690, 693 — Типы 686 — Устойчивость 691, 692 —Энергия потенциальная

Пружины винтовые — Выносливость 689 — Геометрия 687 Крепление 690, 693 — Типы 686 — Устойчивость 691, 692 —Энергия потенциальная 688, 693 [c.789]

На первое место в этом отношении, как теоретически наиболее важную, нужно поставить перманентную устойчивость , при которой малые отклонения от состояния равновесия или периодического движения остаются малыми все время. Таков тип устойчивости обычного равновесия, когда потенциальная энергия имеет минимум. Уравнения динамики принадлежат к такому типу, для которого эта устойчивость может существовать, хотя, вообще говоря, вопрос о том, имеется она или нет в каком-нибудь данном случае, принадлежит к числу чрезвычайно трудных вопросов и составляет так называемую проблему устойчивости . До сих пор эта проблема разрешена только для тех случаев, когда какой-нибудь известный сходящийся интеграл гарантирует существование подобной устойчивости перманентного типа. [c.130]

Мы рассмотрели три возможных случая экстремальных значений потенциальной энергии системы и связали их с типом особых точек и с вопросом об устойчивости состояний равновесия ). Мы убедились в том, что в случае минимальной потенциальной энергии состояние равновесия является особой точкой типа центра и устойчиво если потенциальная энергия имеет максимум, то состояние равновесия является особой точкой типа седла и неустойчиво. Состояние равновесия неустойчиво и в случае, когда потенциальная энергия имеет точку перегиба. На этом основании для рассматриваемого случая простейшей консервативной системы можно сформулировать две основные теории устойчивости во-первых,теорему Лагранжа ),которая гласит Если в состоянии равновесия потенциальная энергия есть минимум, то состояние равновесия устойчиво, [c.116]

Два типа фазовых траекторий соответствуют двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа центр с координатами у = О, X 2пп (п — любое целое число), соответствуют колебательным движениям маятника вокруг устойчивого нижнего положения равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии. Особые точки / = 0, х = = (2п -- 1) л представляют особые точки типа седло, соответствующие верхнему положению равновесия маятника — максимуму потенциальной энергии. [c.24]

Кристаллическую решетку образуют воображаемые линии и плоскости, проходящие через точки пространства, в которых располагаются ионы металла. Более правильно эти точки определить как центры наиболее вероятного расположения ионов, так как те не остаются неподвижными, а колеблются около этих центров. Последние обычно называют узлами кристаллической решетки. Наиболее распространенными типами таких решеток металлов являются кубическая объемноцентрированная (рис. 115, а), кубическая гранецентрированная (рис. 115, б) и гексагональная плотно-упакованная (рис. 115, в). В них атомы находятся в устойчивом равновесии и обладают минимальной потенциальной энергией. [c.113]

Колебания около положения равновесия. Устойчивость. Если система рассмотренного выше типа консервативная и если U обозначает ее потенциальную энергию, то при отсутствии внешних сил мы имеем равенство [c.167]

Если т = 2, то критический случай соответствует особой точке типа центра мы видели в 19.4, что хотя линейное приближение Fq дает устойчивость, точное поле F может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай >> 2 отличается от случая т = 2 тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней неустойчивость можно получить уже в линейном приближении ( 21.11). Даже в том случае, когда линейное приблин ение дает устойчивость, точное поле мон<ет дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае = 4. В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво (гл. IX). [c.428]

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп <я результат такого анализа изображен на рис. 1.13, 6. Как видим, поведение этой системы при Фо = О качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При фо О критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку l. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние. [c.20]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

На вопросах устойчивости равновесия подробнее остановимся в следующем параграфе, а сейчас только подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы, как линейные, так и нелинейные. Нелинейности в консервативных системах могут быть геометрические и физические. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физические нелинейности проявляются в тех случаях, когда материал не подчиняется закону Гука, а обладает более сложными упругими свойствами. [c.24]

С ИОННЫМИ СВЯЗЯМИ, в поведении решетки определенного типа решающую роль играют относительные размеры ионов, которые выражаются отношением радиусов йл/йв (Л — катион, В — анион) (см. 1.2.2 и рис. 5.5). С помощью простых геометрических рассуждений можно прийти к выводу, что координационное число будет возрастать с увеличением отношения радиусов ионов. Максимальная координация осуществляется в случае, когда анионы соприкасаются как друг с другом, так и с катионами. Если радиус превышает эту величину, анионы отталкивают друг друга и не соприкасаются больше с катионом. Благодаря повышению потенциальной энергии при переходе предельного отношения радиусов, энергия решетки уменьшается, а вместе с тем понижается и ее устойчивость. [c.83]

Метастабильные фазовые состояния — это не вполне устойчивые состояния системы из большого числа частиц, способной к фазовому переходу первого рода. Система устойчива по отношению к малым (непрерывным) изменениям термодинамических параметров, но проявляет неустойчивость при возникновении в ней тем или иным путем конкурирующей фазы. Термодинамически это обусловлено существованием при заданных условиях по крайней мере двух минимумов термодинамического потенциала, например, свободной энергии. Абсолютно устойчивое или стабильное состояние системы соответствует наименьшему из них. Другим минимумам отвечают метастабильные состояния. Такие состояния способны к более или менее длительному существованию, поскольку сами по себе они устойчивы, а переход в стабильную фазу при отсутствии затравки требует преодоления некоторого потенциального барьера. Предполагаем, что система является внутренне равновесной но всем другим признакам. Этим исключаются из рассмотрения замороженные неравновесные состояния типа стекол, в которых из-за большой вязкости затруднены молекулярные перестройки, сопровождающие непрерывные изменения исходной фазы. [c.6]

Выполнение условия (4.38) означает существование на фазовой плоскости устойчивой стационарной точки типа центр. В случае, когда все коэффициенты в формуле (4.32) отличны от нуля, потенциальная энергия (4.35) может иметь вид, показанный на рис. 4.2. Внешняя сепаратриса отделяет область вращательных движений ( 4 от большой колебательной области (7з, которая охватывает две внутренние малые области колебательных движений С и 2- Точки х и Хз точки типа центр, Х2 х [c.124]

Устойчивость движения маятника в колебательной области означает, что при любых малых возмущениях фазовая точка всегда остаётся внутри этой области. В этом случае величина полной энергии системы Е, на любом интервале времени, не превышает значения потенциальной энергии Ус, вычисленного в седловой точке (рис. 4.6). Однако это, вообще говоря, не означает устойчивости движения маятника по Ляпунову в окрестности стационарной точки типа центр, и наоборот. [c.127]

Потенциальная энергия ] имеет вид, показанный на рис. 4.7 а. Фазовая плоскость состоит из одной области колебательного движения 02 и области вращательного движения 0 (см. рис. 4.7 б). Точка Хз устойчивая точка типа центр, а точка Х4 неустойчивая точка типа седло. Пусть система начинает своё движение из окрестности точки Хз- На рис. 4.8 показано изменение по времени расстройки частот А( ) = тио х) — п г). [c.131]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

Различают четыре типа равновесных состояний устойчивое, неустойчивое, безразличное и седлообразное. Положению устойчивого равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. При малых отклонениях системы из положения устойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в исходное положение. Состоянием неустойчивого равновесия называется такое равновесное состояние, которому соответствует максимум потенциальной энергии. При отклонениях системы из положения неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся удалить систему от положения равновесия. В состоянии безразличного равновесия потенциальная энергия системы не изменяется при выводе ее из положения равновесия в любом направлении. Примером системы, находящейся в состоянии безразличного равновесия, может служить однородный шар, лежащий на горизонтальной плоскости. Седлообразным положением равновесия называют такое положение, когда устойчивость или неустойчивость состояния равновесия зависят от направления сдвига системы из указанного положения. [c.157]

Особая точка типа седла соответствует неустойчивому состоянию равновесия по прошествии достаточно большого промежутка времени изображающая точка, находящаяся в начальный момент вблизи (сколь угодно близко ) особой точки, непременно выйдет за пределы заданной малой окрестности этой точки. То же произойдет и в точке возврата. Все это можно легко установить по виду интегральных кривых на фазовой плоскости. Если представить себе шарик, который может кататься в шаблоне, вырезанном в форме графика потенциальной энергии, то по поведению шарика можно судить об устойчивости его движения. [c.305]

В т. I было доказано, что если известен первый интеграл уравнений движения системы, возмущенной из положения равновесия, типа интеграла энергии, то в ряде случаев при помощи этого интеграла можно определить, является ли положение равновесия устойчивым или нет. Так, например, если потенциальная энергия имеет минимум в положении равновесия, то из интеграла живых сил сразу же следует, что положение равновесия устойчиво. Однако, если потенциальная энергия не имеет минимума, го одного интеграла живых сил недостаточно для определения юго, является ли равновесие устойчивым или нет. Но, принимая 1Ю внимание другие уравнения движения, бь1ло доказано, что положение равновесия неустойчиво ). [c.81]

Пример. В задаче Кеплера исключение О приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии вида Это означает наличие фиктивной отталкивающей силы, пропорциональной 1//- , в то время как сила притяжения пропорциональна 1 /г . Эти две силы уравновешивают друг друга в некоторой точке, являющейся точкой устойчивого равновесия. Осцилляциями г вблизи SToii точки объясняются пульсации радиуса-вектора между перигелием и афелием. Если бы сила притяжеиия уменьшалась как 1/г или быстрее, то устойчивого равновесия между этими двумя силами не существовало бы и радиус-вектор не мог бы колебаться между конечными пределами. Траектории движения планет были бы либо гиперболического типа, либо типа спиралей, приближающихся к Солнцу — в зависимости от величины константы углового момента. (Кинетическое взаимодействие здесь равно нулю.) [c.156]

Нелинейный характер сил неупругого сопротивления типа сухого трения имеет принципиальное значение для оценки динамических свойств механических систем. Системы, в которых действуют силы сухого трения, являются потенциально автоколебательными, так как характеристика сухого трения обусловливает возможность притока энергии в систему в некоторых диапазонах скоростей, которым соответствуют падающие участки вида (1.13) характеристики 9t(o). Необоснованные упрощения характеристики указаных сил (например, приближенное представление их в виде кулонова трения) могут привести к ошибкам при анализе динамической устойчивости некоторых режимов машинного агрегата. [c.14]

Если при всех смещениях (г) анергия системы увеличивается (61У > 0), то система находится в устойчивом состоянии с наименьшей потенциальной энергией и все отклонения от положения равновесия не могут нарастать во времени. Если 61У может принимать отрицательные значения, т. е. при нек-ром смещении система может перейти в состояние с меньшей потенциальной энергией, то рассматриваемая система неустойчива. Границу между устойчивыми и неустойчивыми состояниями образуют такие состояния, в к-рых исчезает упругость по отношению к одному определённому типу смещений. Для нахождения границы устойчивости обычно исследуют, при каких условиях появляются состояния, близкие к равновесному, е помощью ур-нпя И = 0. т. е. соответствующие нулевым собств. частотам, (т. н. безразличное равновесие). В линейной теории Н. п. стационарных состояний нарастание флуктуаций во времени носит экспоненциальный характер ехр(у(). Здесь у — инкремент неустойчивости — величина, характеризующая степень неустойчивости системы, быстроту возбуждения в ней колебаний. Порядок величины инкремента самых быстрых МГД-шеустойчивостей у/г, где г— характерный пространств, размер конфигурации, V — характерная скорость (альвеновская, либо скорость звука, в зависимости от типа Н. п.). [c.346]

Другим подтверждением отличия типов симметрии структуры для малоатомных устойчивых кластеров и фуллеренов являются данные анализа вида функции потенциальной энергии и результаты расчета упругих и фононных констант и энергетических структурных характеристик [3]. Данные [3] расчета энергии связи атомов для малоатомных кластеров С и фуллеренов представлены на рис. 3.4 и 3.5 соответственно. Можно видеть, что в случае малоатомных кластеров средняя энергия связи линейных кластеров С (где п=3, 5, 7, 9) повышается по мере удлинения цепочки (от 4 эВ для до 6 эВ для Су), как показано на рис. 3.5. Критическое значение энергии связи для этого типа кластеров достигается при -7 эВ/атом и п к=21. [c.93]

Рассмотрим теперь функцию о ( 1,. ., С/), соответствующую электронному состоянию с наименьшей энергией. Она представляет собой некоторое эффективное потенциальное поле, в котором движутся ионы. При удалении атомов друг от друга на расстояния, большие чем 10 см, стремится к постоянной величине, равной энергии изолированных атомов (рис. 230). При сближении ядер Е обычно сначала падает до некоторого минимума, а потом начинает возрастать. Глубина этого абс0лют.10Г0 минимума по отношению к энергии Е , соответствующей бесконечному удалению, является мерой сил сцепления в твёрдом теле. Кроме этого абсолютного минимума могут быть ещё добавочные минимумы, соответствующие возможным метастабильным состояниям систем при низких температурах. Часть следующего параграфа посвящается исследованию относительной устойчивости минимумов этого типа, реачизую-щихся в кристаллических телах. [c.501]

Итак, в окреегности минимума потенциальной энергии У(х) все интегральные кривые замкнутые. Мы получили особую точку типа центр, т.е. устойчивое по Ляпунову положение равновесия. В системе, описы ваемой уравнениями (2.38) (или (2.35)), совершаются периодически колебания с амплитудой, определяемой начальными условиями (значением Н). [c.81]

Для пары атомов такая ф-ция представлена на рис. Устойчивое состояние этой пары возникает при сближении атомов на определённое расстояние Го, отвечающее минимуму потенциальной энергии М. в. Равновесное расстояние Го и глубина потенциальной ямы е различны для разных типов М. в. Определение потенциальной энергии и г) эффективного вз-ствия атомов по существу и есть задача определения М. в. Феноменологич. методы расчёта М. в. основаны на использовании разл. полуэмпирич. ф-л для и (г), в к-рые Го, е п нек-рые др. величины входят как параметры и подбираются на основании эксперим. данных. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...