые точки, принадлежащие ребру возврата или вершине конической поверхности, во внимание не принимаются. [c.197]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...