Градиент в скалярном поле

Градиент в скалярном поле 190 [c.637]

Уравнение (5-1.37) показывает, что течение контролируемо, если левую часть можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля. Фактически уравнение (5-1.37) определяет поле давления р (с точностью до произвольной аддитивной постоянной см. разд. 1-8). Мы будем делать различие между истинным и гидростатическим давлением, т. е. рассматривать избыточное давление Sf". [c.175]

Пусть в заданный момент времени скалярное поле представлено функцией / (X), где X — произвольная точка области пространства, в котором определяется поле. Градиент f в точке X есть вектор, обозначаемый символом V/, такой, что [c.30]

Каждая из трех координат некоторой координатной системы определяет скалярное поле, поскольку любой точке X можно поставить в соответствие скаляр х Тогда уместен вопрос что представляет собой градиент этого поля На основании [c.31]

Рассматриваемое течение контролируемо, поскольку V- т = О, и D IDt можно представить в виде градиента скалярного поля [c.287]

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

Таким образом, в рассматриваемом случае поле перемещений — градиент скалярного Поля Ч (л г). т. е. будет потенциальным полем, а функция Ч — потенциал (точнее, скалярный потенциал) перемещения. Деформация, являющаяся результатом таких перемещений, назы- вается чистой деформацией. [c.18]

В непрерывном поле скалярной величины через любую точку пространства можно провести линию постоянного значения этой скалярной величины. При этом в каждой точке скалярного поля значение производной от рассматриваемой величины будет зави сеть от выбора направления. По направлениям касательных к ли ниям постоянного значения производные равны нулю, а по нор мали к этой линии производные будут иметь наибольшие значения Градиент скалярной функции есть вектор, направленный по нор мали к линии постоянного значения скалярной функции в сто рону увеличения этой функции и равный по величине производной по направлению указанной нормали. [c.42]

В векторной форме условие равновесия жидкости записывается одним дифференциальным уравнением. Изменение скалярного поля давления характеризуется его градиентом [c.23]

Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а = а (х, у, г), координаты его а , Оу, а —функции X, у, г например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль а определяет интенсивность поля. [c.231]

Существование линий тока не зависит от наличия или отсутствия в жидкости вихрей. Однако оно вытекает из уравнения непрерывности для плоских течений, и поэтому функция тока существует только для плоских течений. Особенно просто рассчитывается поле течения, если поток не только плоский, но и потенциальный, т е. скорость является градиентом некоторой скалярной функции ф [c.33]

Например, применяя оператор V к скалярному полю ф <р (х , х , ж , получим в рассматриваемый момент времени t векторное поле градиента ф [c.61]

Набла-оператор V, как и в п. II. 1, вводится с помощью определения градиента скалярного поля [c.853]

Контравариантное векторное поле ч,- определяется аналогичным образом. Единственное различие состоит в том, что компоненты у,- в разных координатных системах связаны между собой как градиент скалярного поля, т. е. законом преобразования (вместо (12.4)) [c.383]

Силовое поле назьшается потенциальным, если для него существует силовая функция - скалярная функция координат, градиент которой равен силе, действующей на материальную точку, находящуюся в силовом поле. Силы, действующие в потенциальном силовом поле, называются потенциальными силами. [c.377]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

В качестве примера контравариантного векторного поля рассмотрим градиент скалярного поля. На двух картах градиент состоит из частных производных функций /(g) и / (д), а именно [c.126]

Вектор W, разумеется, нельзя определить однозначно. Если доба вить к данному w градиент произвольной скалярной функции А (г ), то ротор нового потенциала w = w -f V A будет вновь равен V х w. Как будет ясно в дальнейшем, эта неоднозначность не мешает использовать W для определения поля, дифрагированного на апертуре. С помощью (4.14.2) дифракционный интеграл (4.2.10) можно теперь переписать в виде [c.313]

Таким образом, Fj является градиентом от скалярной величины, равной сумме (184) и (187), которая представляет собой разность между плотностью потенциальной энергии и плотностью кинетической энергии. Эта разность равна, конечно, нулю при условиях, близких к условиям в случае плоских волн, включающим условия дальнего поля (гл. 1), когда сила Fj действительно обращается в нуль. Однако даже в ближнем поле сила Fj не порождает никаких течений, так как она может быть точно уравновешена градиентом среднего давления, равным разности между плотностями кинетической и потенциальной энергий. [c.411]

Во-вторых, если m = 1, то поле f называется скалярным полем, поскольку можно рассматривать f как обычную числовую функцию. В силу теоремы представления для числовых функций векторного аргумента V/(x)(u) равняется скалярному произведению некоторого вектора на вектор и. В этом смысле мы можем сказать, что градиент скалярного поля в точке является вектором. Обозначая этот вектор снова через Vf(x), мы имеем [c.514]

Но это значит, что мы представили магнитное поле Н, которое было определено как ротор векторного потенциала, в форме градиента некоторой скалярной функции точки ф" (К), т.е. можем написать [c.263]

Поле температур называют стационарным, если оно не зависит от времени. Поле называют нестационарным, если температура зависит от времени. Опыт показывает, что распределение температуры обладает свойствами непрерывного скалярного поля. Поэтому изотермические поверхности не пересекаются одна с другой и не обрываются внутри тела. Опыт показывает также, что процесс теплопроводности возникает только в неравномерно нагретых телах. Для характеристики этой неравномерности вводят понятие температурного градиента. [c.193]

Таким образом, поле вектора является безвихревым, поэтому оно может быть выражено в виде градиента некоторой скалярной функции Ф, которую можно назвать скалярным потенциалом, [c.190]

Поскольку сила Р зависит от V, она не является консервативной и не может быть представлена в виде градиента скалярного поля, Действие этой неконсервативной силы удобно описывать, представив электромагнитное поле посредством векторного поля А. Это поле находится из уравнений Максвелла (2.2.1), [c.147]

Из уравнений (5-3.18) — (5-3.20) легко вычисляется вектор ускорения D IDt, который можно представить в виде градиента скалярного ноля. Следовательно, рассматриваемое течение контролируемо, причем поле избыточного давления определяется соотношением [c.194]

Скалярная функция координат и времени, градиент которой равен силе, действующей на материальную точку, находящуюся в рассматриваемом силовом поле. [c.80]

Силовая функция — скалярная функция координат и, может быть, времени, градиент которой равен силе, действующей на материальную точку, находящуюся в рассматриваемом силовом поле. [c.80]

Наконец, в некоторых случаях я считал, что текст нуждается в несколько большем пояснении или развитии. Этому посвящены небольшие приложения в конце книги. Особенно необходимым я считал связать учение о консервативном поле с понятием о градиенте скалярной функции, получившем такое распространение как в математической литературе, так и в прикладных дисциплинах. [c.10]

Здесь необходимо отметить одно очень существенное обстоятельство. Если сравнить информацию, необходимую для однозначного определения поля температур в области элемента в случае задания на части границы температуры и ее нормальной производной и в случае задания температуры и тензора деформаций, то можно заметить, что роль скалярной функции в первом случае (градиент температуры) во втором случае выполняет тензорная функция (тензор деформаций). Отсюда ясно, что информация [c.83]

Все.три теории основаны на законах сохранения массы, количества движения (импульса), момента количества движения и энергии. Предполагается наличие трех видов механического взаимодействия 1) контактных сил, действующих между частями тела, 2) контактных сил, возникающих на поверхности тела, и 3) массовых сил, действующих на тело на расстоянии со стороны внешней среды. Для описания тепловых эффектов используются понятия температуры Т (г, т), которая в каждой точке г пространства и в любое время г имеет положительное значение, и удельной энтропии s (z, т). Здесь уместно остановиться на понятии тела и описании его движения. Тело определяется как некоторая контрольная или отсчетная конфигурация, в которой находятся частицы тела г. Движение тела известно в том случае, если мы знаем положение / (Z, т), занятое частицей Z в любое время т. Предполагается, что функция, дифференцируемая такое количество раз, какое нам необходимо. Надо отметить, что две различные частицы Z и К не могут занимать одно и то же положение /(Z, т), если 1фУ. Можно вместо материальных координат (Z, т) в качестве независимых переменных взять обычные координаты (г, т). Тогда уравнение z = /(Z, т) будет обратным, чтобы выразить Z через гиги использовать его для описания скалярного, векторного и тензорного полей как функцию пространственных координат (г, т). Для того чтобы отличать градиенты, взятые по переменной г и Z, введем обозначения [c.72]

Эта формула показывает, что производная dUjdr является проекцией вектора (градиента U) на направление, в котором берется приращение dr. Градиентом в скалярном поле называется вектор, направленный по нормали к поверхности уровня Z7 = onst, в сторону возрастания U, и по абсолютной величине равный [c.190]

И. 1. Набла-оператор. В скалярном поле, задаваемом функцией координат (p xi, Х2, Хз), может быть определен вектор дгас1ф (градиент), проекции которого на оси ортогональной декартовой системы координат равны частным производным от скаляра ф по х, [c.839]

Запишите формулу градиента скалярного поля в прямоугольной декартовой и криволинейной системах координат. Поясните геометрический смысл век-тора-гоадиента. [c.65]

В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный но величине производной скалярной функции по направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и направленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом grado тогда, по определению, [c.44]

Дапо векторное поле, вектор w которого в свою очередь является градиентом скалярного поля следовательно. [c.86]

Поскольку ПОЛЯ W безвихревые, то возмущения этих полей представляются в виде градиентов скалярных полей ip и ф, а из условия соленоидальности W следует, что эти потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа [c.168]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Пусть В полугеодезических координатах х, у задано скалярное поле на поверхности ф(л , у) тогда скалярный квадрат его градиента (первый дифференциальный параметр)—Уф. В полугеодезической системе координат он примет вид [c.47]

Неподвижная среда тяжелой жидкости, находящейся в сосуде Л, обусловливает существование скалярного поля давлений (р/у), причем величина- = f х, г) является потенциальной фушщ вектсфвого поля градиентов давления [c.38]

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на координатные оси равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам. Вектор F, проекции которого определяются равенствами вида (60), называют градиентом скалярной функции U (дг, у, z). Таким образом, f=grad U, Из равенств (60) находим [c.319]

Вектор с проекциями д дх, д< 1дх2, (Зф/ Хз носит наименование градиента скалярной функции ф и обозначается символом grad ф. Подробнее о градиенте см. в начале 75, специально посвященного дифференциальным операциям поля. Формуле (23) можно придать вид [c.135]

В этих уравнениях два первых члена характеризуют полное изменение в единицу времени пульсационного потока скалярной субстанции (с точностью до констацты), третий член—непосредственное порождение oJT из осреднен-ного поля Т, четвертый —производство пульсационных потоков скалярной субстанции за счет взаимодействия пульсационного движения и среднего течения последующие члены определяют молекулярную диффузию, изменение у Г за счет связи пульсаций давления с градиентом пульсаций Г, вязкую диссипацию и диффузию за счет турбулентного переноса энергии пульсационного движения. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...