Эйри функция, асимптотическое

Эйри функция, асимптотическое разложение 687 --, дифференциальное уравнение [c.756]

Из (4.32) следует, что р > 1 при 6/2v — 1.-В этом случае воспользуемся асимптотическими выражениями для функций Эйри [181 [c.139]

В туннельном пределе Е <С Еап, используя известные асимптотические свойства функции Эйри, как и должно быть, получаем из (10.6) и (10.7) соответствующие формулы АДК, приведенные в гл. IX. Для учета штарковского сдвига нужно, как и в туннельном пределе, заменить энергию исходного состояния на возмущенную энергию Ei Ei E). [c.261]

Вблизи каустик или фокуса методы ВКБ, СФ и НС приводят к сингулярным полям. Средством устранения этих сингулярностей являются сравнительные интегралы, из которых наиболее известны функции Эйри, они же — интегралы радуги, получившие свое название при объяснении Эйри образования радуги. Умножая эти интегралы сравнения на асимптотический ряд, можно получить полное представление поля, которое справедливо как вблизи, так и вдали от критических участков. Такой подход, имеющий много общего с методом Лангера (разд. 3.3), называют теорией однородного асимптотического пред-ставления [2—6]. [c.342]

Функция Эйри Bi(x) имеет такое же интегральное представление, как и Ai(jr), за исключением лишь того, что контур интегрирования L нужно заменить шЬ — L (рис. 5.27). Покажите, что прих > О функция Bi(jr) асимптотически стремится к следующему выражению [c.399]

Для этого напомним выписанное в приложении Д соответствую-ш,ее асимптотическое разложение функции Эйри. Из формулы (5.21) следует, что положительные значения аргумента функции Эйри соответствуют классически недоступной области потенциала, в то время как отрицательные значения описывают классически разрешённую область. [c.188]

Поскольку мы хотим сшить волну ВКБ в разрешённой области (5.16) с выражением для функции Эйри вблизи точки поворота, используем асимптотическое разложение [c.188]

Мы вновь можем убедиться, что эта формула верна, подставив в неё асимптотическое разложение функции Эйри для больших положительных аргументов, и получив простейшую функцию ВКБ-приближения, верную в классически запреш,ённой области. Кроме того, в точке поворота этот результат сводится к тому, который получен из формулы, верной слева от точки поворота. [c.194]

В этом разделе мы получим асимптотическое разложение функции Эйри (5.19). Применим для этого метод стационарной фазы к интегралу [c.687]

Рассмотрим сначала асимптотическое поведение функции Эйри при отрицательных аргументах. В конце данного раздела кратко обсудим случай положительных значений аргумента. [c.688]

Функция Эйри имеет в этом случае осциллирующий характер. При ТГ 1 справедливы асимптотические формулы [c.75]

Луч arg = 71 является лучом Стокса, при переходе через который асимптотические значения функции Эйри терпят разрывы. Чтобы построить разложение, которое оставалось бы непрерывным в точках отрицательной вещественной полуоси, воспользуемся тождеством [258] (рис. 1.2) [c.29]

Для больших к в силу асимптотических свойств функции Эйри [258] уравнение (6.4.18) приобретает вид [c.124]

Для волнового поля в окрестности каустики, не имеюш,ей особых точек, удается получить асимптотическое разложение, содержаш,ее функции Эйри. Вне некоторой полоски, окружающей каустику, это разложение переходит в разложение лучевого метода. Толщина полоски уменьшается при возрастании частоты. [c.11]

В области х < О, т.е. в зоне тени, вне пограничного слоя функция Эйри экспоненциально убывает. Асимптотические формулы для функции Эйри, справедливые при ц < О, (o- oo (см. Дополнение 1), приводят к оценке [c.58]

Как мы увидим ниже ( 4 гл. 6), этот множитель на самом деле равен корню tp функции Эйри о(—1). При больших значениях номера корня р имеет место асимптотическое равенство [c.81]

В самом деле, из формул (3.1), (3.2) и того обстоятельства, что P(s)>0, следует, что при у = 0(1) и —жо / - +оо аргумент функции Эйри —Y — v тоже будет стремиться к бесконечности (напомним, что я < 0). Из асимптотической формулы для функции V следует, что о(—у —v)-+0 при —у —v- o >, [c.143]

Таким образом, при О < е, < 2/3 и ш->оо аргумент функции Эйри и ее производной возрастают, как ш . Тогда из асимптотических формул (см. Дополнение 1) для функций Эйри вытекают оценки [c.173]

Используя построенный выше класс решений уравнения Гельмгольца, нетрудно получить асимптотические формулы для собственных значений и в случае условия (1.4). Подставляя выражение (3.4) в (1.4), разлагая функцию Эйри и ее произ- [c.180]

Формулы для функций Н 1 кг) и кг) получаются из формулы (4.17) простой заменой у Т + Р) на функции Эйри —Ш1(Г +/ ) и Ш2(7 + ) соответственно. Формулы для производных цилиндрических функций могут быть получены дифференцированием формулы (4.17) и аналогичных ей. Если аргумент функций Эйри достаточно велик (Т г( ) > 1), функции Эйри в свою очередь могут быть заменены асимптотическими формулами. Такая замена приводит к обычным дебаев-ским формулам для цилиндрических функций. [c.353]

При оценке множителя (4.25) уже при t 3 для функций Эйри v t) и Ш2(0 можно использовать асимптотические формулы из Дополнения 1. Получаемая на этом пути оценка имеет вид [c.354]

Используя асимптотические разложения функций Эйри (Дополнение 1), нетрудно для функций Aj T) при 7 > 1 и я/3- -+ 8 < arg Т < 5п/3 — 8 получить следующие формулы [c.357]

Используя теорию функций Бесселя и формулу (Д1.З), нетрудно получить для решений уравнения Эйри интегральные представления и асимптотические формулы при / - оо. Однако удобнее рассмотреть уравнение Эйри непосредственно. [c.411]

Очень большой интерес представляют асимптотические формулы для функций Эйри. Раньше чем приводить вывод этих формул, мы их полностью выпишем и получим из них простые следствия, касающиеся нулей функций Эйри и их производных. При вещественных / имеют место формулы [c.414]

Покажем теперь, каким образом можно вывести приведенные асимптотические разложения для функций v, Wi и ы>2. Исходным пунктом для достижения этой цели могут быть интегральные представления для функций Эйри (Д1.5), (Д1.6), (Д1.8). Эти [c.418]

Аргументы экспоненты и функции Эйри 0(г) и р(г) зависят от координат точки наблюдения г они — аналоги эйконалов s . Функции g н р — аналоги геометрооптических амплитуд А, они разлагаются в асимптотические ряды по степеням ijk [c.69]

Выпишем асимптотические выражения для функций Эйри и их производных. Для зтого введем систему коэффициентов [c.72]

Воспользовавшись асимптотическими разложениями (3.107) функций Эйри и их производных, получаем, что при Го коэффициент отражения стремится к значению [c.76]

Если в первой из них tp заменить его асимптотикой, то придем к формуле (4.5), выведенной при помощи лучевого метода. Асимптотика собственных функций в этом случае, в отличие от формулы (4.9), будет выражаться через функцию Эйри. При достаточно больших р мы можем заменить функцию Эйри ее асимптотическим выражением, и тогда получим формулу, вытекающую из (4.9) при условии, что крда [c.85]

В качестве простейшего примера неоднородной среды рассмотрим многослойную область (мультислой) с кусочно-постоянным (ступенчатым) законом изменения показателя преломления. В разд. 3.2 мы уже обсуждали обобщение метода геометрической оптики на неоднородный диэлектрик с непрерывным профилем показателя преломления сущностью этого анализа была основанная на свойствах функщ1й Эйри возможность сшивки асимптотических решений. При наличии у показателя преломления разрывов непрерывности можно также применить этот метод, учитывая, однако, некоторые небольшие изменения в выражениях для коэффициентов отражения и пропускания. Если же в задаче возникает большое число разрывов функции л (г), то описание многократного отражения проходящей через среду волны становится очень сложным. Для этого требуется систематическое изучение зависимости коэффициентов отражения и пропускания от числа разрывов, их характера и относительных положений разрывов непрерывности л (г). [c.170]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

В гл. 5 мы более детально обсудим проблему, связанную с точками поворота. В частности, мы выразим решение уравнения Шрёдингера в окрестности точки поворота через функцию Эйри. Тем самым будет получено равномерное асимптотическое приближение для волновой функции. Мы вернёмся к этому вопросу ниже. [c.129]

Равномерное асимптотическое разложение. Можно преодолеть трудности с сингулярностью простейшей волновой функции ВКБ-приближения в точке поворота, воспользовавшись решением в виде функции Эйри (5.27). Кроме того, как показывается в задаче 5.1, можно использовать выведенное в приложении Д асимптотическое зазложение функции Эйри для положительных аргументов для нахождения простого выражения для волновой функции в запрещённой области. [c.193]

Вывести выражения (5.31) и (5.32) для равномерной асимптотической волновой функции ВКБ-приближения, начав с уравнения Шрёдингера (5.6а) и введя фазу 8 х) как новую переменную. Сравнить получившееся дифференциальное уравнение с уравнением для функции Эйри. [c.195]

Мы различаем три ситуации. Если р > Хл/пНк, то перекрытие отсутствует. Следовательно, результирующая вероятность р) обращается в ноль. Мы понимаем, однако, что -функционное представление состояния движения достоточно грубое. Более полный анализ описывает это состояние с помощью функции Эйри, которая обсуждалась в связи с проблемой равномерного асимптотического разложения. Так что вероятность в данном случае оказывается экспоненциально малой. Если р = Хл/пНк, линия импульсного состояния тангенциально касается максимумов косинусоидальной волны. Это приводит к большому перекрытию и, следовательно, к большой вероятности. Здесь есть, к тому же, и новая дополнительная особенность из-за периодичности электромагнитной волны число таких тангенциальных перекрытий велико. Вклады всех этих областей перекрытия интерферируют, так что важную роль начинают играть разности фаз. Это приводит к дискретности значений импульса, как было математически показано в предыдущей главе. Результаты интерференции из-за периодичности рассматриваемой структуры отчётливо видны в случае, когда р < Хл/пНк, и появляется ещё одна особенность на одном периоде О < < кх < 2тг косинуса есть пересечения в двух разных точках, а именно, [c.635]

Как и в случае (Д.6) при ж > О, здесь тоже есть два вклада от двух точек стационарной фазы. Но поскольку эти точки чисто мнимые, а в экспоненте содержится множитель г, то вместо осциллируюш,их вкладов теперь получаются экспоненциально возрастаюш,ий и убыва-юш,ий члены. Более того, второй интеграл в выражении (Д.9) расходится. Если численно проанализировать поведение функции Эйри, то выясняется, что она экспоненциально убывает при положительных значениях х. Следовательно, вторым членом в формуле (Д.9) надо пренебречь. Тогда, взяв оставшийся гауссовский интеграл, получаем следуш,ее асимптотическое представление функции Эйри при положи- [c.689]

Отметим, что вторая производная с входит в знаменатель подкоренного выражения. Поэтому приближённое выражение для исходного интеграла I теряет смысл, когда вторая производная функции д обращается в ноль. В этом случае следует учитывать кубичные члены в разложении функции д, что приводит к интегралу, выражающемуся через функцию Эйри. Такое разложение обычно называют равномерным асимптотическим разложением. [c.699]

Рис. 96. а — типичное поведение (вблизи любой стационарной точки /сд фазовой функции г] к), где г з" (к ) = О, а г 5" (к ) > 0) кривых в комплексной плоскости, вдоль которых г (к) имеет постоянную мнимую часть +6. Мы преобразуем путь интегрирования в интеграле (356) в такой, на котором мнимая часть тр (к) равна +6, за исключением окрестности к , где для перехода с одного такого пути на другой используется звено Ь б — комплексная плоскость 5, определяемая заменой (364) (1) — соответствующий Ь пзть интегрирования, используемый для вычисления интеграла Эйри А1 (X) (11) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотического выражения (371) интеграла А (X) при больших отрицательных X (111) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотической формы (373) интеграла А1 (X) для больших положительных X. [c.468]

Опираясь на асимптотические свойства функции Эйри [258], выпишем асимптотику первого корня дисперсионного соотношения (6.8.1) при I д I —> I I —> <2х> = 0 q), которая получается из (6.8.1) предельным переходом > °о [c.136]

Найдем асимптотические формулы для Гр(го, фо г, ф к) при - оо и р = 0(1). Их вид зависит от взаимного расположения точек (го, фо), [г, ф) и окружности г = р. Прежде всего выпишем асимптотическое разложение для корней Яу (Ар). Асимптотика корней функции Яу ( р) при Ар— оо может быть найдена точно тем же способом, каким в 2 главы 6 была получена асимптотика корней функции Бесселя /у (Ар). Для функции Яасимптотическая формула (2.4) главы 6, в которой функцию Эйри V следует заменить комплекснознач- [c.306]

Оценим на контуре ин1егрирования Сг, при / 3>1 подынтегральную функцию интеграла бм- Пользуясь асимптотическими формулами для функций Эйри, получаем [c.371]

Форма решения (3.4), имеющая вид произведения экспоненты на функцию Эйри, аргументами которых являются бесконечные ряды по степеням (о 7з, и основные вычисления первых четырех параграфов главы взяты из статьи В. С. Булдырева [4]. В асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений прообраз рядов (3.4) был предложен Черри [1]. Наряду с асимптотикой в форме Черри известна асимптотика в форме О л-в е р а [1] (сумма двух асимптотических рядов, из которых один умножен на функцию Эури, а другой — на ее производную). Форма Олвера позволила Р. Льюису и др. [1] получить интересные асимптотические разложения, из которых можно как частный случай вывести некоторые формулы 5 гл. 6. Построения этой работы во многом аналогичны построениям главы 2. Другие применения методики Олвера можно найти в работах И. В. Мухиной и И. А. Молоткова [1] и Н. Я. Кирпичниковой [1], посвященных теории упругих поверхностных волн [c.442]

Преимущество каустических разложений обусловлено тем, что они имеют более сложную форму и содержат не только экспоненту, но и специальную функцию — функцию Эйри. Вдали от каустик, когда аргумент этой функции велик, ее можно заменить асимптотическим разложением. Если это сделать, то каустические разложения переходят в ранее рассмотренные лучевые разложения. Это соответствие между разложениями обоих типов позволяет выразить аргументы новых равномерных асимптотических разложений и входящие в них медленно меняющиеся функции через геометрооптические величины эйконалы и амплитуды лучевых полей. Тем самым равномерные асимптотические разложения, применимые около каустик, определяются по известным неравномерным разложениям (лучевым разложениям) тех же полей, ко-горые сами по себе в окрестности каустик неприменимы. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...