Неустойчивость возмущенной формы равновесия

Примером может служить центральное сжатие первоначально прямого упругого стержня. При небольших значениях сжимающей силы прямолинейная форма —единственная и притом устойчивая форма равновесия малым возмущениям этой формы, которые осуществляются, например, при помощи малой дополнительной поперечной нагрузки, соответствуют малые прогибы. При критическом значении сжимающей силы Ркр прямолинейная форма становится неустойчивой, и после малых возмущений стержень приобретает новую (устойчивую) форму равновесия, которой соответствует изогнутая ось. [c.323]

К исследованию устойчивости можно подходить и с более общих позиций устойчивости движения. Здесь следует говорить о неустойчивости или устойчивости плоской формы пластинки под действием сил, приложенных в срединной плоскости пластинки. Наряду с этой невозмущенной формой равновесия пластинки рассматривают близкие к ней возмущенные формы движения. Если сколь угодно малые возмущения вызывают во времени конечные отклонения от невозмущенного равновесия, то последнее называют неустойчивым. [c.75]

Для амортизаторов с углами 0, отличными от нуля, форме с двумя точками перегиба предшествует не прямолинейная форма, а форма с одной точкой перегиба (рис. 8), которая при некотором значении перемещения А становится неустойчивой и малое возмущение приводит к возникновению устойчивой формы равновесия с двумя точками перегиба. Анализ перехода от первой формы равновесия ко второй достаточно сложен и не рассматривается в данной работе. [c.57]

Заметим, что компоненты возмущений, вообще говоря, зависят от времени. Подстановка выражений (15) в соотношения (14) даст уравнения возмущенного движения если с течением времени возмущения стремятся к нулю (или являются периодическими), то рассматриваемая форма равновесия устойчива, в противном случае — неустойчива. [c.197]

ВИИ, что сжимающая сила не превосходит некоторого критического значения, которое зависит от материала стержня, его длины, а также от формы и размеров поперечного сечения. (Так, например, если стержень на рис. 69, б изготовлен из стального прутка диаметром 6 мм и имеет высоту 1 м, по формуле Эйлера критическое значение сжимающей силы равно 52 кгс для деревянного стержня тех же размеров критическое значение составляет всего 2,5 кгс.) Если сжимающая сила превосходит критическое значение, что и предположено на рис. 69, б, то прямолинейная форма равновесия неустойчива, и после любого сколь угодно малого возмущения стержень перейдет в новую, изогнутую, форму равновесия, показанную на рис. 69, б сплошной линией. Критическое, а тем более сверхкритическое нагружение в практике обычно считается недопустимым, хотя бы потому, что при переходе в изогнутое состояние стержень может попросту сломаться. (Впрочем, гибкие элементы некоторых приборов рассчитываются именно на сверхкритическое нагружение, а переход в изогнутое состояние считается нормой.) [c.169]

Естественной, логичной, а также полностью соответствующей как понятиям русского языка, так и нашим интуитивным представлениям об устойчивости является интерпретация, основанная на методе малых возмущений. Если находящейся в равновесии системе сообщить некоторое возмущение, т. е. несколько отклонить ее от положения равновесия, то можно обнаружить, что в одних случаях исходное состояние само собой восстанавливается, а в других — ие восстанавливается, а система переходит к некоторому новому, неважно какому состоянию, может быть, даже и не равновесному. В первом случае состояние равновесия считается устойчивым, во втором — неустойчивым. Такое определение хорошо известно читателю как из курса механики, где устойчивость традиционно иллюстрируется положением равновесия шарика на дне лунки, так и из курса сопротивления материалов, где рассматривается множественность форм равновесия упругого сжатого стержня. [c.359]

Большая часть результатов по теории параметрической стабилизации получена методом усреднения, предполагающим, что возмущенное движение вблизи неустойчивого равновесия может быть представлено в виде суммы медленных и быстрых движений. При исследовании устойчивости по быстрым движениям с одной степенью свободы область стабилизации на плоскости коэффициент параметрического возбуждения - частота возбуждения ограничена и, кроме того, включает такие участки границы, на которых разделение движений невозможно. Применительно к системам с большим числом степеней свободы необходимо, кроме того, учитывать, что параметрическое воздействие, стабилизирующее одни формы, будет дестабилизирующим по отношению к другим формам. Поэтому к выводам, полученным на основе метода усреднения и родственных приближенных приемов, следует относиться осторожно, [c.483]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

Стационарные формы поверхностей раздела отличаются, впрочем, как на это указывает опыт в полном согласии с теорией, чрезвычайной наклонностью к изменчивости при самых незначительных возмущениях, так что по своему характеру они в некотором отношении ведут себя подобно телам, находящимся в неустойчивом равновесии. Поразительная чувствительность цилиндрической струи воздуха, насыщенного дымом, к звуку, описана уже Тиндалем я м удостоверился в том же. Это, очевидно, свойство поверхности раздела, которое играет в высшей степени важную роль при вдувании воздуха в трубы. [c.46]

Началом систематического изучения конвективной неустойчивости можно считать эксперименты Бенара (1900 г.), наблюдавшего возникновение регулярной пространственно-периодиче-ской конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости (ячейки Бенара). Рэлей (1916 г.) теоретически исследовал устойчивость равновесия в горизонтальном слое и определил порог конвекции для модельного случая слоя с обеими свободными границами. Дальнейшее развитие теории продвигалось весьма медленно из-за значительных вычислительных трудностей. В ряде работ рассматривались лишь некоторые усложнения задачи о горизонтальном слое, связанные с различными условиями на ограничивающих плоскостях. В 1946 г. Г. А. Остроумов теоретически и экспериментально исследовал условия возникновения конвекции в вертикальном круговом канале. Вскоре после этого рядом авторов была изучена конвективная неустойчивость равновесия в полостях разной формы, а также были исследованы некоторые общие свойства спектра характеристических возмущений. [c.5]

Линейная теория устойчивости исходит из предположения о том, что возникающие возмущения основного состояния малы. Эта теория позволяет определить границу устойчивости и проследить за судьбой малых возмущений. В линейном приближении возмущения равновесия в области неустойчивости пара стают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако, что в действительности неограниченного возрастания возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного развития и привлекает к себе внимание все более широкого круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы связаны со значительными математическими трудностями. Хотя до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, достигнутый в последние годы, представляется несомненным. [c.137]

Устойчивость нестационарных равновесий такого рода рассматривалась в ряде работ. В исследованиях были применены два подхода. Первый из них можно назвать квазистатическим. Он основан на предположении, что мгновенное распределение температуры можно мысленно заморозить и исследовать обычным образом устойчивость имеющейся в данный момент стратификации, как если бы она была стационарной. При этом удается определить критическое число Рэлея, характеризующее неустойчивость данного мгновенного распределения температуры. Очевидно, такой подход оправдан лишь в случае,-когда скорость изменения возмущений гораздо больше скорости изменения нестационарного профиля. При другом подходе задача считается существенно нестационарной. В этом случае численно решается задача с начальными условиями и определяется эволюция возмущений. Нарастание или затухание возмущений, скорость их роста и другие характеристики этой эволюции зависят, разумеется, от момента внесения возмущений, их формы и т. д. [c.267]

Методы решения задач об устойчивости форм равновесия. Наиболее общим методом исследования устойчивости является динамический метод. Предполагают, что исследуемая форма равновесия каким-либо образом нарушена, и изучают движение, которое возникает после такого начального возмущения. По свойствам воз.мущенного движения судят об устойчивости или неустойчивости исследуемой формы равновесия если движение представляет собой колебания с постепенно возрастающими амплитудами или носит апериодический характер с увеличивающимися отклонениями, то исходная форма равновесия является неустойчивой, в противном случае, когда система все время остается в окрестности исходной формы равновесия, последняя является устойчивой. [c.10]

При сжатии витых пружин возможна потеря устойчивости двух типов-, а) если в процессе нагружения не происходит посадки витков, то при определенном (критическом) значении сжимающей силы исходная форма равновесия становится неустойчивой и появляется бесконечно близкая к исходной возмущенная форма равновесия, характеризуемая изгибом оси пружины (эйлеров тип потери устойчивости) б) если в процессе нагружения происходит посадка витков (или если пружина изготовлена с витками, посаженными один на другой), то при дальнейщем росте сжимающей силы может произойти потеря устойчивости путем перескока в новое состояние равновесия (существенно отличающееся от исходного). [c.77]

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях орямо-линейная форма стержня всегда является возможной формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р невелика, то положение останется таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) > О, всегда можно указать такую конечную величину е>0, что при (31 <е вели- чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины т], т. е. будет 1г 1<г . Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р . При Р> Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. [c.114]

В реальных условиях внешние возмущения (искривленность стержня, нецентральность приложения сил, случайные толчки) всегда имеют конечную величину, и в зависимости от этих условий стержень переходит к новой форме равновесия при большей или меньшей силе. Поэтому понятие устойчивости и неустойчивости в большом неизбежно связывается с отсутствием или наличием соответствующих внешних воздействий. [c.262]

В интервале Р 2 <.Р <. Рк оболочка устойчива в классической постановке (в малом), но неустойчива в большом. Если системе сообщить достаточно малые возмущения, то она, будучи в дальнейшем предоставленной сама себе, вернется к исходной форме равновесия. Если же системе сообщить большее отклонение, то при достаточной величине возмущений она перейдет к новой устойчивой форме равновесия (точка с), расположенной за потеп-циальным барьером. [c.143]

Рис. 18.1, К вопросу о различных формах равновесия а) шарик в наинизшей точке дна чашн>—положение равновесия устойчивое б) шарик на горизонтальной пластине —положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения н неустойчивое —при начальном возмущении в виде импульса в) шарик на вершине купола —положение равновесия неустойчивое г) шарик на дне горизонтального лотка —положение равновесия безразличное (нейтральное) при начальном возмущении в виде смещения и неустойчивое —при начальном возмущении в виде импульса д) шарнк на замковой лиыин свода — положение равновесия неустойчивое б) шарик в перевальной точке седла —положение равновесия неустойчивое.

По достижении силой Р значения Р происходит мгновенное прощелкивание мембраны — выпуклость ее оказывается обращенной в сторону, противоположную первоначальному направлению. Состояние мембраны до прощелкивания при Р = Р, является неустойчивым — малейшее увеличение прогиба под воздействием дополнительных сил, приложенных и снятых, приводит не к возвращению, а к прощелкпванию, т. е. малое возмущение приводит к большому изменению формы равновесия. Положение мембраны после прощелкивания при Р = Р является устойчивым (разумеется, если сила сохраняет свое значение Р ). В этом легко удостовериться, варьируя перемещения в окрестности указанного состояния за счет приложения дополнительных сил по устранении этих сил система возвращается в состояние, соответствующее положению после прощелкивания. [c.290]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

При достижении нагрузкой д критического значения д р исходная (круговая) форма оси кольца становится неустойчивой и возникает возмущенная (изогнутая) форма равновесия в зависимости от параметров кольца изгиб оси. может произойти в плоскости кривизны кольца (плоская форма потери устойчивости) или с превращением оси в пространственную кривую (прост.ранственная форма потери устойчивости). [c.50]

Таким образом, прямолинейная форма равновесия при всех значениях силы Р будет устойчивой в малом. Однако при Р > Р1 стержню можно дать некоторое конечное перемещение (достаточно большой начальный импульс), и стержень примет криволинейную форму равновесия, соответствующую правой части кривой Р = / (Л). При этом конечном возмущении будет преодолен некоторый потенциальный барьер , соответствующий неустойчивому положению равновесия. Для того чтобы стержень принял устойчивую форму равновесия, необходимо как бы перетолкнуть его через максимум энергии, соответствующий неустойчивой форме рав1ювесия (фиг. 721). [c.1048]

Физически этот результат значит, что если массу заставить двигаться точно в состоянии, совместимом с грушевидной фигурой (в окрестности С), то опа будет находится в равновесии, и если опа пе возмуш,ена, то эта форма будет продолжать враш,аться как твердое тело. При этом её угловой момент будет немного меньше, а угловая скорость немного больше, чем у критического эллипсоида Якоби. Однако если придать системе небольшое возмущение, наличие внутренних сил трепия приведёт к возрастанию нескольких амплитуд, и система начнет постепенно отклоняться от грушевидной формы, чтобы в конечном итоге принять ту форму Якоби, которая имеет такой же угловой момент, как и иервопачальпая грушевидная конфигурация ). Поэтому ясно, что ни одип начальный член грушевидного ряда естественным путём появиться пе может. Пока Н иостеиеппо возрастает, масса будет развиваться (эволюционировать, Б. К.) вдоль ряда Якоби до точки С, а затем, нри дальнейшем возрастании момента, едипствеппой доступной для системы формой равновесия будет эллипсоид Якоби, который на данном этапе обладает уже вековой неустойчивостью. [c.180]

Устойчивость. Удовлетворение теоретич. условиям равновесия ещё не достаточно для У. п. Плазма — чрезвычайно подвижная среда. Случайно возникшие в ней возмущения могут нарастать и разбрасывать плазму. Поэтому удерживающее магн. поле должно быть таким, чтобы плазма, по крайней мере, сохраняла бы свои положение и форму, т. е. была бы устойчивой по отношению к крупномасштабным, магнитогидродинамич. возмущениям (см. Стабилизация неустойчивостей плазмы). [c.212]

Однако устойчивость состояния равновесия—это только одна из частных форм проявления более общего, более широкого свойства устойчивости устойчивости процесса. Процесс — это совокупность номинальных параметров, изменяющихся во времени, и по отношению к процессу также может быть применен метод малых возмущеншк Если после наложенного возмущения процесс восстанавливается, т. е. все параметры по истечении некоторого времени сходятся к номинальным значениям, мы считаем, что он протекает устойчиво если не восстанавливается, — то процесс протекает неустойчиво. И теперь пришло время [c.359]

Однако как уже показано Бенджаменом и Фейром [1], свойство (1) может быть реализовано для возмущений на боковых полосах, наложенных на волны на глубокой воде, которые поэтому явным образом неустойчивы. Интересно отметить, что, в то время как сонаправленное взаимодействие нелинейности и дисперсии необходимо для существования волн неизменной формы как состояний полного динамического равновесия, противонаправленное взаимодействие этих же двух факторов может также приводить к разрушению таких цугов волн при наличии малых возмущений. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...