Уравнения Бельтрами — Митчелла

Сравнивая (2.150) с (2.121), видим, что поле (2.150) удовлетворяет уравнениям равновесия и уравнениям Бельтрами — Митчелла. Введение функции г ) позволяет удовлетворить граничным условиям на S , в самом деле, в любой точке на S2 [c.70]

Если задача теории пластичности решается в напряжениях, то для их определения в общем случае нужно решить уравнения (10.24) и систему из шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая является обобщением уравнений Бельтрами — Митчелла. Ввиду громоздкости названные уравнения [c.305]

К простейшим задачам теории упругости мы будем относить те шз них, в которых в любой точке тела компоненты напряжений, а следовательно, и деформаций постоянны или линейно зависят от координат. Очевидно, в простейших задачах соотношения Бельтра-WH — Митчелла или уравнения сплошности деформаций удовлетворяются тождественно. Эти задачи решаются полуобратным методом. [c.90]

Равенства (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) называются уравнениями совместности деформаций в напряжениях или уравнениями Бельтрами — Митчелла. Таким образом, установлено, что компоненты тензора напряжений должны удовлетворять девяти дифференциальным уравнениям различного порядка (трем урав- [c.230]

Будем исходить из уравнений Бельтрами — Митчелла (4.11), (4.16), (4.17) ГЛ. II [c.458]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Уравнения совместности дефор.маций, выраженные через напряжения, называются уравнениями Бельтрами — Митчелла. [c.55]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

Соотношения (16.16) называются уравнениями Бельтрами — Митчелла. При отсутствии или постоянстве объемных сил X, Y, Z они были получены итальянским ученым Е. Бельтрами в 1892 г. Уравнения (16.16), учитывающие переменные объемные силы, выведены австралийским механиком Дж. Митчеллом в 1899 г. [c.340]

Уравнения Бельтрами—Митчелла называются условиями совместности в напряжениях. Вместе с уравнениями равновесия [c.340]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

И подстановка в (13.28) приводит к уравнениям Бельтрами — Митчелла в задаче о тепловых напряжениях [c.68]

Во многих стационарных задачах с краевыми условиями в напряжениях удобно использовать уравнения Бельтрами—Митчелла. Такие уравнения для термоупругой среды были нами выведены в 1.5. Для рассматриваемого случая производные по времени равны нулю и, следовательно, уравнения (48) и (49) 1.5 запишутся в виде [c.43]

Уравнения (2.30) называют уравнениями Бельтрами — Митчелла. Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряже- [c.76]

Уравнения Бельтрами — Митчелла (при отсутствии объемных сил) в цилиндрической системе координат записываются таким образом [c.78]

Уравнения Бельтрами — Митчелла 76, 78 [c.493]

Уравнения Бельтрами—Митчелла. Внося компоненты деформации по закону Гука (9) в условие сплошности (20) гл. 1, получаем с помощью дифференциальных уравнений равновесия уравнения Бельтрами-Митчелла [c.27]

Для получения второй группы соотношений Бельтрами — Митчелла преобразуем (5.29). С этой целью продифференцируем второе уравнение (5.26) по Хз, третье — по Х2 и сложим их полученный результат суммируем с (5.29) тогда будем иметь [c.82]

Следовательно, соотношения Бельтрами — Митчелла представляют собой шесть линейных дифференциальных уравнений, содер-жаш,их шесть функций Ors- [c.83]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Здесь а, Ь — пока неизвестные постоянные. Этими компонентами тензора напряжений соотнощения Бельтрами — Митчелла удовлетворяются тождественно тождественно удовлетворяются также первые два уравнения равновесия, а из третьего уравнения получаем [c.92]

Из шести соотношений Бельтрами — Митчелла четыре соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят к уравнениям [c.199]

Теперь обратимся к уравнениям совместности деформа ций в форме Бельтрами — Митчелла (3.2). При принятых ранее предположениях относительно составляющих напряжения о = Оу = а, == Хху = о первые четыре уравнения системы (3.2) удовлетворяются при любых выражениях функции ф, а последние два уравнения получат следующий вид [c.59]

Это соотношение было отмечено выше как следствие уравнений теории упругости в перемещениях и связи между объёмным расширением и суммой нормальных напряжений [см. (9.18)]. Исключив теперь Дз из (11.11) с помощью (11.12), придём к условиям сплошности, выраженным через тензор напряжений, в форме Бельтрами-Митчелла [c.57]

Соотношения Бельтрами—Митчелла открывают еще один возможный путь решения задач классической теории упругости — метод их решения в напряжениях, не прибегая к предварительному определению перемещений. В этой постановке проблема сводится к отысканию таких шести функций от координат которые одновременно удовлетворяли бы трем уравнениям равновесия (5.2), шести соотношениям Бельтрами—Митчелла (9.3), (9.4) и, кроме того, подчинялись трем заданным краевым условиям в каждой точке поверхности, ограничивающей тело. Иногда второй путь решения оказывается более удобным, чем первый, состоящий в решении системы (7.1) из трех уравнений с тремя неизвестными и, V, . В частности, это будет безусловно так, если граничные условия на всей поверхности тела формулируются в напряжениях. [c.196]

Из вышеизложенного ясно, что предлагаемое решение удовлетворяет уравнениям равновесия, в данном случае — уравнениям (6.2). Нетрудно проверить, что оно удовлетворяет также и соотношениям неразрывности Бельтрами — Митчелла. Последнее, впрочем, ясно уже из того, что все три выражения (6.15) являются полными дифференциалами. [c.246]

Для получения уравнений Бельтрами — Митчелла необходимо деформации е, е , е , / 2, 2 выразить через напря- [c.55]

В некоторых случаях (особенно в задачах с плоским напряженным или плоским деформированным состоянием) удобно использовать уравнения в напряжениях. В классической теории упругости такие уравнения известны как уравнения Бельтрами— Митчелла. Для несопряженной термоупругости соответствующие уравнения получил весьма простым путем Игначак и затем несколько иным путем Шоош [c.29]

Данные уравнения ад злогичны уравнениям Бельтрами — Митчелла, но с дополнительными членами. Уравнения (5.40) совместно с граничными условиями (5.2) позволят решать задачу теории пластичности в напряжениях. Если в (5.40) положить то все [c.146]

УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ Уравнения Бельтрами—Митчелла. Внося компоненты деформации по закону Гука (9) в условие сплошности (20) гл. 1, получаем с помощью Дифференциальных уравнений равновесия уравнения Бельтрамн-Митчелла [c.27]

Проверим, совместимы ли компоненты напряжений с основными уравнениями теории упругости. Ввиду того, что рассматриваемая задача также 5Гвляется простейшей задачей теории упругости, компоненты тензора напряжений (5.65) тождественно удовлетворяют соотношениям Бельтрами — Митчелла. Компоненты тензора напряжений (5.65) также удовлетворяют уравнениям упругого равновесия. [c.96]

В однородной форме (9.5) эти равенства были получены Бель-трами, а в неоднородной — (9.3) и (9.4)—Митчеллом, ввиду чего их принято называть соотношениями Бельтрами—Митчелла. Приведен-ный выше вывод данных формул наиболее краток, однако его недостатком является то, что при таком способе рассуждений трудно уловить смысл равенств (9.3), (9.4). Между тем этот смысл сразу становится ясен, если вспомнить, что компоненты деформации должны подчиняться шести соотношениям Сен-Венана. А поскольку деформации связаны с напряжениями законом Гука, очевидно, что между напряжениями должны существовать шесть независимых от уравнений равновесия дифференциальных соотношений. При этом оказывается, что формулы Бельтрами — Митчелла суть не что иное, как соотношения Сен-Венана, записанные в напряжениях и упрощенные затем путем использования того обстоятельства, что напряжения должны подчиняться, помимо этого, уравнениям равновесия (5.2). Такой способ вывода равенств (9.3), (9.4), однако, более громоздок, чем тот, который был предпочтен выше. [c.196]

На основании всего сказанного попытаемся удовлетворить уравнениям равновесия /(5.2) и соотношениям Бельтрами —Митчелля У(9.5), полагая, что всюду [c.241]

Дифференциальные уравнения для этой функции выводятся путем интегрирования по толщине пластины первых четырех из соотношений Бельтрами-Митчелля. При этом получим [c.302]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...