Равновесие асимптотически устойчиво неустойчивое

Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость. [c.370]

Влияние гироскопических и диссипативных сил на неустойчивое равновесие. Пусть положение равновесия консервативной системы неустойчиво. Нельзя ли добавлением диссипативных сил стабилизировать его, т. е. нельзя ли так подобрать диссипативные силы, чтобы неустойчивое при наличии одних потенциальных сил положение равновесия стало устойчивым или даже, может быть, асимптотически устойчивым Ответ на этот вопрос отрицательный. [c.537]

Рассмотрим теперь проблему гироскопической устойчивости и выясним, каково влияние диссипации по явным координатам. Если V, как функция от явных координат, имеет в положении равновесия минимум, то диссипация, как и следовало ожидать, повышает устойчивость. В общем случае мы имеем асимптотическую устойчивость по явным координатам. Если же V имеет максимум в положении равновесия, то дело обстоит иначе. Даже тогда, когда при отсутствии диссипации имеет место устойчивость для достаточно больших значений р ( 10.3), введение диссипации вызывает неустойчивость. [c.199]

Связь линейного приближения с общей теорией. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям. [c.382]

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства а) проверяемое положение равновесия устойчиво б) проверяемое положение равновесия неустойчиво а) проверяемое положение равновесия асимптотически

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Отметим, что векторная функция w t), t > О, не является ограниченной по норме. Поэтому решения X(t) уравнения (10.31) могут, вообще говоря, выходить рано или поздно из любой окрестности положения равновесия, даже при наличии асимптотической устойчивости этого положения равновесия [67], т.е. траектории X t) с вероятностью 1 могут как угодно далеко отклониться от положения равновесия. Система тем самым становится неустойчивой. Для придания более точного смысла термину неустойчивость системы [c.315]

А. Ь. Ляпуновым было доказано, что в случае, когда оба корня этого уравнения имеют отличную от нуля действительную часть, состояние равновесия (особая точка) системы (21.21) асимптотически устойчиво, если действительные части корней отрицательны если хотя бы одна действительная часть положительна, то состояние равновесия неустойчиво. [c.516]

Подчеркнем, что уже в линейной системе двух уравнений, положение равновесия которой асимптотически устойчиво по одной, и неустойчиво по другой переменной, при включении или отключении связей возможно изменение на противоположный характера поведения этих переменных асимптотически устойчивая переменная становится неустойчивой и, наоборот, неустойчивая -асимптотически устойчивой. [c.274]

В случае отключения связей (/г12 = Кг = 0) система (1) переходит в систему (2), положение равновесия которой в области О неустойчиво по 71 и асимптотически устойчиво по а [c.275]

Пример 4.1. В примере 2.1 устойчивое нижнее положение тела под действием диссипативных моментов с полной диссипацией становится асимптотически устойчивым. Верхнее положение равновесия тела под действием диссипативных моментов при условиях 4 t) + g > О, [c.92]

Следствие 4.1 [24-26]. Установившееся движение консервативной неголономной системы устойчиво, причем асимптотически по части переменных неустойчиво), если положение равновесия соответствующей линейной приведенной системы асимптотически устойчиво экспоненциально неустойчиво). Замечание 4-3. Уравнение (57) имеет вид [c.446]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

Из этой теоремы следует, что связная ветвь множества состояний равновесия устойчива по отношению к достаточно малым постоянно действующим возмущениям, когда все ее точки асимптотически устойчивы, и неустойчива, если эта связная ветвь содержит неустойчивые точки. [c.275]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, ТО нетрудно показать обычным путем, что ф(гг,, имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака а . Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае (< 0 состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае 1 0 состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости ц это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака а . [c.315]

Поскольку при у = О положение равновесия Э = О асимптотически устойчиво, то следует ожидать, что эта устойчивость сохранится на всей ветви, заключенной между точками ветвления, что и отмечено значком (+) на рис.27. Все положения равновесия, для которых О, неустойчивы. Это отмечено значком (-) на рис.27. Если вспомнить, что при положение равновесия = О неустойчиво, то надо нанести на схему еще две серии значков (-). [c.35]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Каждому значению С соответствует своя и тегральная кривая. Ось ординат и ось абсцисс тоже интегральные кривые, отвечаюцще зна ниям С=сю и С=0 соответственно. Начало к ординат - особая точка, в которой все интегр ные кривые касаются оси абсцисс. Особая то представленная на рис. 2.1, называется узло Нетрудно определить направление движен изображающей точки по интегральной крив При < О, < О изображающая точка с чением времени приближается к началу координат, что видно из (2. В этом случае имеем устойчивый узел, а состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если же А,, > О, А,, > О, то изображающ точка по соответствующей параболе удаляется (с ростом /) от начала ординат в этом случае особую точку ( =Т1 =0), являющуюся неустойч вым положением равновесия, называют неустойчивым узлом. [c.52]

Границы областей устойчивости, на которых положение равновеси асимптотически устойчиво, называются безопасными, а границы, н которых оно неустойчиво, — опасными. [c.222]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости <a href="/info/8834">положения равновесия</a> системы па <a href="/info/537875">примере системы</a> с одной степенью сво боды при использовании <a href="/info/4060">фазового пространства</a>. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область <a href="/info/413946">начальных возмущений</a> (<a href="/info/413946">начальное возмущение</a> —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область <a href="/info/3114">отклонений системы</a> от проверяемого на <a href="/info/8836">устойчивость положения равновесия</a> при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от <a href="/info/44453">момента начального</a> возмущения I — <a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движеиия, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из <a href="/info/243032">положения устойчивого</a> ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — <a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движения, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из положения неустойчивого ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—<a href="/info/10007">фазовая траектория</a> движения, вызванного <a href="/info/413946">начальным возмущением</a> системы из положения <a href="/info/41779">асимптотически устойчивого</a> ее равновесия (<a href="/info/10007">фазовая траектория</a>, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Итак, добавление диссипативных сил к консервативным не изменяет значения р = Pi критической нагрузки, но превращает устойчивое равновесие при р < р в асимптотически устойчивое, а неустойчивое равновесие при р — р — в неасимптотически устойчивое. В этом проявляется стабилизирующее влияние диссипативных сил на систему, находящуюся под действием консервативной нагрузки. [c.436]

Четыре наиболее типичных случая расположения характернстическнх корней на комплексной плоскости представлены на рис. 1. Равновесие диссипативной системы (12) с одной степенью свободы будет асимптотически устойчиво при е > О, устойчиво по Ляпунову при е = О и неустойчиво при е < 0. [c.95]

В заключение остановимся еще на вопросе о практической устойчивости. Для применения теории установление того факта, что теоретически изучаемая система устойчива или даже асимптотически устойчива, не исчерпывает вопроса для обоснования этого положения достаточно указать, что необходимо, например, знать величину области асимптотической устойчивости. Но дело не только в этом. Как справедливо указывают Ж. Ла-Салль и С. Леф-шец Положение равновесия системы может быть математически неустойчиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от этого положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и ракетные устройства ведут себя именно таким образом Следовательно, имеется одределенный разрыв между различными точными теоретическими определениями устойчивости и несколько расплывчатым представлением о практической устойчивости. В-только что упомянутой книге авторы делают попытку строго и подходящим образом определить практическую устойчивость и показывают, как использовать ранее известные результаты для исследования той или иной системы на практическую устойчивость. [c.137]

Таким образом, в области х,о > О, / = 1,3 положение равновесия системы (1.1.5) асимптотически устойчиво в целом по одной из переменных для любых параметров системы (кроме исключительного случая р = 0), хотя это положение равновесия неустойчиво по Ляпунову. Другими словами, если решения системы исходят из любой точки множества х,о > О, / = 1,3, то один из видов вымирает асимптотически. Это [Rou he и др., 1977] строгая формулировка утверждения, известного как экологический принцип вымирания Лотки-Вольтерры [Lotka, 1920 Volterra, 1931]. (К рассмотренному примеру с несколько иной точки зрения вернемся в разделе 1.1.7.) [c.28]

Положение равновесия x = x = 0 уравнения (2.2.12) экспоненциально асимптотически устойчиво по X, но неустойчиво по X. Это значит, что с течением времени система приближается к положению х = О с бесконечной по величине скоростью. На фазовой плоскости (х, X) происходит своего рода биение (с неофаниченно затухающей амплитудой) изображающей точки вдоль оси х (см. рис. 2.2.1). [c.110]

Будем предполагать, что матрица А д) и силы Q t, q, 4) таковы, что движения системы непрерывны по начальным условиям ( о 9о 9о) Я х Я х Я . При определении условий асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия = q = О с применением теорем из [2, 3, 6] будет предполагаться, что правые части системы (1), разрешенные относительно д, удовлетворяют условию Липшица по q, д) е К, К = д г рг Для любых Р1, Р2 > О, гаранти- [c.87]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

Отметим, что устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость в теоремах 1.7-1.10 следует понимать по отногиению к переменным гиг. Очевидно, замечания 1.1-1.6 распространяются и на относительные равновесия. [c.68]

В статьях [35-40] исследована задача о сугцествовании движений, асимптотических к неустойчивому равновесию или периодическому движению гамильтоновой системы в случае резонанса. Показано, что неустойчивость нри резонансе тесно связана с сугцествоаанием траекторий, асимптотических к траектории невозмугценного движения. В частности, условия устойчивости гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы эквивалентны условиям отсутствия асим-тотических траекторий. [c.122]

Хг (х1,. . ., Хт) представляют решение уравнений дХЛдхг = О, то положение равновесия = О устойчиво, а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия Хд = 8, Хг = Хг ( 1,. . 1т) Матросов показал также, что если силовая функция и может принимать положительные значения при сколь угодно малых I 5 г I, то положение равновесия гироскопической системы с дис--сипацией неустойчиво. Аналогичный результат был получен также [c.39]

Видно, что условие неустойчивости решения об = О совпадает с усло вием (10) существования семейства неизолированных положений равновесия оси тела. Ясно, что асимптотическая устойчивость здесь невозможна. Однако в системе имеется диссипация, поэтому ответ на вопрос об устойчивости не очевиден. По крайней мере, можно надеяться на устойчивость по отношению к части переменньгс. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...