Равновесие неустойчивое асимптотически

В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво. [c.420]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

А. Ь. Ляпуновым было доказано, что в случае, когда оба корня этого уравнения имеют отличную от нуля действительную часть, состояние равновесия (особая точка) системы (21.21) асимптотически устойчиво, если действительные части корней отрицательны если хотя бы одна действительная часть положительна, то состояние равновесия неустойчиво. [c.516]

Подчеркнем, что уже в линейной системе двух уравнений, положение равновесия которой асимптотически устойчиво по одной, и неустойчиво по другой переменной, при включении или отключении связей возможно изменение на противоположный характера поведения этих переменных асимптотически устойчивая переменная становится неустойчивой и, наоборот, неустойчивая -асимптотически устойчивой. [c.274]

В работах [41-50] содержится детальное исследование связи между нелинейной неустойчивостью устойчивых в линейном приближении периодических движений (в частности, равновесий), сугцествованием асимптотических к ним траекторий, наличием стохастической компоненты движения и ограниченностью траекторий системы в окрестности ее неустойчивого движения. Отправной точкой этого исследования была гипотеза о том, что вышеупомянутые асимптотические траектории в действительности являются гомоклиническими двоякоасимптотическими траекториями, которые разрушаются при наличии возмугцений. Анализ поведения этих двоякоасимптотических траекто- [c.122]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзя ли так подобрать диссипативные силы, чтобы неустойчивое при наличии одних потенциальных сил положение равновесия стало устойчивым или даже, может быть, асимптотически устойчивым Ответ на этот вопрос отрицательный. [c.537]

Рассмотрим теперь проблему гироскопической устойчивости и выясним, каково влияние диссипации по явным координатам. Если V, как функция от явных координат, имеет в положении равновесия минимум, то диссипация, как и следовало ожидать, повышает устойчивость. В общем случае мы имеем асимптотическую устойчивость по явным координатам. Если же V имеет максимум в положении равновесия, то дело обстоит иначе. Даже тогда, когда при отсутствии диссипации имеет место устойчивость для достаточно больших значений р ( 10.3), введение диссипации вызывает неустойчивость. [c.199]

Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость. [c.370]

Связь линейного приближения с общей теорией. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям. [c.382]

ТО форма равновесия, возникающая в точке Вгз, оказывается неустойчивой при этом кривая В/зС/з тоже асимптотически подходит к прямой Р = Р,, но сверху. [c.468]

Отметим, что векторная функция w t), t > О, не является ограниченной по норме. Поэтому решения X(t) уравнения (10.31) могут, вообще говоря, выходить рано или поздно из любой окрестности положения равновесия, даже при наличии асимптотической устойчивости этого положения равновесия [67], т.е. траектории X t) с вероятностью 1 могут как угодно далеко отклониться от положения равновесия. Система тем самым становится неустойчивой. Для придания более точного смысла термину неустойчивость системы [c.315]

Таким образом, учёт второй гармоники в зависимости восстанавливающего момента от угла нутации Ма а) приводит к возникновению качественно новых свойств, не характерных для случая Лагранжа, обусловленных возможностью появления на фазовом портрете системы особой точки типа седла, соответствующей неустойчивому положению равновесия. При наличии возмущений происходит эволюция величины энергии Е, что может привести к проходу её через критическое значение Это соответствует пересечению фазовой траекторией сепаратрисы, когда осуществляется переход между областями фазовой плоскости, внешне сопровождающийся скачкообразным изменением амплитуды колебаний угла нутации. Эту важную особенность необходимо учитывать при построении асимптотических приближений возмущённой системы. [c.76]

Поскольку условия р> О и р< О являются взаимоисключающими, то система (1.1.5) имеет два неустойчивых и одно устойчивое положения равновесия, причем в окрестности устойчивого положения равновесия один из видов вымирает. На основе анализа указанных ЧУ-задач для положений равновесия 2) и 3) и делается вывод о глобальном поведении системы (1.1.5) в окрестности положения 1) положение 1) асимптотически [c.42]

В случае отключения связей (/г12 = Кг = 0) система (1) переходит в систему (2), положение равновесия которой в области О неустойчиво по 71 и асимптотически устойчиво по а [c.275]

Если отсутствуют осложняющие обстоятельства (магнитное поле, вращение, диффузия), то неустойчивость равновесия подогреваемой снизу жидкости связана с монотонными возмущениями. Можно думать поэтому, что в результате развития этих возмущений устанавливается стационарная конвекция определенной амплитуды. Вблизи порога амплитуда мала, и для определения стационарного движения можно применить асимптотические методы нелинейной механики. [c.138]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Таким образом, в области х,о > О, / = 1,3 положение равновесия системы (1.1.5) асимптотически устойчиво в целом по одной из переменных для любых параметров системы (кроме исключительного случая р = 0), хотя это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. Другими словами, если решения системы исходят из любой точки множества х,о > О, / = 1,3, то один из видов вымирает асимптотически. Это [Rou he и др., 1977] строгая формулировка утверждения, известного как экологический принцип вымирания Лотки-Вольтерры [Lotka, 1920 Volterra, 1931]. (К рассмотренному примеру с несколько иной точки зрения вернемся в разделе 1.1.7.) [c.28]

Утверждение 11.2. Пусть при ot = состояние равновесия не устойчиво. Тогда при переходе точки а из области устойчивости в облает неустойчивости состояние равновесия из асимптотически устойчивог становится неустойчивым. При этом изображающая точка отбрасывает от состояния равновесия на достаточно далекое расстояние, сколь бы н были близки точки а и а . При обратном изменении параметров изо бражающая точка не возвращается в состояние равновесия, когда оно опят становится устойчивым. Система ведет себя необратимо. [c.221]

Построенные кривые показывают, что угол ср может также асимптотически приближаться к значению я/2, например для случая Х = 0,5 при р > 0,853. Это означает, что при достаточно большой силе осадка пружины, находящейся в трубке, возрастает настолько сильно, а вместе с ним настолько быстро убывает плечо силы Р, что последняя не в состоянии перекинуть трубку ниже горизонтали. В пределе при ф = л/2 осадка пружины (Рсо5ф)/С], как нетрудно установить, равна Н. и формы равновесия, однако, являются неустойчивыми. [c.395]

Если критическая точка есть минимум, то про соответствующее относительное равновесие говорят, что оно орбитально устойчиво (так как близкие движения лежат в узком кольце), в противном случае — неустойчиво (вспомним асимптотические движения в одномерных системах, аналог которых имеется и здесь). Если h не намного отличается от минимального значения /i,, то по формуле Линдштедта (тема 6) [c.79]

Рис. 42. Области возможности движения натуральной системы с одной степенью свободы распадаются на несколько связных частей типа отрезка или полупрямой отрезку отвечают колебательные (см. рис. 41) и иногда асимптотические движения к неустойчивым положениям равновесия. Иногда происходят перестройки о. в. д. (с ростом h связные части могут сливаться либо рождаться на пустом месте ), когда h пересекает критическое значение потенциальной энергии. Если соответствующая критическая точка (положение равновесия) невырождена, то перестройка обязательна

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Итак, добавление диссипативных сил к консервативным не изменяет значения р = Pi критической нагрузки, но превращает устойчивое равновесие при р < р в асимптотически устойчивое, а неустойчивое равновесие при р — р — в неасимптотически устойчивое. В этом проявляется стабилизирующее влияние диссипативных сил на систему, находящуюся под действием консервативной нагрузки. [c.436]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Линейный анализ устойчивости системы (143), (144) показал, что единственное состояние равновесия )q = kfjpb, Oq = f( o)lb становится неустойчивым при df/dv < О, т.е в области отрыва дислокаций от закрепляющих примесей. Асимптотическими методами в области неустойчивости был найден предельный цикл, соответствующий колебаниям переменных [c.127]

В заключение остановимся еще на вопросе о практической устойчивости. Для применения теории установление того факта, что теоретически изучаемая система устойчива или даже асимптотически устойчива, не исчерпывает вопроса для обоснования этого положения достаточно указать, что необходимо, например, знать величину области асимптотической устойчивости. Но дело не только в этом. Как справедливо указывают Ж. Ла-Салль и С. Леф-шец Положение равновесия системы может быть математически неустойчиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от этого положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и ракетные устройства ведут себя именно таким образом Следовательно, имеется одределенный разрыв между различными точными теоретическими определениями устойчивости и несколько расплывчатым представлением о практической устойчивости. В-только что упомянутой книге авторы делают попытку строго и подходящим образом определить практическую устойчивость и показывают, как использовать ранее известные результаты для исследования той или иной системы на практическую устойчивость. [c.137]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Тем самым полностью описано поведение фазовых траекторий на многообразиях 5 и /. Вне этих многообразий фазовые точки приближаются к / вдоль 5+ и затем удаляются от / вдоль >5". Это в случае, когда рФО и дФО. В случае р = 0 или д = О все фазовые траектории уходят от многообразия / либо, напротив, к нему приближаются. Особый интерес представляет случай д = О, когда многообразие 8 отсутствует, а многообразие совпадает со всем фазовым пространством (некоторой окрестностью точки равновесия О °) и фазовые траектории экспоненциально приближаются к интегральному многообразию /. Если из этой малой окрестности при возрастании времени фазовые траектории не выходят, то каждая из них экспоненциально приближается к некоторой фазовой траектории на интегральном многообразии /. Следовательно, асимптотическое поведение фазовых траекторий вблизи равновесия 0 определяется асимптотическим поведением фазовых траекторий только многообразия и в этом смысле фазовый портрет окрестности равновесия О определяется фазовым портретом окрестности 0 на многообразии /. При р + д = пт1р =6т1дФ0 состояние равновесия седлового типа. При д = 0 оно устойчивое, а при р = 0 неустойчивое. Поведение фазовых траекторий во всех этих случаях было описано выше, соответствующие фазовые портреты при одинаковых р ш д будем считать одинаковыми. Установлено, что такие фазовые портреты топологически изоморфны, т. е. могут быть преобразованы друг в друга с помощью взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. [c.98]

Положение равновесия x = x = 0 уравнения (2.2.12) экспоненциально асимптотически устойчиво по X, но неустойчиво по X. Это значит, что с течением времени система приближается к положению х = О с бесконечной по величине скоростью. На фазовой плоскости (х, X) происходит своего рода биение (с неофаниченно затухающей амплитудой) изображающей точки вдоль оси х (см. рис. 2.2.1). [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...