Уравнения Бельтрами упругого тела в напряжениях

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Приведенные в последних двух параграфах общие решения уравнений равновесия сами по себе не дают решения задачи теории упругости, так как содержащиеся в них функции напряжений должны быть определены из условий совместности деформаций (например, из уравнений Бельтрами в декартовых координатах) и условий на поверхности тела однако эти решения оказывают существенную пользу при вариационном методе решения задач, данном Кастильяно и изложенном в главе XI там они будут использованы. [c.250]

К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те шз них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра-WH — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным методом. [c.90]

Соотношения Бельтрами—Митчелла открывают еще один возможный путь решения задач классической теории упругости — метод их решения в напряжениях, не прибегая к предварительному определению перемещений. В этой постановке проблема сводится к отысканию таких шести функций от координат которые одновременно удовлетворяли бы трем уравнениям равновесия (5.2), шести соотношениям Бельтрами—Митчелла (9.3), (9.4) и, кроме того, подчинялись трем заданным краевым условиям в каждой точке поверхности, ограничивающей тело. Иногда второй путь решения оказывается более удобным, чем первый, состоящий в решении системы (7.1) из трех уравнений с тремя неизвестными и, V, . В частности, это будет безусловно так, если граничные условия на всей поверхности тела формулируются в напряжениях. [c.196]

Из этого уравнения в теории упругости получают (путем подстановки выражения через компоненты тензора напряжений) так называемые уравнения Бельтрами, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений. Это связано с тем, что уравнения движения упругого тела формулируются, в конечном счете, относительно вектора смепдения и, компоненты которого могут быть выражены через U , только при выполнении условий совместности. [c.81]

Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае MOHteT заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла. [c.484]

Решение задач теории упругости неоднородного тела, как и в классическом случае, можно искать либо в напряжениях, либо в перемещениях. Очевидно, что подстановкой (4.4) в уравнения совместности (4.3) можно получить обобщенные уравнения Бельтрами—Мичела [196, 202, 203], а подстановкой (4.2) в (4.1)—обобщенные уравнения Ламе. [c.34]

В первом случае имеющаяся информация о напряженном состоянии всей поверхности позволяет полностью решить вопрос о напряженности исследуемого тела во всех точках его объема. Важной особенностью этого случая является возможность получения переопределенной системы граничных условий (известны все компоненты тензора напряжений на поверхности). Это обстоятельство позволяет отказаться от решения полной системы уравнений теории упругости и свести задачу определения напряжений в объеме тела к решению краевых задач для независимых уравнений Пуассона, на которые распадается система уравнений совместности Бельтрами—Митчела [10]. [c.60]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...