Устойчивость — Энергия потенциальна

Так, например, на рис. 121, а изображен физический маятник в состоянии равновесия. Если потенциальная энергия маятника минимальна, то равновесие устойчиво, если же потенциальная энергия максимальна, то равновесие неустойчиво. [c.243]

Вновь предположим, что колебания происходят вокруг положения устойчивого равновесия и потенциальная энергия системы имеет минимум в этом положении. Тогда уравнение [c.279]

Пример. Колебания двухатомной молекулы. Два атома, соединенные в устойчивую молекулу, обладают потенциальной энергией, представляющей собой квадратичную функцию разности г —Го между фактическим расстоянием между ними г и равновесным расстоянием Го [c.283]

Общая картина расположения фазовых траекторий представлена на рис. 428. На том же рисунке показана кривая переменной части потенциальной энергии П(ф). В полном согласии с ранее изложенными соображениями центрам, где положение равновесия устойчиво, соответствуют минимумы потенциальной [c.495]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на [c.510]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. [c.419]

Другими словами, в линейных задачах теории упругости вторая вариация полной потенциальной энергии выражается той же положительно определенной квадратичной формой (3.17), что и удельная потенциальная энергия деформации. Следовательно, б"5 > О, и всякое положение равновесия упругой линейной системы устойчиво, поскольку полная потенциальная энергия имеет минимальное значение. [c.78]

Пружины винтовые — Выносливость 689 — Геометрия 687 Крепление 690, 693 — Типы 686 — Устойчивость 691, 692 —Энергия потенциальная 688, 693 [c.789]

Система с одной степенью свободы характеризуется обобщенной координатой q. Если на эту систему действуют силы потенциального поля, то потенциальная энергия является функцией обобщенной координаты П(9). Положение равновесия системы соответствует условию dn/d9=0, а устойчивое равновесие — минимуму потенциальной энергии. Колебания системы с одной степенью свободы (одномерный осциллятор) описываются потенциальной энергией U x)= iX /2 и кинетической энерги- [c.150]

Упругая деформация происходит в металле в результате отклонения атомов в кристаллической решетке от положения устойчивого равновесия величина этого отклонения не превышает расстояние между соседними атомами. Отклонение атомов от положения устойчивого равновесия увеличивает потенциальную энергию, накопленную в теле, и до определенных пределов величина смещения атомов возрастает пропорционально увеличению деформирующих сил (закон Гука). В любых условиях действие внешних сил на тело уравновешивается противодействием межатомных сил, стремящихся вернуть атомы в положение устойчивого равновесия с минимумом потенциальной энергии. [c.358]

Вигнер обратил внимание на то, что при достаточно низких плотностях электроны в присутствии равномерно размазанного фона положительных зарядов будут располагаться упорядоченным образом. Этот электронный кристалл с малой плотностью электронов оказывается устойчивым, так как потенциальная энергия взаимодействия электронов, способствующая образованию упорядоченной структуры, пропорциональна 1/га, в то время как кинетическая энергия пропорциональна 1/г следовательно, при достаточно больших значениях кинетическая энергия не может противодействовать локализации электронов в определенных местах. Фактически, как можно было догадаться, основываясь на рассмотренной ранее задаче о плавлении твердого тела, критерий устойчивости электронного кристалла определяется амплитудой колебаний электронов около их положений равновесия. Как мы увидим ниже, амплитуда нулевых колебаний, соответствующих фононам в электронном кристалле, пропорциональна При достаточно низких плот- [c.125]

Устойчивость — Энергии потенциальная [c.567]

Из принципа эквивалентности массы и энергии следует, что притягательное взаимодействие частиц ядра, образующих устойчивый (с отрицательной потенциальной энергией) атом, сопровождается уменьшением их массы по сравнению с массой этих же частиц, удаленных на расстояние, исключающее взаимодействие между ними. Это уменьшение массы при ядерных реакциях носит название дефекта массы, обозначается Дт и может быть определено экспериментально. [c.167]

Тяжелый шарик из положения 1 стремится попасть в более устойчивое положение 2 (рис. 24), так как потенциальная энергия в положении 2 меньше, чем в положении /. [c.43]

Доказательство теоремы состой из двух частей. Первая часть доказательства содержит выбор значения потенциальной энергии /7. Во второй части доказывается существование положительных чисел г], и ri2, отличных от нуля, обеспечивающих выполнение условий устойчивости. [c.422]

Будем считать, чго в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Это является достаточным условием устойчивости положения равновесия системы. В этом случае [c.427]

В них атомы находятся в устойчивом положении равновесия и обладают минимальной потенциальной энергией. [c.105]

Решение. Принимаем, что стержень при потере устойчивости деформируется примерно таи же, как и при действии горизонтальной силы Р. Строим эпюру М от действии силы Р (рис. Х.7, б) и вычисляем потенциальную энергию изгиба по формуле (УТ.22) или по правилу Верещагина, перемножая эпюру М саму на себя [c.286]

Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия является лишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума. [c.387]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при Qi=q =0 система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде [c.394]

Положим, что стержень (рис. 512) сжат силой Р, меньшей критического значения, В этом случае он находится и устойчивом положении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему поперечную нагрузку (сила Р ). При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и Р совершат работу, и результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде следующего уравнения [c.441]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

На основании приведенных теорем 3.2 и 3.1 будем в дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии. Из DToro следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изоли])овано. [c.82]

В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение. Таким образом, потенциальная энергия системы (8.2) [c.156]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Условие бП = О позволяет выделить равновесное бостояние системы. Об устойчивости этого состояния можно судить с помощью теоремы Лагранжа — Дирихле. Если равновесное состояние устойчиво, то полная потенциальная энергия системы имеет минимум (6П=0, б П О), если неустойчиво — максимум (бП = О, 62П<0) безразличному равновесию соответствует постоянная величина энергии (бП = О, б П = 0). Здесь бП, б П — первая и вторая вариации полной энергии. Эта теорема впервые была сформулирована Лагранжем, доказательство ее для системы с конечным числом степеней свободы было дано Дирихле. [c.53]

Энергетический критерий устойчивости. Если рассматриваемая система — консервативная, то достаточное условие ее устойчивости доставляет признак Лагранжа — Дирихле в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. Если [c.267]

Достаточный признак устойчивости положения равнс весия механической системы относительно инерциальной системы отсчета устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени н зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом тогда это положение будет положением устойчивого равновесия. Минимум потенциальной энергии и называется изолированным, если в некоторой окрестности положения /ед, в котором энергия минимальна, нет других экстремальных точек функции (7. Иначе говоря, минимум будет изолированным, если при [c.263]

Остановимся на других методах исследования устойчивости упругого равновесия при потенциальных внешних силах. Среди этих методов важное место принадлежит энергетическому методу. Этот метод основан на теореме Лагранжа — Дирихле, согласно которой в положении устойчивого равновесия суммарная потенциальная энергия системы принимает минимальное значение.Теорема Лагранжа — Дирихле, доказанная строго для системы с конечным числом степеней свободы, была распространена на упругие системы Дж. X. Брайаном (1888 г.), С. П. Тимошенко (1907, 1908, 1910 гг.) и другими. [c.335]

Энергия потенциальная 23—25 Стержни з пругие на жестких опорах однопролетные с изменением жесткости ступенчатым — Подразделение на участки 14 — Силы критические и устойчивость 21—23 [c.565]

Этот метод базируется на известном. энергетическо.м принципе, согласно которому в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы Э имеет минимальное значение, [c.426]

В т. I было доказано, что если известен первый интеграл уравнений движения системы, возмущенной из положения равновесия, типа интеграла энергии, то в ряде случаев при помощи этого интеграла можно определить, является ли положение равновесия устойчивым или нет. Так, например, если потенциальная энергия имеет минимум в положении равновесия, то из интеграла живых сил сразу же следует, что положение равновесия устойчиво. Однако, если потенциальная энергия не имеет минимума, го одного интеграла живых сил недостаточно для определения юго, является ли равновесие устойчивым или нет. Но, принимая 1Ю внимание другие уравнения движения, бь1ло доказано, что положение равновесия неустойчиво ). [c.81]

Из постановки задачи видно, что для любой е-окрестности, найдется такая ямка вблизи начала координат, что при соответствую-ш,ем ограничении на скорость эту ямку точке не преодолеть, т. е. нулевое положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Потенциальная же энергия Я (ж) = sin (l/a ) в любой Д-окрестности донолнительно к жо = О обращается в нуль при xi = 1/л/тт, где п — такое натуральное число, чтобы выполнялось жх < Д. Таким образом устойчивость есть, а требование (7.5) теоремы 7.1 нарушено. [c.30]

Если система консервативная, можно не рассматривать ее колебаний достаточное условие устойчивости доставляет известный признак Лагранжа—Дирихле в устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум [энергетический критерий). [c.347]

Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ш. Потенциальная энергия n(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой вдоль кривой, г(s)—расстояние точки от оси враптення. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки. [c.432]

Потенциальная энергия с принятой точносгью являегся однородной квадра гичной формой o6o6niem[bix коордипа ] (/, и (/2- В гом случае, когда но генциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, i. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения [c.472]

Равенства (118) или (119) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, система, на которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максии ум), находится в равновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесия будет рассмотрен в 147. [c.376]

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. 127) системы, дает следующая теорема Лагранжа — Дирихле если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым. [c.387]

В качестве доказательства ограничимся следующими рассуждениями. Для консервативной системы имеет место закон сохранения механической энергии, т. е. T+n= onst, где Т — кинетическая, а П — потенциальная энергия системы. Поэтому, если в положении равновесия П=Пп11п, то когда система после малого возмущения придет в движение и будет удаляться от положения равновесия, значение П должно возрастать и, следовательно, Т будет убывать. Однако при возрастании П не может стать больше некоторой величины Ili=nn,jn+An, которая получится, когда Т обратится в нуль. Учтя это, можно начальные возмущения, а с ними и значение ДП сделать столь малыми, что когда у системы П=Пт +ДП ее отклонение от равновесного положения будет меньше любого сколь угодно малого заданного. Отсюда и следует, что равновесное положение является устойчивым. [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...