Положение равновесия невырожденное

Новый аттрактор может оказаться и просто лежащим в стороне устойчивым положением равновесия быстрого движения. Именно так обстоит дело для системы Ван дер Поля и, вообще, для систем с одной быстрой переменной (так как типичные движения системы общего положения с одномерным фазовым пространством приближаются к невырожденным устойчивым положениям равновесия). [c.171]

К. Зигель в 1941-1954 гг. исследовал вопрос об интегрируемости гамильтоновых систем вблизи устойчивых положений равновесия. Он доказал, что в типичной ситуации уравнения Гамильтона не имеют полного набора аналитических интегралов и преобразование Биркгофа расходится. Доказательство Зигеля расходимости преобразования Биркгофа в идейном отношении восходит к исследованиям Пуанкаре оно основано на тщательном анализе семейств невырожденных долгопериодических решений. [c.17]

При = О имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области О три неустойчивых невырожденных положения равновесия 1, 2 и Zз, соединенных двоякоасимптотическими траекториями Г1 и Г2, как показано на рис. 27. Точки Zl и zз могут совпадать, однако мы требуем, чтобы Zl ф Z2. Точки Zl, Z2 к. zз — неподвижные точки отображения 50 за период I = 2тг невозмущенной системы, а Г1 и Г2 — инвариантные кривые этого отображения, заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях отображения 50 стремятся к точке Z2 zl) для кривой Г1 и к точке zз ( 2) для кривой Г2. При малых значениях [c.288]

Булатович Р, М, Существование решений уравнения Гамильтона — Якоби в окрестности невырожденных положений равновесия // ПММ. —1983, т. 47, 2, 330-333. [c.418]

Предположим, что потенциальная энергия V имеет строгий невырожденный максимум в точке до причем точка го = (до О) ляется положением равновесия, т. е. Нр до,0) = 0. [c.150]

В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия пО Ляпунову. [c.378]

В случае /г = 1 условие невырожденности сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову. [c.378]

В невырожденном слзгчае (гл. 1, п. 2.4) индекс определяется по линейному приближению он равен (—1) где i — число вещественных собственных значений (мультипликаторов), которые в случае положения равновесия меньше О, а в остальных случаях меньше 1. Для невырожденного линейного отображения А векторного пространства V на себя будем писать е(Л) — [c.183]

Положение равновесия называется невырожденным, если линеаризованная около него система ие имеет нулевых собственных значений. [c.162]

Здесь точки означают члены выше четвертой степени относительно расстояния от положения равновесия. Система в окрестности равновесия называется невырожденной, если [c.207]

Ниже мы рассмотрим относительно простую модель, позволяющую описать основные закономерности спектров РВС примесных центров такого типа. Эта модель состоит в следующем. Как и в предыдущей модели, имеются два невырожденных электронных состояния — основное и возбужденное, используются адиабатическое приближение и приближение Кондона. Кроме того, предполагается, что оптические электроны в центре взаимодействуют лишь с одним экспоненциально затухающим локальным или псевдолокальным колебанием. Считается, что в результате этого взаимодействия при электронном переходе изменяется не только положение равновесия указанного колебания, но и его частота. Последнее изменение считается малым по сравнению с самой частотой, но большим по сравнению с распадной шириной первого колебательного уровня Г, определяемой скоростью затухания [c.347]

Проведенный анализ позволяет дать полное и наглядное описание всех невырожденных периодических движений точки т. Пусть энергия /г = 0. Тогда точка т занимает наинизшее устойчивое положение равновесия. Будем увеличивать значения Н. При малых /г>0 рождаются два различных семейства невырожденных периодических движений вертикальные подскоки и гладкое скольжение по параболе. Решения второго семейства существуют при всех /г>0, и все они устойчивы (как предельный случай решения типа 1)). Решения первого семейства также существуют при всех к. Однако при Н==тда12 (когда высота подскока равна расстоянию до фокуса параболы) мультипликаторы становятся равными единице. Это точка бифуркации при к>тца12 появляется еще одно семейство устойчивых периодических колебаний (3.7), а вертикальные периодические подскоки становятся неустойчивыми. [c.111]

Положение равновесия называется изолированным, если оно является изолированным нулем векторного поля фазовой скорости, т. е. если в некоторой его окрестности нет других положений равновесия. В других случаях периодическая траектория потока или каскада- с периодом т, необязательно минимальным (а также соответствующая периодическая точка, каскада), называется изолированной, еслн в некоторой ее окрестности нет других периодических траекторий с периодом, близким к т (для каскада — равным т). Может случиться, что периодическая траектория является невырожденной или изолированной как однообходиая и не является таковой как А-обходная (гиперболичнрсть же не зависит от числа обходов). Невырожденная периодическая траектория (включая положе-)ние равновесия потока) является изолированной- - (в понятном . еь ыслё) сохраняется при малом возмущении, а еслн она гиперболична, то и после возмущения остается таковой. Малость-здесь понимается в смысле С. [c.175]

Однако это н) дается еще в некотором обосновании. Простейший вариант такового если возмущение мало в смысле С, а а — невырожденное положение равновесия осредненного потока на N, то легко доказать, что вблизи р а действительно должна существовать замкнутая траектория возмущенного потока, замыкающаяся после одного оборота, который она делает возле р а. Но ведь не исключено, что положения равновесия будут вырожденными и даже не изолированными. Конечно, такие случаи, тоже можно исследовать по теории возмущений, но-априори не ясно, каким окажется результат такого исследования, удастся ли единообразно охватить все возникающие здесь варианты и какие условия придется наложить на малость возмущений. Словом, теория возмущений, доставляющая в конкретной ситуации эффективные вычислительные процедуры, в отношении ачественного исследования общего случая уступает топологическим соображениям. Теорему Зейферта—Риба можно получить и с помощью соображений более аналитического характера, но они отличаются от Обычной теории возмущений [42]. [c.187]

Критические точки f суть периодические точки потока, причем положения равновесия суть невырожденные критические точки с теми же индексами, а критические точки, лежащие на замкнутой траектории Ь, неизбежно вырождены (когда JfбL, то отвечает нулевому собственному значению оператора, задающего квадр атнчную форл у ио это вырождение— минимальное (ранг равен п—1). [c.192]

Периодическая точка, травстория 162 ---гиперболическая, изолированная, невырожденная 174, 175 Периодическое движение 162 Подошва ручки 196 Положение равновесия 162 [c.242]

Теорема 3 ([9]). Пусть усредненная система имеет невырожденное положение равновесия. Тогда точная система имеет предельный цикл вдоль которого медленные пepe eнныe изменяются в окрестности указанного равновесия размера порядка е. Если все собственные значения усредненной системы, линеаризованной около этого равновесия, имеют отрицательные вещественные части, то цикл асимптотически устойчив. Если вещест- [c.162]

Теорема 20 ([5], [301). У гамильтониана общего эллиптического типа в окрестности положения равновесия имеются инвариантные торы, близкие к торам линеаризованной системы. Они образуют множество, относительная мера которого в полидиске т <е стремится к 1 при е- -0. 3 изоэпсргетически невырожденной системе такие торы занимают большую часть каждого уровня энергии, проходящего вблизи равновесия. [c.207]

Теперь сделаем изоэнергетическую редукцию (см. [6]), выбрав на уровне энергии H = h в качестве нового времени фазу ф (обозначать ее теперь будем t). Гамильтониан задачи примет вид F = F(z, t, Л). При Л = 0 начало координат — положение равновесия системы. Предположим, что оно невырождено (все мультипликаторы отличны от нуля вырожденный случай рассмотрен в п. 4.3). Тогда при малых h система также иыеет невырожденное равновесие. Гладкой по параметру за-ыенон переменных можно перенести это равновесие в начало координат. Гамильтониан примет вид [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...