Оператор частных производных

Операторы частных производных могут быть составлены с использованием не только декартовой спстемы координат. Применяют косоугольную, полярную систему и др. [311. Напрпмер, для расчета [c.234]

Вводя операторы частных производных дг, д и дь по г, г и к, см. (2.78), для производных от и 0 —-0 получим [c.149]

Пусть вектор х является функцией параметров а , а ,. .., Зц и существуют частные производные этого вектора по каждому из параметров. Определим оператор частной производной как вектор [c.514]

Введенное здесь обозначение оператора дифференцирования d/dt (вместо d/dt) подчеркивает, что ввиду независимости uj от t этот оператор может быть внесен под знак интеграла именно как оператор частной производной по t. [c.20]

Перейдем к составлению операторов для частных производных от функции двух аргументов F = F (х, у) (рис. 8.4). [c.233]

Там же показаны положительные направления этих усилий. На рис. 8.19, 8.20 то /ке показано для крутящего момента Н и обобщенной поперечной силы (опорной реакции) F,.. Для получения оператора Vy оператор Уд. надо повернуть на 90" от оси х к оси у. Все эти операторы легко строятся па основе соответствующих выражений этих усилий в дифференциальной форме и операторов входящих в них частных производных. [c.244]

Операторы, задаваемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Операторы этого вида, наряду с операторами, задаваемыми системами уравнений в частных производных, наиболее часто встречаются в технических приложениях, поскольку большинство технологических объектов описывается именно обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных. [c.43]

Операторы, задаваемые системами уравнений в частных производных. Операторы такого вида встречаются во всех сложных технологических системах, математические модели которых включают дифференциальные уравнения в частных производных. Внутренние параметры таких объектов изменяются не только во времени, но и распределены по пространственным координатам. В общем случае каждый внутренний параметр 2 зависит от трех пространственных координат z = z(Xi, Х2, Хз, t) и дифференциальные уравнения математической модели содержат частные производные по каждой пространственной переменной. Такие математические модели, однако, сложны для исследования и редко применяются для описания химико-технологических объектов. Значительная часть моделей основных процессов химической технологии представляет собой системы дифференциальных уравнений, содержащих частную производную только по одной пространственной переменной. Соответственно, и все внутренние параметры объекта меняются только по одной пространственной координате. При этом координатная ось совпадает, как правило, с осью аппарата, а в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, параметры процесса не зависят от пространственных координат. Значения внутреннего параметра z(x,t) в точках, соответствующих входу и выходу, представляют собой входные и выходные параметры системы, например г х, 2 (х, t) lx=i вых (0> где I — [c.45]

Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46]

В приведенных примерах причиной нелинейности оператора было наличие в уравнении, с помощью которого задается оператор, нелинейной функции одного или нескольких параметров объекта. Это справедливо всегда оператор, задаваемый дифференциальным уравнением, содержащим нелинейные комбинации параметров (или производных от них) будет нелинейным. То же самое можно утверждать и для операторов, задаваемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Если уравнения содержат хотя бы одну нелинейную комбинацию параметров объекта, то оператор такого объекта будет нелинейным. [c.52]

Операторы, задаваемые с помощью дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) будут однородными только в том случае, если все коэффициенты уравнений не зависят от времени. Например, пусть оператор задается с помощью уравнения [c.55]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Таким образом, для определения весовой или параметрической передаточной функции нестационарного объекта необходимо решать краевые задачи вида (3.2.5), (3.2.6) или (3.2.11), (3.2.12), соответственно. Даже для рассмотренного случая, когда оператор задан с помощью простейшего уравнения с частными производными (3.2.1), получить решение этих краевых задач весьма 98 [c.98]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Пусть оператор задается уравнением в частных производных второго порядка [c.102]

В заключение опишем процедуру определения характеристических функций объекта, математическая модель которого включает систему дифференциальных уравнений в частных производных. Функциональный оператор такого объекта является многомерным. Математическая модель многих химико-технологических объектов включает два дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка [c.103]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

В соответствии с символическим методом [2] в табл. 5.1 через аир обозначены соответственно частные производные по х я у через = + = + —оператор Лапласа. [c.144]

Записанная в круглых скобках правой части уравнения (2.24) сумма вторых частных производных представляет собой оператор Лапласа в декартовой системе координат [c.154]

Общая форма получающейся таким образом связанной системы двух дифференциальных уравнений в частных производных аналогична уравнениям (50) и (51), выведенных в гл., 4 для слоистых анизотропных пластин. Естественно, что дифференциальные операторы, входящие в эту систему, имеют более сложную структуру, чем операторы (52). [c.225]

Второе уравнение относится к призматической балке, у которой жесткость Е1 не зависит от г и ее можно вынести за оператор дифференцирования. Частная производная использована в связи с тем, что функция и зависит не только от г, но и от поскольку мы предполагаем рассматривать колебания. Интенсивность распределенной нагрузки д в условиях свободных колебаний балки представляет собой интенсивность сил инерции — [c.177]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Известно [3], что дифференциальные операторы вида Л на функциях, непрерывных в замкнутой области V вместе с частными производными первого порядка по координатам и удовлетворяющих на границе Г этой области однородным условиям, являются эрмитовыми. Учитывая это, при рассмотрении общего случая неоднородных граничных условий (5.12) также примем, что [c.143]

С сосредоточенными параметрами Оператор преобразования может быть представлен в виде одного или системы обыкновенных дифференциальных уравнений i С распре-1 деленными параметрами Оператор преобразования может быть представлен в виде одного или системы дифференциальных уравнений в частных производных [c.442]

Для того, чтобы записать оператор Лапласа в полярных координатах, установим связь между частными производными произвольной функции в декартовых и полярных координатах. [c.380]

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно и (/) еще не означает линейности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача. [c.286]

Оператор В отражает характер отклика ИП на входной сигнал. Математически оператор В может быть линейным и нелинейным, дифференцируемым в обыкновенных и частных производных, описан дифференциальными и интегральными уравнениями, рядами и функциями. [c.88]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

DF — оператор DF используется для вьиисления частной производной по одной или нескольким переменным. Первый аргумент — скалярное выражение, производная которого вычисляется. Остальные аргументы определяют переменные, по которым производится лиффе-ренцирование. Например, выражение DF(F(X, Y), X, 2, Y, 3) означает F(x, уУдх ду , а выражение DF(F(X, Y), X) означает dl x, у)1дх, причем, если F(x, у) не присвоено конкретного значения, то поотеднему оператору при выдаче на печать будет соответствовать цепочка символов, ,DF(F(X, Y), X) . [c.149]

Решение задач теплопроводности при нестационарном режиме численными методами требует замены дис )ференциального оператора дИдт разностным. Для этого рассматриваемый период времени разбивается на небольшие временные интервалы Лт. Частную производную по времени в точке Рт.п, в Уг-й момент времени х = == йЛт выразим с помощью правового разностного отношения (2.121) [c.191]

Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмита являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно установить соответствие между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место В квантовой теории между матричной механикой и долновон механикой. [c.175]

Предполагая здесь и в дальнейшем, что оператор преобразования Фурье коммутативен с оператором дифференцирования д/дРо, после умножения всех членов уравнений (4-1-Q)— (4-1-3) на os и интегрирования по X от О до 1, 1исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом (5-2-4)—(5-2-5) можно преобразовать к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений [c.157]

ТО расчет частных производных, фигурирующих в (А.2.6), может быть громоздким, и тогда лучше поступать по-другому. Согласно общим свойствам оператора градиента, каждый вектор S/qk № = 1, 2, 3) непременно перпендикулярен к соответствующей координатной поверхности q = onst. Таким образом, необходимые и достаточные условия ортогональности в равной мере выражаются соотношениями [c.551]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...