Устойчивое и неустойчивое равновесия. Критерий устойчивости

Критерии, получающиеся из первого условия, можно назвать критериями равновесия, а из второго — критериями устойчивости. Такая терминология основана на представлении о существовании устойчивых и неустойчивых равновесий. На самом деле, неустойчивые равновесия просто не могут существовать, так что оба условия, (21.9) и (21.10), являются в равной мере условиями равновесия. Несмотря на это, удобно различать критерии первого и второго рода, так что мы будем пользоваться этой, хотя и не совсем правильной, но общепринятой терминологией. [c.110]

На лекциях с помощью прибора можно демонстрировать состояние устойчивого и неустойчивого равновесия при введении математического определения устойчивости статического равновесия и критериев определения устойчивости. [c.113]

Ранее отмечалось, что термодинамические системы не могут находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Но очень часто между устойчивыми и неустойчивыми состояниями существует значительная область значений термодинамических переменных, в которой критерии устойчивого равновесия не выполняются, но система тем не менее может существовать длительное время, причем ее состояние зависит от бесконечно малых изменений внешних переменных. Это состояние нейтрального (безразличного) равновесия. Любые гетерогенные системы, в которых происходят процессы, не влияющие на состояние ее-щества в гомогенных частях системы, т. е. не изменяющие интенсивных термодинамических характеристик фаз, находятся. по отношению к таким процессам в нейтральном равновесии. Чтобы пояснить особенности этого состояния, рассмотрим устойчивость равновесия гетерогенной системы, состоящей из двух открытых фаз, а и р, с одинаковым химическим составом и плоской межфазной границей. Можно воспользоваться уже выведенными формулами (12.15) — (12.17) или (12.19), если положить в них а = 0 или г = оо. Нетрудно видеть, что в этом случае при постоянных Т, V [c.119]

Возвращаясь к условию (2.2), с завидной легкостью предсказавшему границу устойчивых и неустойчивых состояний модели, мы должны теперь заметить, что оно по существу определяет уровень внешнего нагружения, при котором нарушаются условия единственности решения задачи о равновесном состоянии модели наряду с прямолинейной возможна искривленная форма равновесия, что представляет собой исходную трактовку критерия Эйлера. Таким образом, уровень нагружения, отвечающий неединственности решения, одновременно оказался границей устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. [c.10]

Устойчивые и неустойчивые состояния тела с трепанной. Тело с трещиной находится в состоянии механического равновесия, когда в любом элементе объема тела (как и для всего тела в целом) соблюдаются условия равновесия. Это означает, что нагрузка постоянна, нет движения элементов объема, следовательно нет распространения трещины (трещина неподвижна). Для того чтобы трещина стала распространяться, необходимо либо увеличить внешнюю нагрузку, либо (при постоянной нагрузке) снизить работу разрушения материала. С медленным ростом нагрузки трещина медленно растет. Малому приращению нагрузки соответствует малое приращение длины трещины, и, следовательно, рост нагрузки сопровождается соответствующим ростом длины трещины. Такое состояние тела с трещиной называется устойчивым (иногда квазистатическим или до-критическим) ростом трещины (или трещину называют устойчивой). Для устойчивости трещины соблюдается условие dP/dl > О, т. е. в предельном состоянии равновесия (нри соблюдении критериев разрушения) нагрузка является возрастающей функцией длины трещины. [c.112]

Конечно, вопрос об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия можно решить и не пользуясь указанным критерием, а определяя направление силы, возникающей при смещении тела из положения равновесия. Но даже в рассмотренных простейших примерах систем с одной степенью свободы часто оказывается проще определить, имеет ли потенциальная энергия минимум или максимум, чем найти направление результирующей силы, возникающей при отклонении тела от положения равновесия. Но особенно существенно упрощает решение вопроса об устойчивости состояния равновесия применение указанного критерия в тех случаях, когда система обладает больше чем одной степенью свободы. По-прежнему состояние равновесия устойчиво, если потенциальная энергия U в этом состоя- [c.136]

И если продолжать разговор о трубе, то хочется обратить внимание на пример, когда труба находится под действием протекающего внутри потока жидкости (рис. 96, а). При определенной скорости течения прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Критерием устойчивости в этом случае является секундный расход массы, т. е. массы, проходящей через сечение трубы в единицу времени. [c.139]

Если же в стержне возникают пластические деформации, он в исходное состояние равновесия самостоятельно возвратиться заведомо не может. Выходит, что уже по самому определению система неустойчива, коль скоро в ней возникли пластические деформации. Если говорить формально,—то так А по существу—не так Виноват принятый критерий устойчивости. Это противоречие возникло просто потому, что рассматриваемая задача полностью не вписывается в принятый критерий. Устойчивость как раздел механики тем и интересна, что в ней часто встречаются различного рода тонкие невязки, разрешение которых дает неисчерпаемый запас пищи для творческого поиска истины. [c.157]

Колебания около положения равновесия возникают в случае устойчивого равновесия. В случае неустойчивого равновесия система при малейшем отклонении удаляется от положения равновесия и колебания около этого положения не возникают. Поэтому при изучении малых колебаний механических систем важно знать критерий устойчивости равновесия этих систем. [c.5]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Этот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. [c.419]

В соответствии с динамическим критерием невозмущенное равновесие линейной консервативной системы устойчиво при р < Р и неустойчиво при р > Р(, так что значением Р дается критическая нагрузка р = р[. Критическому состоянию отвечает кратный нулевой корень, и, значит, равновесие является неустойчивым. Произвольное возмущение равновесия при р р вызывает [c.434]

Исследование устойчивости найденных периодических решений по критерию (3.52) показывает, что он не выполняется при обоих возможных значениях амплитуд колебаний привода согласно выражению (3.160). Таким образом, на плоскости А — Рп кривая / (рис. 3.46) амплитуды периодических перемещений привода, вычисляемой по формуле (3.158), выделяет те же три области возможного динамического состояния привода, которые были выявлены ранее для случая воздействия в виде единичного импульса (см. рис. 3.27) область / устойчивости равновесия, область // устойчивости в малом и область 111 неустойчивости в большом . [c.197]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

При выполнении условия (3.4) со знаком равенства нагрузка Р достигает максимального значения и происходит спонтанное удлинение стержня. В этом смысле его равновесие неустойчиво, и если речь идет о некотором элементе конструкции, то его несущая способность исчерпана. Но для технологических процессов характерно, что обычно заданы не нагрузки на заготовку, а кинематика пластического деформирования. Технологические машины за редким исключением способны работать как при возрастающей, так и при понижающейся нагрузке. В связи с этим при исследовании технологических процессов интересуются не пластической неустойчивостью, выражающейся в том, что малое изменение нагрузки вызывает большое изменение деформации, а неустойчивостью, приводящей к недопустимому изменению геометрической формы заготовки (например, если прямой при устойчивом деформировании стержень после потери устойчивости становится кривым если у растягиваемого листа появляется локальное утонение и т. д.). В дальнейшем рассматривается локализация пластической деформации. В связи с этим важно выяснить, насколько надежно предсказывает рассматриваемые критерии неустойчивость именно этого типа. Проведенный анализ растяжения стержня имеет для нас смысл, лишь поскольку согласно наблюдениям в этом случае оба типа неустойчивости оказываются совмещенными. Объясняется это следующим. [c.106]

Статический критерий устойчивости состоит в следующем. Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исходному (основному, тривиальному ) состоянию равновесия. При некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой равновесия другая форма. Иными словами, при одной и той же нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние и может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия к неустойчивому. Наименьшая нагрузка, при которой возможны различные формы равновесия, называется критической. [c.266]

Вопрос об устойчивости равновесия атмосферы в вертикальном направлении находится в тесной связи с величиной и знаком так называемого вертикального температурного градиента, т. е. частной производной температуры по высоте, взятой со знаком минус. При этом обычно рассматривают случай адиабатических движений в атмосфере, т. е. случай отсутствия притока энергии, и изучают, что произойдет с частицей воздуха, получившей известный начальный импульс. Для упрощения дела эту частицу рассматривают как тело, плавающее в окружающей массе воздуха. Подобное схематическое представление атмосферных вертикальных течений приводит к установлению известного критерия (являющегося не вполне правильным), дающего возможность судить, когда атмосфера находится в устойчивом равновесии по вертикальному направлению, когда равновесие это неустойчиво и когда равновесия вовсе не существует. [c.104]

Из вышеизложенных рассуждений следует, что равновесие упругого тела устойчиво лишь в том случае, если полная энергия деформации минимальна, и неустойчиво — во всех прочих случаях. Таким образом, критерием устойчивости равновесия упругого тела является неравенство [c.133]

Тогда состояние равновесия, с точки зрения наших обычных критериев устойчивое при 1 = 0, сразу теряет свою устойчивость при каком угодно малом и превращается в седло. И при каких угодно малых отклонениях от устойчивого уса седла (а такие малые отклонения в реальной системе всегда неизбежны) представляющая точка в конце концов уйдет как угодно далеко от этого состояния равновесия. Поэтому в реальной системе такое состояние равновесия неустойчиво. [c.744]

Критерием устойчивости является положительность величины этой второй вариации, и, наоборот, ее отрицательность является критерием неустойчивости (поскольку в первом случае конструкции должна быть сообщена энергия, а во втором — у конструкции избыток энергии). Другими словами, если матрица [/Сг] положительно определенная, то состояние равновесия устойчиво. Это Р критерий хорошо известен и широко используется при исследовании устойчивости в случае больших деформаций ) [7—9]. [c.443]

Расчет устойчивости скальных массивов при намеченной потенциальной поверхности смещения осуществляется с помощью методов теории предельного равновесия с учетом приведенных ниже положений. Смещающиеся скальные массивы не являются абсолютно жесткими телами, а состоят из скальных блоков или отсеков, взаимодействующих в процессе смещения. Достижение предельного равновесия на какой-либо части потенциальной поверхности смещения еще не означает нарушения устойчивости массива, которая зависит от взаимодействия неустойчивых блоков с расположенными ниже устойчивыми частями массива. Расчет устойчивости] скальных откосов состоит в определении дефицита устойчивости как отдельных отсеков, так и всего скального откоса в целом. Диаграмма прочности на сдвиг по скальной трещине или ослабленной зоне представляет собой криволинейную зависимость, которая для упрощения математических расчетов аппроксимируется на выбранном интервале нормальных напряжений линейной (кулоновской) зависимостью. Прочность скальных массивов на отрыв по трещинам предполагается, как правило, равной нулю. Расчет абсолютного критерия устойчивости практически невозможен, поскольку природа всегда сложнее и многообразнее тех неизбежно упрощенных схем, которые могут быть рассмотрены в аналитических расчетах. Только вероятностный метод расчета устойчивости позволяет оценить надежность получаемого решения с учетом уровня достоверности вводимой в расчет исходной информации. [c.167]

Устойчивость есть свойство процессов движения и равновесия систем, в том числе медленных процессов типа ползучести. Под устойчивостью понимают их способность сохранять состояние равновесия или процесса движения во времени t под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения. Понятие устойчивости, его определение и критерий должны быть неотделимы от практического представления о потере устойчивости конструкций и их элементов как о катастрофическом развитии их деформаций и перемещений. [c.318]

Как и в случае точки, мы не всегда в состоянии количественно оценить устойчивость равновесия твердого тела, но в каждом данном случае можно придти к качественной оценке, определяя на основании критерия, указанного в п. 18 гл. IX, какое равновесие имеет место в этом случае устойчивое, неустойчивое или безразличное. Применим этот критерий к двум особенно простым случаям. [c.129]

Линейное описание. Граница устойчивости первоначального равновесия, как и в случае неустойчивости классического типа, может быть установлена на основе статического критерия (см. 18.2, раздел 3). Полагая наклон стержня малым, т. е. Ф <С 1 (см. рис. 18.60,6), и учитывая, что при этом условии sin ф ф и os ф 1, составим уравнение равновесия системы с наклонным положением стержня [c.399]

Совершенно очевидно, что ввиду указанной неустойчивости дугового цикла возможны лишь два следующих исхода при любых мыслимых условиях опыта либо должна в какой-то момент времени нарушиться замкнутость данного цикла, с чем мы и сталкиваемся на примере самопроизвольных погасаний, либо, при более благоприятных условиях координации отдельных процессов цикла, последний будет поддерживаться в замкнутом состоянии неопределенно долгое время посредством колебаний и попеременного форсирования процессов. В последнем случае неустойчивость дуги будет проявляться лишь в непрерывных колебаниях напряжения, к разряду которых и относятся исследованные нами колебания. Из этого должно быть ясно, что само по себе отсутствие погасаний дуги при достаточно большом токе не может служить критерием приобретения этой формой разряда при таких условиях абсолютной устойчивости. Как это следует из всех приведенных материалов, увеличение продолжительности существования дуги с ростом тока является результатом повышения вероятности ее восстановления из критических состояний, соответствующих резким нарушениям равновесия между отдельными процессами дугового 154 [c.154]

Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если система, при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее—положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённым условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Лежен-Дирихле (Lejeune-Diri hlet) дал следующее достаточное условие устойчивости если силовая [c.389]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, наз. гетероклиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от L), наз. гомоклинической. Как правило, в её окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к рых содержится счётное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв- [c.627]

Как уже упоминалось выще, оценку качества равновесия удобно получать на основании качественных критериев, хорошо разработанных в трудах Р. Р. Матево-сяна [39], Я. Л. Нудельмана [46], А. Ф. Смирнова [72] и других исследователей. В настоящей работе будем основываться на понятиях о степени устойчивости и неустойчивости, причем совокупность последовательных коэффициентов устойчивости по предложению Р. Р. Мате-восяна будем называть рядом устойчивости [39]. Следуя [39], ряд устойчивости используется в неортогональной форме, т. е. для определения степени устойчивости и неустойчивости системы не будем решать характеристическое уравнение и вычислять собственные значения матриц, хотя для некоторых рассуждений будут использованы известные свойства собственных чисел. Мы будем рассматривать качественный анализ систем, описываемых уравнениями смешанного метода. При этом будем предполагать, что система уравнений смешанного метода записана таким образом, что сперва расположены все условия совместности деформаций, а затем все условия равновесия (см. рис. 54). [c.148]

Поэтому, если допустить, что смещение равновесия является достаточно малым (и, следовательно, такой же будет абсцисса л нового положения равновесия), то критерий для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости будет даваться знаком трехчлена - ас. Для линейной связи с равно Нулю, и, следовательно, мы будем иметь устойчивость, каково бы ни было значение а (а не только значение Ь) тогда как, наоборот, в общем случае, как бы ни было мало а, т. е. как бы близко от начала ни проходила кривгя L, всегда можно приписать коэффициенту с такие значения, что трехчлен будет отрицательным и, следовательно, смещенное положение равновесия 63 дет неустойчивым. [c.367]

Формальное применение статического критерия приводит к заключению, что критической является сила, при которой напряжения в опорных стержнях достигают предела текучести, т. е. Рт. = 2сТт . в самом деле, если при нагрузке Р > Рт система получает какое-либо боковое возмущение (например, подвергается действию кратковременной поперечной силы), то в одном из стержней возникает дополнительная остаточная деформация и стойка приобретает наклонное положение. В данном случае, однако, сама по себе возможность этого положения еще не означает неустойчивости первоначального равновесия. Дело в том, что, как будет показано ниже, дальнейшее увеличение нагрузки может приводить не к нарастанию наклона стойки, а к его ликвидации. Поэтому, следуя обычной процедуре, сначала найдем все равновесные траектории деформирования идеальной стойки и затем проанализируем их устойчивость. [c.422]

Шарик веса Q и радиуса г занимает низшую точку шаровой впадины радиуса К. На шарик передается давление Р при помош и штифта, перемещаюш егося в особых направляюш,их по вертикальному радиусу шаровой впадины. Нужно исследовать вопрос об устойчивости этой формы равновесия шарика, если все поверхности идеально гладкие. Отклоняя шарик от среднего положения на весьма малый угол ф (рис. 36, б), мы видим, что центр тяжести шарика поднимается на высоту а груз Р опускается вниз на величину тп. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что форма равновесия устойчива, если Qpq > Ртп, и неустойчива, когда Орд Ртп. [c.260]

При определении критического значения груза Р применяем тот же прием, что и в разобранном выше примере. Дадим нагру>кенному стержню весьма малое отклонение от прямой формы. При этом потенциальная энергия деформации стержня несколько возрастет, к энергии сжатия присоединится энергия изгиба. Пусть OF представляет собой приращение энергии деформации. Указанное искривление стержня будет сопровождаться опус- канием груза Р, а следовательно, и некоторым умень- птением энергии системы. Пусть ЬТ будет это уменьшение, равное работе опускающегося груза. Применяя основной критерий устойчивости, заключаем, что прямая форма равновесия сжатого стержня будет устойчива, если 07 > бГ, и неустойчива при бУ < бГ. [c.261]

Таким образом, полученный результат, записаный в форме (1-33), носит общий характер и справедлив для любой равновесной системы независимо от того, находится ли система в устойчивом, неустойчивом или мета-стабильном состоянии. Следовательно, кроме условия (1-33) должны существовать дополнительные критерии, отличающие устойчивое равновесие от неустойчивого. 18 [c.18]

Критерий Шильникова сформулируем лишь для систем с трёхмерным фазовым пространством. Пусть система xi = Xi x , х , Жд), i —1, 2, 3, имеет состояние равновесия О ж = а , характеристич. ур-ние для к-рого имеет положит, корень Яз>0 и два ко.мплекс-но сопряжённых — Re i,2=a<0 и 7,з+а>0. Пусть также одна из траекторий одномерной неустойчивой сепаратрисы точки О лежит на двумерной устойчивой, образуя петлю сепаратрисы Г. При этом как для данной системы, так и для всех близких к ней в окрестности Г существует сложная структура траек- [c.627]

Строго придерживаясь наличных текстов и не прибегая к интерполяциям и экстраполяциям, приходится ограничиться следующим. В Механических проблемах псевдо-Аристотеля впервые встречается постановка вопроса об устойчивости равновесия — равновесия (коромысла) рычажных весов. При этом в неявной форме проводится разграничение положений безразличного и устойчивого равновесия (соответствующая терминология отсутствует). Архимед, пользуясь точным определением понятия центра тяжести, делает значительный шаг вперед. Он описывает состояние тела, подвешенного в центре тяжести, как состояние безразличного равновесия в трактате О дла- 117 ваюшрх телах он систематически исследует на устойчивость определяемые там положения равновесия, используя три центра тяжестей всего тела, погруженной и непогруженной его частей. Специальной терминологии для анализа устойчивости нет и у Архимеда, положения равновесия он определяет лишь устойчивые. Существенно то, что Архимед рассматривает только отклонения от положения равновесия без сообщения скорости и исследует как подходящие (т. е. устойчивые) те положения, к которым плавающее тело стремится вернуться после отклонения. В теории плавания дальше Архимеда пошли лишь в XVI в. С. Стевин сформулировал не только необходимое условие равновесия, которым фактически пользуется Архимед но и критерий неустойчивости и устойчивости, подойдя, как отмечает Н. Д. Моисеев, вплотную к понятию меры устойчивости . А именно, С. Стевин указывает, во-первых, что плавающее тело опрокидывается, если его центр тяжести выше центра тяжести вытесненного объема воды, а вершина тела нагружена во-вторых, что помещение груза ниже горизонтальной плоскости, проходящей через центр тяжести соответствующего объема воды, придает судну большую устойчивость, а помещение груза выше той же плоскости, нагружая вершину судна, делает его менее устойчивым . [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...