Конфигурация равновесия неустойчивая

Конфигурация равновесия неустойчивая 355 [c.428]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Теперь рассмотрим промежуточное состояние, для которого Р равно наименьшему критическому значению Р . Тогда прямолинейная форма не будет ни конфигурацией устойчивого равновесия, ни конфигурацией неустойчивого равновесия. Она будет конфигурацией безразличного равновесия. Следовательно, для у можно найти такую форму ( первую форму продольного изгиба ), что определяемая ею изогнутая конфигурация также будет конфигурацией равновесия. Общая теорема механики требует, чтобы полная потенциальная энергия, соответствующая этой конфигурации, имела стационарное значение. Следовательно, левая часть выражения (45) должна обращаться в нуль, когда у дано любое бесконечно малое приращение. [c.599]

Если е <е, то значение (Г будет мнимым. Невозмущенная конфигурация равновесия тогда неустойчива. [c.464]

Отсюда мы замечаем, что в будет действительным или мнимым, т. е. конфигурация равновесия будет устойчивой или неустойчивой, смотря по тому, будет лн р положительно или отрицательно, или, что то же самое, смотря по тому, уменьшается или увеличивается плотность снизу вверх ). [c.474]

Физический смысл этой неопределенности трудно понять все возможные течения с механической точки зрения находятся в равновесии. Не ясно, какой вид имеет условие, если оно вообще существует, для устойчивого равновесия непараллельных соударяющихся струй. Возможно даже, что все стационарные конфигурации течения неустойчивы ). [c.65]

Нам остается рассмотреть еще случай отрицательного Действительные значения х имеют тогда противоположные знаки. Систему можно так вывести из смещенного положения, что она будет асимптотически приближаться к состоянию покоя в конфигурации равновесия но если только не удовлетворено специальное соотношение между смещением и скоростью, движение стремится беспредельно возрастать. При этих условиях равновесие должно рассматриваться как неустойчивое. В этом смысле устойчивость требует, чтобы обе величины и х были положительными. [c.95]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Равновесие называют устойчивым, если движение, получающееся в результате небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо, поставленное на один из своих концов, — примером системы, находящейся в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции V будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия ее увеличивается при этом на dE. Но так как в положении равновесия V имеет минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение V. Поэтому на основании закона о сохранении энергии можно сделать вывод, что если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости ее уменьшались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на ограниченность движения такой системы. [c.348]

Трудно дать строгое исчерпывающее определение устойчивости равновесия ввиду сложности и многогранности этого явления. Для наших целей вполне достаточна следующая формулировка равновесная конфигурация тела устойчива, коль скоро малые возмущения конфигурации вызывают и малые отклонения от положения равновесия. При этом, уменьшая возмущения, можно сделать эти отклонения сколь угодно малыми. И наоборот, конфигурация неустойчива, если сколь угодно малые возмущения могут вызывать немалые отклонения. [c.253]

Чтобы ответить на вопрос, к какому из указанных типов относится та или иная равновесная конфигурация механической системы, необходимо исследовать форму потенциальной поверхности и и д2,. .., д ) вблизи данного положения равновесия. На рисунках 27.1, а, б, в, г в качестве примера приводятся возможные формы потенциальной поверхности в окрестности различных положений равновесия для механической системы с двумя степенями свободы, а именно на рисунках 27.1, а, б, в — для положений устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия, а на рисунке 27.1, г —в окрестности седлообразной точки равновесия, при этом линия АА указывает направление сдвигов системы, по отношению к которым положение равновесия О является устойчивым, линия ВВ — направление неустойчивости равновесия и ли- [c.157]

Этим подтверждается, что значение р = Ро параметра нагружения является бифуркационным (критическим) — однородная краевая задача (7) имеет нетривиальное решение им определяется нейтральное, по принятому определению неустойчивое, равновесие тела в -конфигурации. [c.351]

Далее в работе исследуется устойчивость конфигурации одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильных многогранников. Связь этой проблемы с метеорологией подчеркнута в книге [4]. Правильным вихревым многогранникам отвечают равновесия основной системы, принадлежащие непрерывным трехпараметрическим семействам равновесий (орбитам группы симметрии б О(З)). Доказано, что среди вихревых многогранников тетраэдр, октаэдр, икосаэдр — устойчивы, а куб и додекаэдр — неустойчивы. При этом под устойчивостью (неустойчивостью) многогранника понимается устойчивость (неустойчивость) соответствующей ему б О(З) - орбиты. Здесь оказывается, что нелинейная задача устойчивости всегда полностью решается линейным приближением. В данной публикации исправлены погрешности, замеченные в ее журнальном варианте. [c.355]

Анализируя (5.2) при разных значениях шага т, были определены неустойчивые моды (рис. 6), которые оказались более реалистичными для анализа существования равновесных конфигураций реальных вихревых структур, чем решение для системы из точечных вихрей [И]. С целью проведения сопоставления между системами с разным числом вихрей для сохранения суммарной интенсивности в системе размер вихрей выбирался так, чтобы суммарная площадь сечений ядер вихрей была одинаковой, т. е. е = 0.15л/]У. В результате заметим, что учет винтовой формы вихрей с уменьшением их шага приводит к потере устойчивости вихревыми системами все для меньшего и меньшего их числа, а при т < 1.4 устойчивые конфигурации из винтовых вихрей отсутствуют полностью. Качественно это согласуется с результатами визуальных наблюдений и снимет отмеченное во введении противоречие их сравнения с данными теории равновесия точечных вихревых систем. Более того, экспериментальные результаты работы [3] позволяют провести и количественное сравнение. В [3] описана двойная вихревая структура N = 2 с безразмерным шагом т = 1.45. Этот режим хоть и близок к границе неустойчивости (см. диаграммы рис. 6), но является еще устойчивым, т.е. такая вихревая пара существовать может. А близость ее параметров к границе неустойчивых режимов косвенно подтверждается тем, что получить ее в эксперименте было очень трудно, требовалась тонкая регулировка экспериментальной установки и режимных параметров течения для получения вихревой пары с параметрами, обеспечивающими ее устойчивой существование. [c.412]

Рассмотрим, как будет развиваться при вековой неустойчивости конфигурация, устойчивая обыкновенным образом. Нри полном отсутствии трения и слабом возмугцении она будет просто колебаться около положения равновесия. Но если трение присутствует, то, опираясь на уравнение (24), имеем [c.46]

Если, наоборот, как бы близка к С ни была начальная конфигурация и как бы ни была мала вначале живая сила, всегда можно сообщить системе такое движение, в котором отклонение системы от конфигурации ргвновесия С , или даже только живая сила, в конце концов превзойдет некоторую постоянную (положительную), не зависящую от начальных условий величину, то конфигурация равновесия неустойчивой. [c.355]

Однако поскольку все подобные конфигурации уже обладают вековой неустойчивостью при смещениях, соответствующих Ь п = 2, р = 2), они пе имеют физического применения и не могут появиться в результате естественной эволюции жидкой массы. Если бы система обладала количеством углового момента, отвечающим условиям (равновесия) любой такой сфероидальной формы, то через внутреннее трение опа нришла бы к соответствующей конфигурации равновесия па последовательности Якоби при условии, что такая конфигурация с заданным угловым моментом сама обладает вековой устойчивостью . Теперь перейдём к рассмотрению вековой устойчивости эллипсоидальных форм. [c.163]

Чтобы исследовать устойчивость равновесия, мы можем вообразить импульсные возмущения, за которыми следуют действительные вариации равновесных перемещений. Поскольку диссипации энергии нет, сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной. Если при отклонении от равновесной конфигурации потенциальная энергия должна увеличиваться, то кинетическая энергия должна уменьшаться. Однако если потенциальная энергия должна уменьшаться, то кинетичеткая энергия будет возрастать. Эти два случая описываются соответственно как устойчивый и неустойчивый по отношению к малым возмз/-щениям. Устойчивость, очевидно, требует, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия достигала минимума, а неустойчивость—чтобы она была максимальной. При таком использовании потенциальной энергии подразумевается, что в движении, следующем за возмущением 1) объемные и поверхностные силы двигаются вместе с элементами материала, на которые они действуют в равновесной конфигурации, и 2) эти силы не меняют ни величины, ни направления. [c.262]

Кратковременная устойчивость. Немедленно после взрыва и рассеяния ударной волны борта воронки должны принимать устойчивую конфигурацию. В этот момент, будучи разрушена, большая часть их поверхности находится в состоянии неустойчивого равновесия, особенно из-за дополнительной пригрузки породой, упавшей на бровку после выброса. Любые глинистые прослойки, трещины или ослабленные плоскости скольжения могут служить в это время очагами локальных оползней. Гипердавления ядерного взрыва вызывают гидравлическое трещинообразование в породе, оттесняя далеко за контуры воронки поровую воду и увеличивая тем самым неустойчивость бортов. Контролировать кратковременную устойчивость стенок воронки очень трудно или практически невозможно. Однако при проектировании и расчетах ядерных взрывов необходимо оконтуривать сомнительные зоны и определять возможные границы оползней. [c.66]

Если при всех смещениях (г) анергия системы увеличивается (61У > 0), то система находится в устойчивом состоянии с наименьшей потенциальной энергией и все отклонения от положения равновесия не могут нарастать во времени. Если 61У может принимать отрицательные значения, т. е. при нек-ром смещении система может перейти в состояние с меньшей потенциальной энергией, то рассматриваемая система неустойчива. Границу между устойчивыми и неустойчивыми состояниями образуют такие состояния, в к-рых исчезает упругость по отношению к одному определённому типу смещений. Для нахождения границы устойчивости обычно исследуют, при каких условиях появляются состояния, близкие к равновесному, е помощью ур-нпя И = 0. т. е. соответствующие нулевым собств. частотам, (т. н. безразличное равновесие). В линейной теории Н. п. стационарных состояний нарастание флуктуаций во времени носит экспоненциальный характер ехр(у(). Здесь у — инкремент неустойчивости — величина, характеризующая степень неустойчивости системы, быстроту возбуждения в ней колебаний. Порядок величины инкремента самых быстрых МГД-шеустойчивостей у/г, где г— характерный пространств, размер конфигурации, V — характерная скорость (альвеновская, либо скорость звука, в зависимости от типа Н. п.). [c.346]

Представленная синергетическая картина позволяет естественным образом интерпретировать особенности мартенситного превращения, если учесть, что отклонение от равновесия, приводящее к росту доли п перестроенных атомных конфигураций, отвечает образованию аустенитной фазы, т. е. обратному мартенситному превращению. Это означает, что исходное неупорядоченное состояние е = О представляет мартен-ситную фазу, а упорядоченное б = — аустенитную. При понижении температуры происходит прямое превращение, точка Т — начала которого фиксируется условием п (Т) = отвечающим равенству синергетических потенциалов мартенситной и аустенитной фаз (кривая 3 на рис. 7 а). Безактивационное мартенситное превращение происходит при более низкой температуре, обеспечивающей условие п (Т) = п (см. равенство (1.43)), при котором пропадает минимум синергетического потенциала (кривая 2). Как видно из рис. 7 б, при обратном повыщении температуры от значений Т < М,- наблюдается гистерезис мартенситная фаза становится неустойчивой при гораздо большем значении Т > М , отвечающем условию п Т) = та (см. (1.44)). Наличие упругих напряжений приводит к тому, что условие равновесия фаз п Т) = выполняется не при одной температуре, а в интервале от до. Действительно, упругие напряжения дают положительный вклад в синергетический потенциал (1.42), так что кривая зависимости К(е) на рис. 7 7 идет выше той, что отвечает условию п (Г) = в их отсутствие, в связи с чем касание с осью абсцисс требует дополнительного охлаждения. При дальнейшем вьщелении мартенситной фазы упругие напряжения снова возрастают, температура фазового равновесия становится еще меньше и т. д. — до точки, где мартенситная фаза заполняет весь объем. [c.125]

Так как движение электронов обычно рассматривают в адиабатическом приближении, т. е. при определенной конфигурации ядер, то электронная энергия молекулы должна быть функцией относительных координат ядер. Для двухатомной молекулы (рис. 2) электронная энергия Ее зависит от расстояния между ядрами г. Кривые, имею-ш,ие минимум при некотором (равновесном) межъядер-ном расстоянии Ге, соответствуют устойчивым состояниям. Вблизи положения равновесия они близки к параболам. При больших г квадратичная зависимость Ее г) нарушается. Для неустойчивых состояний функции Ее г) не имеют минимума. [c.13]

В начальной стадии перехода в стеклообразное состояние со-. храняется структура (расположение молекул), предшествующая этому переходу. При дальнейшем испарении остатков растворителя это приводит к возникновению напряжений в материале. Если молекулы оказались в неустойчивом, например в ориентированном состоянии, или в растянутом положении, то такая структура будет увеличивать напряжение в пленке, соответственно чему покрытие будет давать усадку. Напряжения в пленке и усадка будут усиливаться по мере повышения скорости испарения растворителя, так как растянутые молекулы не успеют придти в равновесное изогнутое состояние. Напряжения будут также расти с увеличением средних размеров цепей (с молекулярным весом полимера), так как чем больше длина цепи, тем более изогнутую форму она может приобрести. Более изогнутая форма отвечает минимуму свободной энергии и максимуму энтропии, т. е. цепь приходит к состоянию, которое может быть осуществлено наибольшим числом способов, так как случай идеально вытянутой цепи является одним возможным из бесчисленного количества других случаев изогнутой конфигурации. Быстрому установлению равновесия препятствует высокая вязкость раствора, в результате чего усадка пленок, полученных нз более вязких растворов, возрастает. [c.44]

Физически этот результат значит, что если массу заставить двигаться точно в состоянии, совместимом с грушевидной фигурой (в окрестности С), то опа будет находится в равновесии, и если опа пе возмуш,ена, то эта форма будет продолжать враш,аться как твердое тело. При этом её угловой момент будет немного меньше, а угловая скорость немного больше, чем у критического эллипсоида Якоби. Однако если придать системе небольшое возмущение, наличие внутренних сил трепия приведёт к возрастанию нескольких амплитуд, и система начнет постепенно отклоняться от грушевидной формы, чтобы в конечном итоге принять ту форму Якоби, которая имеет такой же угловой момент, как и иервопачальпая грушевидная конфигурация ). Поэтому ясно, что ни одип начальный член грушевидного ряда естественным путём появиться пе может. Пока Н иостеиеппо возрастает, масса будет развиваться (эволюционировать, Б. К.) вдоль ряда Якоби до точки С, а затем, нри дальнейшем возрастании момента, едипствеппой доступной для системы формой равновесия будет эллипсоид Якоби, который на данном этапе обладает уже вековой неустойчивостью. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...