Плоское напряженное состояние функция напряжений

Сложив первое и второе уравнения и учитывая шестое, нетрудно увидеть, что и в плоском напряженном состоянии функция напряжений является бигармонической по переменным х, у [c.467]

Подставляя выражения (4.1.20) в уравнение (4.1.19), находим, что для плоского напряженного состояния функция напряжений должна удовлетворять уравнению [c.86]

В однородной анизотропной пластине, имеющей в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости, при краевых нагрузках, лежащих в срединной плоскости, реализуется обобщенное плоское напряженное состояние. Функция напряжений удовлетворяет приведенному выше дифференциальному уравнению при несколько иных значениях коэффициентов. [c.41]

Перепишем закон Гука для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния, представив напряжения через функцию Эйри [c.368]

Решение ряда важных технических задач приводит к необходимости анализа математической модели процесса, представляющего собой сумму (композицию) нескольких стационарных Гауссовских колебаний. Так, при анализе плоского напряженного состояния, эквивалентное напряжение строится обычно в виде композиции трех напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам и представляющих собой трехмерный случайный процесс. Сформулируем задачу. Пусть задан трехмерный стационарный Гауссовский процесс у, z, описываемый следующей матрицей корреляционных и взаимных корреляционных функций [c.143]

Матрица масс. При вычислении матриц масс для прямоугольного конечного элемента в плоском напряженном состоянии функции формы [f ] принимаем в виде (4.91). При этом [c.85]

Плоское напряженное состояние, соответствующее только что разобранному случаю плоской деформации, можно исследовать подобно тому, как это делалось в 417. Сейчас задача заключается в том, чтобы связать функцию напряжений для плоской деформации с функцией напряжений для плоского напряженного состояния (например X и X) при предположении, что обе вызваны действием одних только массовых сил, имеющих один и тот же потенциал (2). Приведенное ниже исследование применимо к любой из таких задач. Пусть X — функция напряжения, соответствующая плоской деформации, и мы, согласно (8), имеем [c.523]

Трудностей, возникающих при применении метода сил, можно в значительной мере избежать, если брать в качестве параметров напряжения или функции напряжений. Так, например, для плоского напряженного состояния выражение дополнительной энергии имеет вид [c.189]

Оказывается, что при плоском напряженном состоянии максимальное нормальное напряжение и интенсивность напряжений Т(( ) принимают максимальные значения не при ip = О, а в некоторых симметричных относительно оси точках. Для случая плоского напряженного состояния функция <т(( ) принимает максимальное значение в точке ( = О нри любых значениях п. В случае же плоской деформации <т(( ) принимает максимальное значение в точке ( = О только нри п = 1. [c.314]

Плоскими задачами теории упругости называют такие, в которых все неизвестные являются функциями только двух координат, например Xi, х . Различают два типа плоских задач плоскую деформацию и плоское напряженное состояние. [c.130]

Задача о плоском напряженном состоянии, хотя и сводится к разысканию скалярных функций от двух независимых переменных, не является проблемой вида (2.115) (см. 12 ). [c.63]

Рассмотрим тонкий круговой диск при неравномерном распределении температур. Пусть температура Т является функцией только радиального расстояния г, тогда получим случай осесимметричного плоского напряженного состояния. Пользуясь цилиндрическими координатами из уравнения (VII. ), находим [c.94]

Первое из них совпадает с бигармоническим уравнением, определяющим функцию напряжений обобщенного плоского напряженного состояния в пластине, а второе уравнение совпадает с уравнением, из которого находится прогиб изгибаемой пластины. [c.208]

Для решения задачи о напряженном состоянии в плоской пластинке необходимо рассмотреть бигармоническое уравнение (4.1.8) относительно функции напряжений ф с учетом соответствующих граничных условий. При этом различают три характерных случая на контуре граничные условия задаются в напряжениях (первая основная задача), 2) то же, в перемещениях (вторая основная задача) и 3) на части контура задаются напряжения, а на части — перемещения (смешанная задача). [c.106]

Далее всюду не будем подчеркивать, какая из задач (о плоском деформированном или плоском напряженном состоянии) рассматривается. Поэтому звездочка при значениях постоянных и функций опускается. [c.278]

В качестве одного из простейших примеров рассмотрим задачу о толстостенной трубе иод действием внутреннего давления. Обозначим а — внутренний радиус трубы, Ь — внешний радиус, q — давление (рис. 8.12.1). Будем считать, что труба очень длинная и к торцам ее приложены растягивающие силы Р. Вследствие принципа Сен-Венана можно утверждать, что поперечные сечения ее останутся плоскими и напряженное состояние будет во всех сечепиях одинаково. Очевидно, что эту задачу следует рассматривать в цилиндрических координатах, т. е. пользоваться уравнениями 7.8, считая, что искомые функции зависят только от радиуса г. Тогда уравнения равновесия [c.267]

В теории антиплоского напряженного состояния мы убедились, какие удобства связаны с представлением решения через функцию комплексной переменной. В теории плоской деформации применим аналогичный метод, но соотношения оказываются более сложными. Положим, как обычно, [c.324]

Найти, какая задача о плоском напряженном состоянии, отвечает следующей функции напряжений [c.79]

На стр. 49 отмечалось, что система уравнений для задач о плоском напряженном состоянии при сделанных предположениях (Од = Т ег = = О, а , Оу, Тху не зависят от 2), которую мы сочли достаточной, не обеспечивает удовлетворение всех условий совместности. Эти предположения требуют, чтобы величины Ех, Еу, 8 , Уху не зависели от 2 и чтобы ухг Ууг равнялись нулю. Первое из условий совместности (125) включалось в теорию плоского напряженного состояния в качестве уравнения (21). Легко проверить, что остальные пять уравнений удовлетворяются только в том случае, когда представляет собой линейную функцию от х и у, что является скорее исключением, чем правилом, в решениях, полученных в главах 3 — 6. Очевидно, что эти решения не могут быть точными, однако, как мы сейчас покажем, они являются достаточно близким приближением для тонких пластинок. [c.284]

Мы можем теперь получить распределение напрял<ений путем выбора функции ф от л и у, которая удовлетворяет уравнению (н), находя в из уравнения (м) и ф из уравнения (л). После этого напряжения определяются по формулам (б). Каждое из них, согласно (л), состоит из двух частей, из которых первая вычисляется по ф , а вторая — из члена —1/2 (v/1 + v) 0 2 . В силу уравнения (н) первая часть в точности отвечает компонентам плоского напряженного состояния, найденным в главах 3 — 6. Вторая часть, будучи пропорциональна 2 , может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с первой, если ограничиться достаточно тонкими пластинками. Отсюда следует, что полученные нами в главах 3 — 6 решения, хотя и не удовлетворяют условиям совместности, но тем не менее служат хорошим приближением для тонких пластинок. [c.286]

Для тонкой пластинки при постоянной по толщине температуре Т мы можем считать напряженное состояние плоским, т. е. считать, что = = О и функции и, V, сГу, Тху не зависят от г. Тогда зависимости между напряжениями и деформациями (ср. с уравнениями (г) из 150) примут вид [c.481]

Для плоской задачи (плоское напряженное состояние и плоская деформация), если объемной силой является только вес тела, т. е. Хр = 0, р=—д, все функции компонентов напряжений могут быть выражены через специальную функцию напряжений Эри следующим образом [c.54]

Записать общее выражение для функции напряжений в случае плоского осесимметричного напряженного состояния и привести окончательные формулы для компонентов напряжений (сравнить с задачей 110). [c.89]

Выберем на срединной поверхности фланца правую ортогональную систему эйлеровых координат Xi, х , совпадающую с линиями главных кривизн. Обозначим через и главные радиусы кривизны, а через — коэффициенты первой квадратичной формы. Величины Н , — известные функции координат x-i , х . Материал заготовки считаем идеальным жесткопластическим, а напряженное состояние — плоским. [c.90]

Для тонкой пластины, находящейся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, смещения кромок определяются через две произвольные аналитические функции [27] [c.139]

Функция ф в этом случае при плоском напряженном состоянии и изотропном теле определяется из уравнения (7=0) [c.36]

В работах [196, 205, 206] для случая плоской задачи найдены функции распределения упругих постоянных, при которых напряженное состояние неоднородного и однородного тел одинаковой формы совпадает при одних и тех же нагрузках. Класс таких функций достаточно узок, а именно [c.41]

В случае плоского деформированного состояния функция напряжений Эрп Ф п компонента девиатора напряжений 833, удовлетворяюгцпе уравнению а также начальным и граничным условиям задачи, должны иметь вид [c.352]

Анизотропные тела как объекты, свойства которых зависят от ориентации системы координат, имеют более сложную систему параметров, характеризующих диссипацию энергии. Так, для трансверсально-изотропного материала (однонаправленного композиционного моноелоя), рассматриваемого в системе координат, оси которой совпадают с осями симметрии, в случае плоского напряженного состояния функция рассеяния энергии [9 имеет вид [c.305]

Так как Ог = а = Oyz = О, то решения (3.12а) являются решениями для плоского напряженного состоянйя. Функция вида 1 ) = i 3(ar, у) аналогична той, которую традиционно называют функцией напряжеция, хотя столь же логично ее было бы называть функцией перемещения. В любом случае это есть функция, которая определяет напряжения и перемещения через соотношения типа (3.12а). [c.144]

Из определения плоского напряженного состояния вытекает, что щ, щ, аи, 022, 021 — четные функции Хз, а ои, сггз — нечетные. Следовательно, средние значения а з, отравны нулю и уравнение (6.18) является тождеством. [c.105]

Система уравнений (10.49), (10.50) и (10.51) может быть сведена к двум уравнениям с двумя неизвестными функциями ш и ф. Функция напряжений ф вводится аналогично тому, как это делалось в плоской задаче теории упругости. Усилия безмомент-ного напряженного состояния выражаются через эту функцию следующим образом [c.250]

Если искомые функции в задаче о на пряжение-деформированном состоянии твердого тела зависят лишь от координат х, уъ осях Oxyz и не зависят от координаты z, то задача называется плоской. В этом случае возможна постановка задачи о плоском деформированном состоянии и плоском напряженном состоянии. [c.440]

Эта формула справедлива для плоского напряженного состояния, Для плоской деформации функция напряжения ф не изменится а деформации е , а следовательно и иеремеш,ения , V из тех, которые имеют место при плоском напряженном состоянии, получаются путем замены упругих постоянных, как указано в 20. Таким образом, чтобы перейти к случаю е, — О, отвечающему плоской деформации, мы должны заменить в (д) Е на /(1—V-). Тогда вместо (в), используя (б), для энергии деформации на единицу длины тела вдоль оси Oz имеем следующее выражение [c.259]

Здесь а и Ь — внутренний и внешний радиусы кольцевой области, а р — немая переменная интегрирования. Функции, определяемые зависимостями (е) и (ж), вводятся в (е). Затем из формул (б) находятся перемещения, а по ним с помощью формул (48), (49) и (50) —компоненты деформации 8 ., ео, Тг0- Они в свою очередь приводят к напряжениям путем использования уравнений (б) и (в) из 150 для плоского напряженного состояния и уравнений (б) из 151 для плоской деформации. Зависимость между касательным напряжением и деформацией сдвига имеет просто вид Тгв = Оугв. [c.485]

Рассмотрим теперь плоские задачи теории упругости. В слу- чае плоской задачи при соответствующем выборе декартовой системы координат хОуг существенными аргументами для искомых функций являются только координаты X ж у. Характеристики состояния и движения в плоской задаче вообще не зависят от координаты г или зависят от нее известным простым образом. Теория плоской задачи включает в себя задачи плоского деформированного, плоского напряженного и обобщенного плоского напряженного состояний, определения которых будут даны ниже. [c.481]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Пусть изменение ко.мпонентов напряжений синхронно, т. е. пропорционально общему переменному параметру. В качестве этого параметра можно выбрать одно из двух главных напряжений = п. Функция ( ) (второе главное напряжение), а также функции Ох ( ), а у ( ) и Хху (t) пропорциональны функции а (1). Если известны коэффициенты пропорциональности, тогда а — единственный параметр, характеризующий изменение напряженного состояния. В таком случае можно применять изложенный метод — изменение одного параметра п = сопоставляется с кривой усталости Пщах — Л при плоском напряженном состоянии, заданном постоянны.м отношением главных напряжений к = [c.401]

Рассматривается траектория в координатной плоскости главных напряжений при плоском состоянии и учитывается их вращение. Исследуется возможность охвата криволинейным интегралом по длине траектории следующей закономерности если при оипсании данной траектории чаще реализуются большие напряжения, чем при другой траектории, то в первом случае наблюдается меньшая долговечность. На основании этого можно прогнозировать усталостную долговечность при несинхронных, произвольных изменениях компонентов напряжений. Подынтегральная функция определяется параметрами двух или более кривых усталости при разных постоянных отношениях главных напряжений. Прогнозирование осуществляется с помощью ЭВМ. Сравниваются расчетные и экспериментальные долговечности при разных видах несинхронных нагружений. [c.438]

Соответствующие зависимости для каждого из 18 исследованных вариантов задачи о плоском напряженном состоянии стержня расположены в достаточно узкой полосе рассеяния этой функции (А на рис. 2.56) так что, к примеру, в диапазоне значений параметра нагрузки О < 5 < 1 вариация функции Atfi не превышает значения 0,1. На основании проведенного обобщения для плоского напряженного состояния рекомендована универсальная зависимость в виде (штрихпунк-тирные кривые на рис. 2.56) [c.110]

При az/ai <0,5 и 5 = 1 значения функции = fiOijoi) изменяются незначительно (см. рис. 2.56). Это обстоятельство, а также взаимное расположение кривых sp = р Ь) на рис. 2.56 для плоского напряженного состояния и штрихпунктирной кривой, построешой на основании соотношений (2.148) и (2.149), указывают на то, что эти соотношения вполне приемлемы для инженерной оценки упругопластических деформаций, когда вне зоны концентрации напряжений реализуется двуосное напряженное состояние loj, < 0,5). [c.114]

И, наконец, пятый подход заключается в использовании итерационного метода. Первой работой в этом направлении была, по-видимому, статья [204], где исследовалось напряженное состояние неоднородной прямоугольной полосы. М. Мишику и К. Теодосиу в [98] дали изложение его в терминах теории функций комплексного переменного применительно к плоской задаче. Более общий вариант итерационного метода предложен в [62]. Суть его состоит в следующем. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...