Ляпунова теорема о неустойчивости равновесия

Конечно, изложенные соображения нельзя рассматривать как доказательство теорем А. М. Ляпунова и тем более общей теоремы о неустойчивости равновесия. Эта теорема не доказана в общем виде до последнего времени. [c.227]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия 492 [c.568]

С теоремами об устойчивости, полученными методом функций Ляпунова, связаны, как правило, теоремы о неустойчивости, в нетривиальных случаях требующие тонкого анализа необходимых для их справедливости дополнительных условий. Такую теорему о неустойчивости дал и сам Ляпунов. С этим связан также давний вопрос об обраш ении теоремы Лагранжа ( если в положении равновесия силовая функция имеет максимум (изолированный), то равновесие устойчиво ), т. е. вопрос, будет ли положение равновесия неустойчиво, если ему соответствует не максимальное значение силовой функции. Кроме А. М. Ляпунова этим вопросом занимались Ж. Адамар, [c.129]

Ляпунову принадлежит еще одна теорема о неустойчивости положения равновесия. Обобщение этих теорем дал Н. Г. Четаев (эти теоремы, а также доказательство сформулированной теоремы Ляпунова можно найти в курсах по устойчивости движения). [c.460]

Исследования вопроса о случаях неустойчивости равновесия системы принадлежат А. М. Ляпунову. Найденные им теоремы рассмотрены в следующих параграфах. [c.219]

Теоремы А. М. Ляпунова о случаях неустойчивости равновесия формулируются так [c.226]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том, [c.492]

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Положение равновесия рассмотренной в предыдущей теореме системы [c.168]

Первый, после А. М. Ляпунова, существенный вклад в развитие метода функций Ляпунова был сделан Н. Г. Четаевым. Работая над знаменитой проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, Четаев (4930) сначала установил для автономных систем одну теорему о неустойчивости, в которой наряду с первой производной функции V рассматривается также вторая производная У". [c.16]

Так как функция V — знакопеременная, а ее производная (5.12) — определенно-положительная в окрестности начала координат, то, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равновесия неустойчиво. [c.64]

Если с < О, то по теореме Ляпунова, равновесие неустойчиво. [c.455]

Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия = 2 = О оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустойчивым, причем при а < 7з степень неустойчивости четная, а при < а 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что при < а 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову. [c.542]

Теорема (А. Г. Сокольский [180]). Если в нормальной форме (205), (209) Ф(ф)=7 0 при ф S [О, 2я], то положение равновесия х = у — 0 устойчиво по Ляпунову. Если существует таков ф, что Ф(ф ) = 0, Ф (ф )т О, то положение равновесия неустойчиво. Если все корни уравнения Ф(ф) = 0 имеют четную крат- [c.237]

Теорема (А. Г. Сокольский [180, 181]). Если в нормальной форме (210) Л < О, то положение равновесия х у = 0 двумерной гамильтоновой системы неустойчиво. Если у1 > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. В случае Л = О вопрос об устойчивости решается членами более высокого порядка. [c.238]

Так как П/(р=о= Птах, то на основании второй теоремы Ляпунова равновесие маятника при 2са —mgl=0 также неустойчиво. [c.114]

Согласно известной теореме Ляпунова, равновесие полной системы неустойчиво, когда линеаризованная система экспоненциально неустойчива. В работе [3] ставится вопрос о нелинейной устойчивости и, в частности, [c.355]

Теорема. Если в нормальной форме (4.9) О, то положение равновесия qi = Рг = О (i = 1, 2) системы (1.1) формально устойчиво, если же Л < О, пю имеет место неустойчивость по Ляпунову. [c.84]

В теоремах А. М. Ляпунова о неустойчивости равновесия рассмотрены практически важнейшие случаи обращения теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.346]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Ил ус.човий теоремы следует, что а., положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с поло-пштельной вещественной частью (слт. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. 4.3), и того обстоятельства, что свободный член flj,, характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. [c.172]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Кривая Ь на рис. 18.61, соответствующая равновесиям 0<ф< < я, характеризуется условием р/й1ф-< О, так что П < 0. Это значит, что в наклонном равновесии энергия П имеет максимум и по второй теореме Ляпунова это пололтение неустойчиво. [c.397]

А22 О имеем минимум и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво при А22 < О экстре1У1ума нет и по первой теореме Ляпунова равновесие неустойчиво. Мы можем свести результаты в следующую таблицу [c.439]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

В рассматриваемой задаче трансверсальная к семейству равновесий Г компонента системы (2.1) отделяется, оказывается независимой от тангенциальной. В случае п = 4,6,12 все собственные значения матрицы Ап положительны, кроме трехкратного нуля. Поэтому гамильтониан Н(р) достигает трансверсально строгого минимума на компактном семействе равновесий Г , и значит, оно устойчиво. В двух других случаях (п = 8,20) утверждение теоремы 4.1 о неустойчивости семейства Г , и, тем более, отдельных его равновесий, следует из общей теоремы Ляпунова, поскольку линеризованная система экспоненциально неустойчива. [c.363]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

В теореме Лагранжа—Дирихле ничего не говорится о том, что происходит в случае, когда данное условие не выполняется. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное его решение дают Две теоремы А. М. Ляпунова, одну из которых для рассматриваемого нами случая (и только для него ) можно упрощенно сформулировать так положение равновесия системы неустойчиво, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет максимум. [c.310]

Постоянная не имеет существенного значения. Если дз о, равновесие устойчивое (по теореме Лагранжа — Дирихле) если д < 0, равновесие неустойчивое (по теореме Ляпунова) если, наконец, дд = 0, то аналогично рассматривают <24, Вообще, если первый, не равный нулю, коэффициент положителен, равновесие устойчиво, если отрицателен, — неустойчиво. [c.378]

Теорема (А, Г. Сокольский [182]). Если в нормальной форме (214) аом 5 О ы Л/ нечетное или при четном М выполнено баом<0, то положение равновесия х = у = 0 неустойчиво. Если М — четное число и ёаом > О, то имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.238]

Теорема. Если Fg ( ) Ф О при любых значениях ijj, то положение равновесия устойчиво при учете в нормальной форме (4.1) членов до четвертого порядка включительно по p если же существуют значения ijj, при которых Fg (1 5)= О, но при этих значениях dFJd ф О, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. [c.179]

Смотреть страницы где упоминается термин Ляпунова теорема о неустойчивости равновесия : [c.299] [c.587] [c.349] [c.538] [c.85] [c.236] [c.370] [c.371] [c.72] [c.17] [c.44] [c.644]

Лекции по аналитической механике (1966) -- [ c.197 ]

ПОИСК

Ляпунов

Ляпунова теорема о неустойчивости положения равновесия консервативной системы

Неустойчивость

Неустойчивость равновесия

Ра неустойчивое

Равновесие неустойчивое

Теорема Лагран. 226. Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы

Теорема о неустойчивости

Теоремы Ляпунова

Теоремы Ляпунова о неустойчивости

Теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия консервативных систем

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы Малые колебания в окрестности положения равновесия

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...