Закон Гука обобщенный энергии

Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации [c.200]

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ФУНКЦИЯ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ 201 [c.201]

Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния [c.252]

Обобщенный закон Гука. Энергия деформации [c.112]

В отличие от теории упругости, где при использовании выражения Р по обобщенному закону Гука формула (151) дает элементарную работу упругих взаимодействий в теле и, следовательно, приводит к выражению потенциальной энергии упругого взаимодействия, которая в процессе деформирования [c.255]

Для сторонников изложения гипотез как теорий предельных Н, С. укажем, что формула для Оэу может быть дана с приближенным выводом, который изложен в учебнике [12]. Помимо приближенности, что, естественно, является недостатком вывода, надо учесть необходимость предварительного знания формулы для потенциальной энергии деформации, которая базируется на обобщенном законе Гука, не входящем в обязательное содержание ныне действующей програм.мы. [c.165]

Потенциальная энергия. Наи лее простую форму принцип возможных перемещений в механике деформируемого твердого тела принимает для линейно-упругих сред. Пусть имеет место обобщенный закон Гука (8.1), что дает основание заменить в выражении b Vv напряжения деформациями, которые предполагаем выраженными через перемещения. Тогда согласно формуле (9.4) [c.194]

Теорема Кирхгоффа. Исходная система уравнений и краевых условий теории упругости приведена в п. 1.1. Вводятся следующие предположения 1) начальное состояние тела является натуральным 2) постоянные ц, v в обобщенном законе Гука удовлетворяют неравенствам (3.3.5), (3.3.6) гл. III, обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии деформации поэтому последняя может быть нулем лишь в натуральном состоянии 3) допускается общепринятое в линейной теории упругости пренебрежение изменением формы тела при формулировании краевых условий — ограничивающая упругое тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в натуральном состоянии. [c.182]

Общие соотношения. Рассмотрим растяжение стержня (фиг. 15, а). Вдоль участка ОАВ происходит нагружение, разгрузке соответствует линия ВС. Площадь ОАВС представляет собой потерянную работу деформации. Большая часть этой работы, как показывают экспериментальные исследования, переходит в тепло и вызывает очень незначительное (для деформации е = 4Уо — около 2° С) нагревание испытываемого образца. Поэтому при монотонном возрастании внешней нагрузки безразлично, куда перешла работа деформации — в тепло или в упругую потенциальную энергию стержня -— вид кривой ОАВ останется неизменным. Наоборот, при разгрузке, когда деформация среды происходит вследствие накопившейся в ней упругой энергии, происшедшая диссипация энергии приобретает решающее значение и чем она больше, тем сильнее линия разгрузки ВС отклоняется от линии нагружения ОАВ. Таким образом, уравнение о =/( х) ветви нагружения может представлять как пластическую, так и нелинейно-упругую деформацию стержня. Аналогично этому простому случаю рассмотрим общие уравнения пластической деформации как некоторое обобщение закона Гука. Примем следующие исходные положения [c.40]

Обобщенные силы в выражении для потенциальной энергии стержней выражают через обобщенные смещения с помощью одномерного закона Гука. [c.504]

Предложенная форма записи закона Гука отличается полезной симметричностью. В частности, симметричны обобщенные коэффициенты Пуассона Vij. Легко выписываются условия положительной определенности упругого потенциала (9.8) (плотности энергии деформации) [c.72]

В дальнейшем мы пользуемся уже сложившейся терминологией, согласно которой коэ ициенты перед квадратичными членами в разложении внутренней энергии по инвариантам тензора деформации называются модулями второго порядка (иногда линейными модулями), а перед кубическими членами — модулями третьего порядка Последние в обобщенном законе Гука определяют величину квадратичных членов и, следовательно, величину нелинейных эффектов во втором приближении. [c.288]

И так как на основании обобщенного закона Гука (25) составляющие напряжения являются однородными линейными функциями составляющих деформации, то потенциальная энергия V представится однородной функцией второй степени от вхх, , вуг- в самом общем случае такая функция заключает 21 член (шесть [c.42]

Определенные квадратичные формы весьма часто встречаются в механике и в ее практических применениях — в теории колебаний, в теории устойчивости и т. п. В частности, определенной положительной квадратичной формой является потенциальная энергия упругой системы (13.420 при наличии обобщенного закона Гука (13.39) или (13.40), кинетическая энергия материальной системы с голономными и стационарными связями [c.495]

Профессор Клапейрон доказал следующую теорему. При статическом действии на тело, материал которого следует закону Гука, группы обобщенных сил потенциальная энергия деформации равна половине суммы произведений каждой обобщенной силы на величину соответствуюш вго ей обобщенного перемещения, вызванного действием всей группы сил. [c.259]

Для упругих систем, следующих линейному закону Гука, как было показано выше, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений. В частности, при действии одной обобщенной силы Р потенциальная энергия выражается уравнениями (9.5) и (9.6) [c.269]

Присоединим к краевым условиям шесть определяющих уравнений, или уравнений состояния, выражающих, например, для упругого тела обобщенный закон Гука, зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для малых упруго-пластических деформаций, уравнения теории На-вье — Стокса в случае движения вязкой жидкости и т. д. В случае движения сжимаемой среды к краевым условиям присоединяется уравнение состояния и уравнение притока энергии. [c.46]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

До сих пор, рассматривая распространение волн в кристаллах, мы не принимали во внимание дискретную структуру кристаллической решетки. Так можно поступать до тех пор, пока длина акустической волны X остается много большей, чем постоянная решетки а, или до частот 100 ГГц. Выше этого предела дисперсионные кривые, получаемые из уравнений классической теории упругости, уже плохо согласуются с микроскопическими расчетами, базирующимися на уравнениях динамики решетки. Поэтому, если оставаться в рамках феноменологических моделей механики сплошных сред, то уравнения состояния кристалла необходимо модернизировать для учета дискретности среды, макроскопически проявляющейся в нелокальности ее реакции на приложение переменного в пространстве внешнего воздействия. Это можно сделать с помощью так называемой нелокальной теории упругости [19], представляющей собой феноменологическое обобщение классической механики сплошной среды. Одно уравнение состояния элемента сплошной среды, описывающее как пространственную, так и временную нелокальность, уже приводилось нами при рассмотрении релаксационных процессов. Если не учитывать временную нелокальность (которая, в частности, ответственна за диссипацию энергии в среде), то для твердого тела нетрудно получить следующее уравнение состояния (нелокальный закон Гука) [c.231]

Составление выражения потенциальной энергии как квадратичной формы координат q оказывается здесь значительно более сложным, чем во всех рассмотренных выше примерах. К такому выражению потенциальной энергии можно было бы прийти, например, следующим образом. Вычислив с помощью известных формул сопротивления материалов коэффициенты влияния подставляем их в уравнения (3.17) и затем решаем эти уравнения относительно Последние получаются в виде отношений определителей га-го порядка (в нашем примере — четвертого порядка). Их вычисление связано с большими затратами времени. Значительно менее трудоемким является в рассматриваемом случае способ составления уравнения малых колебаний, основанный на использовании уравнений обобщенного закона Гука (3.8). [c.116]

Чтобы воспользоваться теоремой Лангранжа, энергию надо выразить через обобщенное перемещение /. Согласно закону Гука kl PljEF. И теперь, имея выражение (5), мы можем исключить А/, т. е. написать [c.85]

На основании выбранного выражения для смещений и можно вычислить компоненты тензора деформаций, внутреннюю энергию е(1(ц ), а из условий р = рде/ди. — и компоненты тензора напряжений. Подставив эти выражения в (2.221), получим квад-ратичную (в случае обобщенного закона Гука) функцию постоянных коэффициентов Щ. Поскольку 8J = О для действительных перемещений, то из всех допустимых перемещений отыскиваем такие, которые придают функционалу стационарное значение. Для этого коэффициенты определяем из системы Ai линейных уравнений [c.452]

Вследствие аналогии между величинами Р и М/, с одной стороны, и величинами г и <Рг—с другой, аналогии, проявляющейся и во многих других случаях, часто понятию силы придают более общий, чем обычно, смысл, подразумевая под термином сила не только обычное понятие о ней, но и пару сил, а также совокупность двух равных и противоположных сил, имеющих одну и ту же линию действия и т. п. В таких случаях говорят об обобщенной силе . Т. к. на данную упругую систему могут действовать одновременно обобщенные силы различных типов, то, принимая во внимание аналогию ф-л (8) и (9) с ф-лами (15) и (16), можно вышеприведенные положения обобщить след, обр. потенциальная энергия упругой системы подчиняющейся закону Гука и подвергающейся воздействию каких угодно обобщенных сил, есть од-дюродная квадратная функция этих сил.Например пусть [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...