Неустойчивость положения равновесия

Ответ При ф = 0 — неустойчивое положение равновесия. [c.409]

Отбросив корень уравнения а = 0, соответствующий неустойчивому положению равновесия системы, получим зависимость между угловой скоростью ш вращения регулятора вокруг вертикальной оси и углом отклонения а стержней ОМ и ON от вертикали [c.448]

Положение равновесия стержня при ф = 180° может служить примером неустойчивого положения равновесия (рис. 274, б). Силы, действующие на стержень, в этом случае стремятся отклонить [c.385]

В общем случае, кроме начального отклонения, стержню следует сообщить также еще и некоторую достаточно малую начальную угловую скорость. Естественно, что тогда случай безразличного положения равновесия стержня следует отнести к неустойчивому положению равновесия, так как получив любую малую начальную угловую скорость, стержень дальше будет удаляться с этой угловой скоростью по инерции от своего первоначального положения равновесия. [c.385]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории и наоборот. Вид фазовых траекторий характеризует устойчивость или неустойчивость положения равновесия, достаточную малость колебаний и т. д. [c.398]

Положение равновесия стержня при ф = 180 может служить примером неустойчивого положения равновесия (рис. 107, б). Силы, действующие на стержень, в это.м случае стремятся отклонить его еще дальше от положения равновесия при любом как угодно малом начальном его отклонении от положения равновесия. [c.408]

При неустойчивом положении равновесия случайные возмущения приводят к тому, что система при дальнейшем движении все дальше и дальше удаляется от положения равновесия. Таким образом, прежде всего необходимо установить характер положения равновесия системы. Для этого требуется ввести точное понятие устойчивости положения равновесия системы. [c.408]

Приближенная теория гироскопических явлений позволяет дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа (волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп пе вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия. Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости. В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма малого промежутка времени силу F. Следствием этого, если оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некоторый угол в направлении момента силы F относительно неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой линией). [c.371]

Четвертая теорема Томсона - Тета — Четаева. Если в окрестности изолированного неустойчивого положения равновесия консервативной системы потенциальная анергия может, принимать отрицательные значения, то при (добавлении сил сопротивления с полной диссипацией и произвольных гироскопических сил равновесие останется неустойчивым. [c.174]

Ответ При ф = О — неустойчивое положение равновесия. Устойчивые положения равнове ия будут при ф = сро > Oi Ф = [c.409]

Таким образом, особая точка на фазовой плоскости, соответствующая максимуму потенциальной функции, представляет собой такую особую точку, через которую проходят только две фазовые траектории п в ее окрестности все остальные фазовые траектории имеют вид гипербол. Подобные точки соответствуют неустойчивому положению равновесия, так как любое сколь угодно малое отклонение системы от положения равновесия приводит к дальнейшему росту вариаций координат системы, т. е. к дальнейшему удалению от точки равновесия. На фазовой плоскости это соответствует выходу описывающей точки из особой точки и ее дальнейшему движению по одной из уходящих фазовых траекторий. [c.21]

Если изобразить графически функцию V (х) и построить фазовые траектории на основании уравнения + Е (зг)---/г или его решения г/ = г ]/2 [/г — У (л )], то, задаваясь различными значениями Н, мы получим два характерных случая (рис. 1.3, точки А и В). Значение X = Ха соответствует минимуму потенциальной функции V (дг), и точка А (ха, 0) является особой точкой типа центр. Точка В (х , 0), соответствующая максимуму функции V (а ), представляет собой особую точку типа седло и отвечает па фазовой плоскости неустойчивому положению равновесия. [c.21]

При р = О гироскоп с верхним маятником находится в неустойчивом положении равновесия и при малейшем отклонении оси г ротора гироскопа от этого направления (Р = 0) возрастает отклонение а оси г ротора гироскопа вокруг оси г/1 наружной рамки карданова подвеса. При этом максимальное отклонение оси не превышает значения [c.206]

Теперь обратимся к вопросу, какие точки на построечных кривых отражают устойчивые и какие - неустойчивые положения равновесия. [c.510]

Легко установить, что на участке от -тг до 4-тг это условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положения равновесия, и по достижении силой критического значения происходит переход из неустойчивого вертикального положения к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали осью. Другие ветви, показанные на рис. 13.6, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия. [c.512]

Следовательно, расстояние 00 будет максимумом или минимумом одновременно с АР- - Вр, а последняя сумма будет, очевидно, минимумом, когда прямая АВ проходит через фокус Р. Таким образом, если прямая может проходить через фокус, то каждое ее положение является положением равновесия. В случае, показанном на фигуре, когда прямая проходит через Р, она будет находиться в неустойчивом положении равновесия, так как в этом положении ее центр тяжести будет выше, чем в соседних положениях. Она [c.231]

Признаки неустойчивости положения равновесия. [c.6]

Примеры. 1. Тяжелый шарик может двигаться по ободу, имеющему форму окружности и расположенному в вертикальной плоскости. Имеются два положения равновесия наинизшая и наивысшая точки окружности. Из них первая представляет собой устойчивое, а вторая—неустойчивое положение равновесия. [c.190]

Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева [c.197]

Еще в 1892 г. А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации Общая задача об устойчивости движения поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия. [c.197]

Теорема Ляпунова 1. Если потенциальная энергия П консервативной системы при д =. .. = = 0 имеет строгий максимум и это обстоятельство может быть определено, исходя из членов наинизшей степени ( i,. .., qn) (т 2) в разложении (1) ), то положение q =. .. =9 = 0 является неустойчивым положением равновесия системы. [c.199]

Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкам соответствуют устойчивые, а точкам — неустойчивые положения равновесия. [c.200]

П = Л(71. .. Из теоремы Четаева следует, что положение =. .. = = 0 является неустойчивым положением равновесия. [c.200]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том, [c.492]

Применительно к деформируемым системам можно привести такой очевидный пример устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Если подвергать осевому сжатию тонкую [c.277]

Рис. 18.12 Участки графика р — ф, соответствующие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия системы жирные линии—участки устойчивой формы равновесия линия с крестиками — участок неустойчивости формы равновесия 1 — линия первоначальной формы равновесия 2 —линия отклоненной от первоначальной формы равновесия.

Осталось еще не выясненным, устойчиво или неустойчиво положение равновесия, соответствующее точке пересечения двух [c.13]

Вообще говоря, могут быть точки бифуркации других типов, например, точки, в которых пресекаются два решения, соответствующие неустойчивым положениям равновесия (согласно приведенному выше определению они не являются критическими). [c.17]

В рассмотренных выше простейших примерах легко составить и точно решить полные нелинейные уравнения при произвольных значениях перемещений системы. Проведенный анализ дает исчерпывающую информацию о всех возможных устойчивых и неустойчивых положениях равновесия. Но подавляющее большинство практически важных задач значительно сложнее приведенных и получение таких полных точных решений для них не представляется возможным. Это заставляет искать приближенные, упрощенные пути исследования поведения сложных упругих систем под действием приложенных к ним нагрузок. [c.21]

Напряжение подается на вход ждущего мультивибратора, собранного на двойном триоде. Ждущий мультивибратор имеет одно устойчивое и одно неустойчивое положение равновесия. При отсутствии сигнала на входе или в случае, если входное напряжение не достигло еще заданной величины, правый триод лампы заперт и по обмотке включенного в его анодную цепь высокочастотного реле не протекает ток. При достижении условия Х1 =Х1 + -Ь VI = Ха, где Хо — напряжение, соответствующее шагу скола т, мультивибратор резко переходит в неустойчивое состояние равновесия и остается в нем некоторое время определяемое параметрами его схемы. В течение этого времени по обмотке реле течет ток, что вызывает замыкание контактов Рд—1 (конденсатор С при этом разряжается) и одновременное отключение контакта Рд—2, что разрывает в схеме моделирования цепь, определяющую приращение усилий на струге. [c.308]

При неустойчивом положении равновесия случайные возму-н1ения приводят к тому, что система при дальнейшем движении [c.420]

Широко известна иллюстрация устойчивого и неустойчивого положений равновесия на примере шарика, лежащего на вогнутости и выпуклости (рис. 518). Эта схема может быть допол1гена третьим рисунком. Если шарик находится на дне малой лунки, его положение будет устойчиво в малом, но неустойчиво в большом. [c.451]

В житейском смысле слова мы говорим, что стоящий на незаточенном конце карандаш находится в неустойчивом положении равновесия. Эта неустойчивость есть неустойчивость в большом. Для того чтобы карандаш перешел в новое положение равновесия, его необходимо отклонить от вертикали так, чтобы центр тяжести вышел за пределы площади опоры, т. е. необходимо дать малое, но конечное отклонение. Положение карандаша, стоящего на незаточенном конце, с позиций устойчивости в малом всегда устойчиво, даже при малой опорной площадке. [c.451]

Отсюда по теореме 2.9 агедует неустойчивость положения равновесия. [c.116]

Параметрический резоиаыс — это возрастающие колебания около неустойчивого положения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном мно кестве значений частоты возбун дения в результате появления неизбежных начальных возмущений (при нулевых пачаль- [c.251]

Рис. 42. Области возможности движения натуральной системы с одной степенью свободы распадаются на несколько связных частей типа отрезка или полупрямой отрезку отвечают колебательные (см. рис. 41) и иногда асимптотические движения к неустойчивым положениям равновесия. Иногда происходят перестройки о. в. д. (с ростом h связные части могут сливаться либо рождаться на пустом месте ), когда h пересекает критическое значение потенциальной энергии. Если соответствующая критическая точка (положение равновесия) невырождена, то перестройка обязательна

Вторая система качественно иначе ведет себя под нагрузкой. Исходное вертикальное положение стержня остается устойчивым до тех пор, пока Р < 1. В точке бифуркации ось ординат, соответствующая на рис. 1.10, б исходному положению равновесия, пересекается с кривой Р = os ф, которая описывает новое неустойчивое положение равновесия. Точка критическая, поскольку при переходе через нее устойчивое исходное положение равновесия становится неустойчивым. Для второй системы критическая нагрузка == < 1- При достижении критической нагрузки рассматриваемая система не сможет оставаться в исходном вертикальном положении, поскольку оно становится неустойчивым и любые сколь угодно малые возмущения выведут ее из него. Но в отличие от первой системы у второй нет никаких новых устойчивых положений статического равновесия в окрестности критической точки бифуркации 5 . Поэтому потеря устойчивости исходного вертикального положения равновесия неиз- [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...