Работа силы (см. элементарная работа силы)

Вязкое трение дает еще один пример непотенциальной силы. Элементарная работа сил вязкого трения имеет вид (см. пример 3.4.3) [c.169]

Подсчитаем сначала элементарную работу силы F. Как видно из рисунка, элементарное перемещение ММ точки М можно разложить на перемещение Ма, численно равное приращению расстояния ОМ = г и направленное вдоль ОМ, и на перемещение Mb, перпендикулярное к ОМ, а следовательно, и к силе F (см. еще 7 , рис. 155). Поскольку на этом втором перемещении работа силы F равна нулю, а перемещение Ма направлено противоположно силе, то [c.274]

Таким образом, мы доказали, что если механическая система С идеальными связями находится в равновесии, то действующие на нее активные силы удовлетворяют условию (110). Справедлив также и обратный вывод, т. е. если приложенные к механической системе активные силы удовлетворяют условию (110), то система находится в равновесии. Отсюда вытекает следующий принцип возможных перемещений ) для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически необходимое и достаточное условие равновесия любой механической системы выражается равенством (ПО), которое называют еще уравнением возможных работ. Это условие можно также представить в аналитической форме (см. 112) [c.443]

Рассмотрим теперь тело I, движущееся по поверхности неподвижного тела II. В общем случае силы реакций сводятся к нормальной реакции и к силе трения скольжения, а также к двум парам, оказывающим сопротивление качению и верчению (см. 2, гл. III) виртуальные перемещения тела поступательное перемещение в общей касательной плоскости вместе с точкой контакта в качестве полюса и вращательное перемещение вокруг этой точки. При бесконечно малом перемещении тела работу дает сила трения скольжения на поступательном перемещении и пары сопротивления качению и верчению — на вращательном если движение происходит без скольжения, то элементарная работа силы трения скольжения равна нулю если, как это часто делается, пренебречь работами сопротивления качению и верчению, то эта связь может считаться идеальной ). [c.341]

Элементарная работа силы 65 ---на виртуальном перемещении (см. виртуальная работа) 203, 450 [c.574]

Предположим, например, что тело движется или катится под действием силы тяжести, соприкасаясь в одной точке с неподвижной поверхностью, которая либо абсолютно шероховатая, либо абсолютно гладкая, так что трения скольжения нет. Пусть тело каким-либо образом приходит в движение, и нам известна живая сила в начальный момент. Живая сила уменьшается или увеличивается в зависимости от того, поднимается или опускается центр тяжести по сравнению с его первоначальным положением. В то время как тело движется, давление его на поверхность изменяется, оно может обраш,аться в нуль и изменять знак. В последнем случае тело покидает поверхность. Тогда, согласно п. 79, центр тяжести будет описывать параболу, а угловая скорость тела относительно его центра тяжести будет постоянной. Вскоре тело, возвращаясь, может удариться о поверхность, но до тех пор, пока не произойдет такой удар, уравнение живых сил остается неизменным. Дело обстоит совершенно иначе, когда тело возвратится на поверхность. Чтобы пояснить это утверждение, предположим, что Р — реакция поверхности, А — точка тела, к которой приложена эта сила, а Р (11 ее элементарная работа (см. п. 138). Тогда, если тело катится по поверхности, то й/ равно нулю, а если тело покидает поверхность, то Р равно нулю, так что во время движения тела до удара элементарная работа Р с1( равна нулю по той или иной причине. Следовательно, реакция в уравнение живых сил не входит. Но если тело возвращается на поверхность, то точка А вжимается в поверхность, и реакция Р препятствует движению точки А, так что ни Р, ни не равны нулю. Здесь реакцию Р измеряют точно таким же образом, как и в начальный момент движения, считая ее весьма большой силой, резко изменяющей скорость точки А за очень короткое время (см. п. 84). В течение времени сжатия сила Р оказывает сопротивление движению точки А, и, стало быть, живая сила тела уменьшается. Но за время восстановления сила Р помогает перемещению точки А, и следовательно, живая сила увеличивается. В дальнейшем будет показано, что при ударе живая сила уменьшается, за исключением предельного случая абсолютно упругих тел, и будет исследована величина ее потери. [c.128]

Работа сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа приложенной к телу силы F (рис. 307) будет равна (см. 87) [c.305]

Известными нам примерами потенциальных сил являются силы тяжести, упругости и тяготения (см. 88). Покажем, что для полей этих сил действительно существуют силовые функции, и найдем их выражения. Поскольку под знаком интегралов, из которых в 88 были получены формулы (47), (48) и (50), стоят элементарные работы соответствующих сил, то придем к следующим результатам, используя равенство (58) [c.318]

Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. 87) [c.361]

Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (ПО) , что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения Qi надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата ( ,, получая положительное приращение S i, вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при 6 1 и дает искомую величину Qi. Аналогично вычисляются Qj. Qa,. . . [c.373]

Ri d(f. Вычислим работу силы Pf на этом перемещении как сумму работ трех ее составляющих (см. 60). Работа сил РД и перпендикулярных к вектору скорости точки Mi, равна нулю. Поэтому элементарная работа силы Pf [c.175]

Рассмотрим общий случай напряженного состояния (см. рис. 30). Энергия, накопленная в элементарном объеме, равна работе сил, приложенных по поверхности элемента. Начнем с нормальных составляющих. [c.45]

Это выражение для элемента количества теплоты имеет такой же вид, как и выражение (1.3) для элементарной работы, причем температура Т является интенсивным параметром теплопередачи (термическая обобщенная сила), а энтропия S—экстенсивным параметром теплопередачи (обобщенная координата). Сходство выражений для >Q и bW обусловлено родственностью природы этих величин и то и другое выражает энергию, получаемую системой (см. 5). [c.58]

Из данного обозначения (А4) не следует, что элементарная работа вообще является дифференциалом. Она будет таковым только при действии потенциальной силы (см. S данной главы). [c.215]

Отношение элементарных работ против сил поверхностного натяжения и гидравлического сопротивления равно [см. (3-3) — (3-5) и (3-7)] [c.47]

К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной работы активных сил, приложенных к твердому телу (см. стр. 32) ) [c.46]

На графике (см. рис. 2.29, б) эта работа выражается площадью элементарной трапеции (густо заштрихована), которую по малости размера й к можно рассматривать как прямоугольник. Полная работа силы Р, совершенная ею в процессе возрастания перемещения от О до А,к, равна сумме элементарных работ и выражается площадью треугольника, заштрихованного на рис. 2.29, б. [c.58]

В некоторых книгах элементарная работа обозначается символом бЛ. В настоящем руководстве символ бЛ применяется для обозначения работы силы на виртуальном перемещении бг (см. 18.3). [c.78]

Вычисление лагранжиана и виртуальной работы сил инерции. Для получения функции Лагранжа вычислим удельные величины, отнесённые к массе йт элементарного гофра с учётом переменности его конфигурации, положения и ориентации. Ограничимся плоским случаем, когда корпус КА имеет угловую скорость и угловое ускорение, направленные по оси паруса (01 см. рис. 27.1). [c.187]

Работа силы (см. элементарная работа силы) 65 Равновесие 223 [c.571]

При статическом изменении внешних нагрузок элементарное приращение внутренней энергия 1 гиба можно определить через элементарную работу внешних сил и моментов, а именно (см. рис. 4.22) [c.88]

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xh, Ук, 2,1 точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. LbAfi -bU [см. 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам q , q ,. . q, все х , у , могут быть выражены через эти координаты и тогда U-=U(qy, q ,. . qs)- Следовательно, вычисляя 6U как полный дифференциал от функции U(Qi, q ,. , . . .., ), найдем, что [c.374]

Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы. Формула Бинэ. Для получения названных уравнений обратимся к теореме об изменении кинетической энергии точки. Так как в случае центральной силы (рис. 350) элементарная работа F-dr = F dr, где Ff = F для отталкивающей силы и Ff = — F для силы притягивающей [см. [c.385]

Оказывается, центральные силы являются консерва тивными. Для доказательства этого утверждения найде сначала работу центральной силы в случае, когда сило вое поле вызвано наличием одной неподвижной части цы О. Элементарная работа силы (4.8) на перемещенир dr есть 6A = Fdr = f(r)erdr. Так как erdr=dr —проекци вектора dr на вектор Сг или на соответствующий радиус вектор г (см. рис. 4.4), то 8A — f(r)dr. Работа же этор силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 [c.90]

Область определения функций X, Y, Z называется силовым по лем. Если движение точки происходит в силовом поле и работа сил поля не зависит от пути, по которому происходит перемещение точки, а зависит лншг. от начального М и конечного Л/j положений точки (рис. 15.12), то такое силовое поле называется потенциальным. В потенциальном силовом поле работа по любому замкнутому контуру будет равна нулю. Это условие, как доказывается в теории криволинейных интегралов (см. Пискунов Н. С. [VIL4], т. II, гл. XV, 7), эквивалентно тому, что элементарная работа силы F есть полный диффереп-циал некоторой функции Uix, у, z), т. е. [c.288]

Силы, не удовлетворяюшие этому условию, неконсервативны. Например, работа сил трения по за.мкнутой траектории не равна нулю, т. е. сила трения — неконсервативная сила. Для неконсервативных сил элементарную работу обозначают символом А вместо бЛ, так как сила в этом случае не является однозначной функцией координат. Например, работа силы сопротивления жидкости движущемуся в ней телу зависит также и от скорости движения тела (см. 39). Поэтому элементарная работа неконсервативных сил не является полным дифференциалом какой-либо функции координат . [c.49]

В качестве примера подсчитаем потенциальную энергию упру-годеформированной пружины (рис. 38, а). По закону Гука (см. 41), упругая сила пропорциональна смещению и противоположна ему по направлению Гупр=—кх. Элементарная работа, совершаемая упругой силой при растяжении пружины на с1л , равна [c.53]

Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния. Очевидно, потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная сила (Тх dydz (см. рис. 7.29) на перемещении Ех dx совершает работу. Эта работа равна [c.333]

При подводе к термодинамической системе количества теплоты dQ не только изменяется внутренняя энергия рабочего тела, но и совершается работа вследствие расширения объема V системы на величину dv при преодолении сил внешнего сопротивления (см. рис. 1.5). Для определения этой работы необходимо знать площадь А поверхности, ограничивающей термодинамическую систему массой т, на которую действует внещнее давление рвн- При бесконечно малом расщирении газа с увеличением температуры на dTкаждая точка ограничивающей площади переместится на бесконечно малое расстояние dh. Элементарная работа dL = pвиAdh — работа изменения объема или механическая. Так как элементарное изменение объема [c.15]

Вывод уравнений движения твёрдого тела из принципа Даламбера. Уравнения движения твёрдого тела могут быть получены также с помощью любого из принципов, изложенных в главах XXXIV и XXXV. В виде примера покажем, как вывести эти уравнения иа принципа Даламбера. Согласно прйнципу Даламбера ( 197), если все связи неосвобождающие, то элементарная работа потерянных сил на любом виртуальном перемещении системы равна нулю [см. формулу (34.6) на стр. 349] t. е. мы имеем [c.504]

Элементарное перемещение dr направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 9.12). Элементарная работа обозначается 8А, а не dA, так как только в частных случаях элементарная работа силы является полным дифференщ алом некоторой функщ и координат (см. ниже случай потенциального поля). [c.320]

Как известно (см. обзор теории), элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной o hz, вычисляется по формуле [c.374]

Работа силы на любом конечном перемещении MoAii (см. рнс. 250) вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна [c.270]

Д АЛАМБЕРА - ЛАГРАНЖА ПРИНЦИП [по имени франц. математика и философа Ж. Д Аламбера (J. D Alembert, 1717— 1783) и по имени франц. математика и механика Ж. Л. Лагранжа (J. Lagrange, 1736- 1813)] - один из основных принципов механики, обьединяю-щий возможных перемещений принцип и Д Аламбера принцип. Согласно Д., если к действующим на точки механической системы активным силам присоединить силы инерции, то при движении механической системы с идеальными связями (см. Связи) сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Д. выражается равенством, которое наз. общим уравнением механики [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...