Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость

Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость. [c.370]

Из этой теоремы следует, что связная ветвь множества состояний равновесия устойчива по отношению к достаточно малым постоянно действующим возмущениям, когда все ее точки асимптотически устойчивы, и неустойчива, если эта связная ветвь содержит неустойчивые точки. [c.275]

Обозначим через и устойчивое и неустойчивое многообразия положения равновесия. Они состоят из траекторий гамильтоновой системы в фазовом пространстве, асимптотических к го при =Ьос соответственно. При некоторых условиях, с помощью вариационных методов, можно доказать существование траекторий, двоякоасимптотических (гомоклинических) к го [1, 2]. Пусть 7 С П — одна из таких траекторий. В случае общего положения, траектория 7 является трансверсальной, т. е. многообразия Ж и пересекаются вдоль 7 под ненулевым углом. [c.150]

Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзя ли так подобрать диссипативные силы, чтобы неустойчивое при наличии одних потенциальных сил положение равновесия стало устойчивым или даже, может быть, асимптотически устойчивым Ответ на этот вопрос отрицательный. [c.537]

Рассмотрим теперь проблему гироскопической устойчивости и выясним, каково влияние диссипации по явным координатам. Если V, как функция от явных координат, имеет в положении равновесия минимум, то диссипация, как и следовало ожидать, повышает устойчивость. В общем случае мы имеем асимптотическую устойчивость по явным координатам. Если же V имеет максимум в положении равновесия, то дело обстоит иначе. Даже тогда, когда при отсутствии диссипации имеет место устойчивость для достаточно больших значений р ( 10.3), введение диссипации вызывает неустойчивость. [c.199]

Связь линейного приближения с общей теорией. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям. [c.382]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Подчеркнем, что уже в линейной системе двух уравнений, положение равновесия которой асимптотически устойчиво по одной, и неустойчиво по другой переменной, при включении или отключении связей возможно изменение на противоположный характера поведения этих переменных асимптотически устойчивая переменная становится неустойчивой и, наоборот, неустойчивая -асимптотически устойчивой. [c.274]

В случае отключения связей (/г12 = Кг = 0) система (1) переходит в систему (2), положение равновесия которой в области О неустойчиво по 71 и асимптотически устойчиво по а [c.275]

Нам остается рассмотреть еще случай отрицательного Действительные значения х имеют тогда противоположные знаки. Систему можно так вывести из смещенного положения, что она будет асимптотически приближаться к состоянию покоя в конфигурации равновесия но если только не удовлетворено специальное соотношение между смещением и скоростью, движение стремится беспредельно возрастать. При этих условиях равновесие должно рассматриваться как неустойчивое. В этом смысле устойчивость требует, чтобы обе величины и х были положительными. [c.95]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Поскольку при у = О положение равновесия Э = О асимптотически устойчиво, то следует ожидать, что эта устойчивость сохранится на всей ветви, заключенной между точками ветвления, что и отмечено значком (+) на рис.27. Все положения равновесия, для которых О, неустойчивы. Это отмечено значком (-) на рис.27. Если вспомнить, что при положение равновесия = О неустойчиво, то надо нанести на схему еще две серии значков (-). [c.35]

Оказывается, что все собственные числа (1.8) по крайней мере двукратны и каждому переходу бифуркационного параметра А, через значение соответствует бифуркация рождения однопараметрического семейства стационарных режимов. В [5] показано, что первое критическое значение А,], всегда двукратно и при А, = Л,ц от состояния покоя ответвляется цикл устойчивых стационарных режимов. В этой же работе с помощью метода Ляпунова - Шмидта дано аналитическое выражение семейства и проведен анализ его устойчивости при малых надкритичностях. Все равновесия семейства нейтрально устойчивы вдоль цикла и асимптотически устойчивы в трансверсальных к нему направлениях и их спектр зависит от координат равновесия. Зависимость собственных значений равновесий вдоль семейства от координат стационаров говорит о том, что это семейство не может быть результатом действия никакой группы симметрий [5]. Каждому переходу Я через последующие критические значения соответствует бифуркация рождения цикла неустойчивых стационаров. [c.55]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

В случае, когда матрица А может быть приведена к диагональному виду, очевидно, что условия устойчивости сохраняют форму, данную в 19.5. Если собственные значения матрицы А имеют вещественные части отрицательные и нулевые, то равновесие устойчиво. Если все вещественные части собственных значений отрицательны, то равновесие устойчиво асимптотически. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то равновесие неустойчиво. [c.420]

Поскольку условия р> О и р< О являются взаимоисключающими, то система (1.1.5) имеет два неустойчивых и одно устойчивое положения равновесия, причем в окрестности устойчивого положения равновесия один из видов вымирает. На основе анализа указанных ЧУ-задач для положений равновесия 2) и 3) и делается вывод о глобальном поведении системы (1.1.5) в окрестности положения 1) положение 1) асимптотически [c.42]

В работах [41-50] содержится детальное исследование связи между нелинейной неустойчивостью устойчивых в линейном приближении периодических движений (в частности, равновесий), сугцествованием асимптотических к ним траекторий, наличием стохастической компоненты движения и ограниченностью траекторий системы в окрестности ее неустойчивого движения. Отправной точкой этого исследования была гипотеза о том, что вышеупомянутые асимптотические траектории в действительности являются гомоклиническими двоякоасимптотическими траекториями, которые разрушаются при наличии возмугцений. Анализ поведения этих двоякоасимптотических траекто- [c.122]

Физически этим сепаратрисам соответствует движение, которое возникает в том случае, когда гравитационный маятник отпускают без начальной скорости из верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Тогда маятнику теоретически потребуется бесконечно большое время для того, чтобы начать двигаться из этого положения равновесия. Наконец он проскочит через нижнее (устойчивое) положение равновесия и будет снова асимптотически приближаться к верхней мертвой точке, подобно тому как было показано выше (фор.мула (1.21)). [c.58]

Будем предполагать, что матрица А д) и силы Q t, q, 4) таковы, что движения системы непрерывны по начальным условиям ( о 9о 9о) Я х Я х Я . При определении условий асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия = q = О с применением теорем из [2, 3, 6] будет предполагаться, что правые части системы (1), разрешенные относительно д, удовлетворяют условию Липшица по q, д) е К, К = д г рг Для любых Р1, Р2 > О, гаранти- [c.87]

Отметим, что устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость в теоремах 1.7-1.10 следует понимать по отногиению к переменным гиг. Очевидно, замечания 1.1-1.6 распространяются и на относительные равновесия. [c.68]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

В заключение остановимся еще на вопросе о практической устойчивости. Для применения теории установление того факта, что теоретически изучаемая система устойчива или даже асимптотически устойчива, не исчерпывает вопроса для обоснования этого положения достаточно указать, что необходимо, например, знать величину области асимптотической устойчивости. Но дело не только в этом. Как справедливо указывают Ж. Ла-Салль и С. Леф-шец Положение равновесия системы может быть математически неустойчиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от этого положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и ракетные устройства ведут себя именно таким образом Следовательно, имеется одределенный разрыв между различными точными теоретическими определениями устойчивости и несколько расплывчатым представлением о практической устойчивости. В-только что упомянутой книге авторы делают попытку строго и подходящим образом определить практическую устойчивость и показывают, как использовать ранее известные результаты для исследования той или иной системы на практическую устойчивость. [c.137]

Рассмотрим первый класс BI, когда предельных циклов нет, а в границу входит седло. Как известно, седло имеет четыре уса два устойчивых и два неустойчивых. Предположим сначала (случай Bla), что в границу входят два уса одинаковой устойчивости, например два неустойчивых. Так как каждый из этих усов принадлежит границе области и не может (в силу грубости) идти в седло, то его асимптотическое поведение такое же, как у других траекторий, т. е. оба неустойчивых уса седла стргмятся к устойчивому элементу, т. е. в нашем случае к устойчивому узлу (или фокусу). Мы получаем таким образом замкнутую кривую С, состоящую из седла, двух неустойчивых усов и устоь4лаого фокуса (или узла). Рассматриваемая нами ячейка должна лежать или вся вне этой замкнутой кривой, или вся внутри нее. Пусть она лежит вся внутри. Посмотрим, что еще тогда может входить в границу. Очевидно, тот устойчивый ус седла, который лежит внутри кривой С, также входит в границу. Он идет от неустойчивого элемента — неустойчивого узла (или фокуса), который, как и следовало ожидать, непременно лежит внутри кривой С. Таким образом, в границу рассматриваемой ячейки непременно входят соответственно расположенные три уса седла и три состояния равновесия. Может ли быть еще что-либо, входящее в границу Так как мы предположили, что предельный цикл не входит в границу, поскольку граница может содержать лишь один источник и один сток, то в границу могут входить лишь седла с усами. Докажем, что этого не может быть, что граница рассматриваемой связной ячейки исчерпывается перечисленными шестью особыми элементами. Будем доказывать от противного. Предположим, что где-то внутри кривой С у нас. имеется седло, входящее в границу, Но раз седло входит в границу, то есть и усы, входящие в границу. [c.459]

Каждому значению С соответствует своя и тегральная кривая. Ось ординат и ось абсцисс тоже интегральные кривые, отвечаюцще зна ниям С=сю и С=0 соответственно. Начало к ординат - особая точка, в которой все интегр ные кривые касаются оси абсцисс. Особая то представленная на рис. 2.1, называется узло Нетрудно определить направление движен изображающей точки по интегральной крив При < О, < О изображающая точка с чением времени приближается к началу координат, что видно из (2. В этом случае имеем устойчивый узел, а состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если же А,, > О, А,, > О, то изображающ точка по соответствующей параболе удаляется (с ростом /) от начала ординат в этом случае особую точку ( =Т1 =0), являющуюся неустойч вым положением равновесия, называют неустойчивым узлом. [c.52]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

Тем самым полностью описано поведение фазовых траекторий на многообразиях 5 и /. Вне этих многообразий фазовые точки приближаются к / вдоль 5+ и затем удаляются от / вдоль >5". Это в случае, когда рФО и дФО. В случае р = 0 или д = О все фазовые траектории уходят от многообразия / либо, напротив, к нему приближаются. Особый интерес представляет случай д = О, когда многообразие 8 отсутствует, а многообразие совпадает со всем фазовым пространством (некоторой окрестностью точки равновесия О °) и фазовые траектории экспоненциально приближаются к интегральному многообразию /. Если из этой малой окрестности при возрастании времени фазовые траектории не выходят, то каждая из них экспоненциально приближается к некоторой фазовой траектории на интегральном многообразии /. Следовательно, асимптотическое поведение фазовых траекторий вблизи равновесия 0 определяется асимптотическим поведением фазовых траекторий только многообразия и в этом смысле фазовый портрет окрестности равновесия О определяется фазовым портретом окрестности 0 на многообразии /. При р + д = пт1р =6т1дФ0 состояние равновесия седлового типа. При д = 0 оно устойчивое, а при р = 0 неустойчивое. Поведение фазовых траекторий во всех этих случаях было описано выше, соответствующие фазовые портреты при одинаковых р ш д будем считать одинаковыми. Установлено, что такие фазовые портреты топологически изоморфны, т. е. могут быть преобразованы друг в друга с помощью взаимно однозначного и взаимно непрерывного преобразования. [c.98]

Таким образом, в области х,о > О, / = 1,3 положение равновесия системы (1.1.5) асимптотически устойчиво в целом по одной из переменных для любых параметров системы (кроме исключительного случая р = 0), хотя это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. Другими словами, если решения системы исходят из любой точки множества х,о > О, / = 1,3, то один из видов вымирает асимптотически. Это [Rou he и др., 1977] строгая формулировка утверждения, известного как экологический принцип вымирания Лотки-Вольтерры [Lotka, 1920 Volterra, 1931]. (К рассмотренному примеру с несколько иной точки зрения вернемся в разделе 1.1.7.) [c.28]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Хг (х1,. . ., Хт) представляют решение уравнений дХЛдхг = О, то положение равновесия = О устойчиво, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия Хд = 8, Хг = Хг ( 1,. . 1т) Матросов показал также, что если силовая функция и может принимать положительные значения при сколь угодно малых I 5 г I, то положение равновесия гироскопической системы с дис--сипацией неустойчиво. Аналогичный результат был получен также [c.39]

Вид фазовой плоскости для О < а < aJ показан на рис. 8.13. Зд имеется асимптотически устойчивое положение равновесия у]/ = ф = неустойчивый предельный цикл и устойчивый предельный цикл больш радиуса. Для всех начальных условий, отображаемых точками внутри не тойчивого предельного цикла, колебания маятника затухающие. При чальных условиях, соответствующих любым точкам вне этого цикла. [c.190]

Утверждение 11.2. Пусть при ot = состояние равновесия не устойчиво. Тогда при переходе точки а из области устойчивости в облает неустойчивости состояние равновесия из асимптотически устойчивог становится неустойчивым. При этом изображающая точка отбрасывает от состояния равновесия на достаточно далекое расстояние, сколь бы н были близки точки а и а . При обратном изменении параметров изо бражающая точка не возвращается в состояние равновесия, когда оно опят становится устойчивым. Система ведет себя необратимо. [c.221]

Ее пересечения о окружностью р = р определяют другие, неустойчивые, положения равновесия укороченной системы (17.54). При -1/2 < г < система (17.54) имеет только одно положение равновесия в начале координат (см. рис. 17.11,а). Оно асимптотически устойчиво в целом, и в этом случае периодические колебания в системе (17.51) отсутствуют. Тот же вывод получается при любом значении параметра г, если только трение достаточно велико к> 1 1. [В этом случае прямые (17.58), (17.59) на плоскости /, р существуют все точки оси асбцисс для ге (-1/2, 1/2) соответствуют устойчивым нулевым положениям]. [c.321]

Если критическая точка есть минимум, то про соответствующее относительное равновесие говорят, что оно орбитально устойчиво (так как близкие движения лежат в узком кольце), в противном случае — неустойчиво (вспомним асимптотические движения в одномерных системах, аналог которых имеется и здесь). Если h не намного отличается от минимального значения /i,, то по формуле Линдштедта (тема 6) [c.79]

В статьях [35-40] исследована задача о сугцествовании движений, асимптотических к неустойчивому равновесию или периодическому движению гамильтоновой системы в случае резонанса. Показано, что неустойчивость нри резонансе тесно связана с сугцествоаанием траекторий, асимптотических к траектории невозмугценного движения. В частности, условия устойчивости гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы эквивалентны условиям отсутствия асим-тотических траекторий. [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...