Уравнение амплитуды колебаний комплексной

Из последнего уравнения (5.8.13) и (5.8.15) можно получить выражение для комплексной амплитуды колебания радиуса пузырька Ао через заданную амплитуду колебаний давления жидкости па бесконечности [c.304]

Это соотношение определяет стационарную амплитуду колебаний А . В общем случае А — комплексная величина. Если коэффициент усиления /Сус ( о)— действительная величина, то из (9.3.4) вытекают следующие два уравнения [c.317]

Комплексную амплитуду колебания давления определим из уравнения неразрывности (114) [c.46]

Значение комплексной амплитуды колебания давления определяется согласно уравнению неразрывности (121), где значение [c.47]

Учитывая соотношение (429), уравнение движения (428) относительно комплексных амплитуд колебания скорости запишем в виде [c.198]

При использовании метода комплексных амплитуд [16] уравнение вынужденных колебаний системы (1) для комплексных обобщенных координат q принимает вид [c.332]

Так как данная система линейна и внешнее воздействие на нее одночастотно Fjf = /об ), решение системы уравнений представляется в виде Xk — 1 где ук — набор комплексных амплитуд колебаний, [c.48]

При отрицательных действительных корнях и отрицательных вещественных частях комплексных корней характеристического уравнения свободные колебания являются затухающими и амплитуда их с течением времени стремится к нулю. [c.328]

Это уравнение описывает колебание поляризации с частотой /1 и с комплексной амплитудой [c.56]

Величины Ё, ( г) являются пространственно направленными комплексными амплитудами колебаний напряженности поля, удовлетворяющими соотношениям ё, (/ ) == = е.( к)Ё(М или E. fk) = е. к)Ё 1к). Величины Ё([к) определены в уравнении (1.21-6), а единичные векторы е, (/й) определяют направления. Аналогичные соотношения имеют место для соответствующих поляризаций Р.(М- [c.64]

Величину р в (22.4) называют комплексной амплитудой колебания она зависит только от координат и характеризует амплитуду р и фазу е колебаний среды в различных точках. Уравнению Гельмгольца удовлетворяют как полное решение (22.4), так и его комплексная амплитуда р в отдельности. Вещественная же амплитуда р уравнению Гельмгольца не удовлетворяет. [c.68]

Согласно уравнению (П.20) импеданс системы (отношение комплексных амплитуд колебаний давления и расхода на выходе из питающего бака) равен [c.117]

Подставляя эти выражения в (6.48)—(6.55) и исключая комплексные амплитуды колебаний, получим следующее характеристическое уравнение системы, справедливое на границе области [c.189]

Математически удобно описать наличие такой разности фаз 6 введением комплексной амплитуды в уравнение колебания, записанное в виде Е =- Пусть С а + ih. Но любое комплексное число С можно записать в виде С Сое где Со — вещественная величина. При этом справедливы следующие известные соотношения tg6 = Ь/а и С [c.26]

Задачу о вынужденных колебаниях в диссипативной системе с двумя степенями свободы удобно решать методом комплексных амплитуд. Уравнения, связывающие комплексные амплитуды [c.250]

Чтобы получить интересующие нас зависимости от ш, рассмотрим аналогично 7, исходя из уравнений 4, сферически-симметричную задачу о теплообмене капли (частицы) с газом в монохроматической звуковой волне, где реализуются установившиеся вынужденные колебания тина (2.7.11). При этом следует положить 2 = W, = О, г,ь = О внутри капли (г < а) и = = во внешнем газе. Тогда аналогично (2.7.13) можно получить следующие комплексные выражения, определяющие распределения по г амплитуд и фаз колебаний температур во внешней [c.229]

Остановимся теперь на вопросе постановки задач теории периодических колебаний. Здесь комплексная амплитуда удовлетворяет уравнению (4.23) гл. II, а комплексные напряжения— уравнению (4.22) гл. II, а условие совместности дефор- аций в напряжениях остаются без изменений. При постановке [c.249]

Для определения критического значения силы Р в этом случае необходимо найти такое наименьшее значение Р, при котором имеет место кратность корней (И в уравнении (10). Это значит, что при дальнейшем увеличении р корни становятся комплексными сопряженными и существует корень с отрицательной мнимой частью, т. е. П = а — Ы. Согласно выражению (7) это соответствует появлению формы колебаний с нарастающей амплитудой. Из рис. 391 видно, что кратность корней имеет место в точке А. [c.302]

Метод комплексных амплитуд. При рассмотрении установившихся вынужденных колебаний этот метод является более экономичным, чем непосредственное аналитическое решение. Вместо уравнения (5) рассматривают уравнение для комплексной обобщенной координаты q [c.104]

Установившиеся вынужденные колебания в вязкоупругих системах. При применении метода комплексных амплитуд (см. гл. VI) исходным является уравнение [c.239]

Решив эту систему уравнений, найдем формулы для вычисления комплексных амплитуд вынужденных колебаний [c.44]

Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле характеризуется комплексной амплитудой Е х,у,г), магнитное поле, соответственно, Н(х,у,г). Акустические поля характеризуются комплексными амплитудами скорости у х,у.г) и давления р х,у,г). После нахождения комплексной амплитуды поле может быть получено по простой формуле, являющейся определением комплексной амплитуды. Например, электрическое поле равно [c.11]

Для периодических гармонических колебаний уравнения (142) относительно комплексных амплитуд колебания функции тока ф = фо (> ) ехр (idit) и энтропии Д5 = ASq (х) ехр (iat) можно записать в виде [c.54]

Более общие и полные комбинированные методы определения скорости звука основаны на комплексном подходе к этой задаче. Комбинированные методы использованы в исследованиях К- Осва-тича, А. Виглина и др. [Л. 28, 224]. В этих работах совместно решаются уравнения движения, неразрывности, состояния н кинетики процесса. В результате получаются формулы для фазовой скорости распространения колебаний, которые зависят от частоты, формы и амплитуды колебаний, дисперсности и других факторов. [c.86]

Существуют и другие подходы для определения критических параметров (в частности, скорости полета) на границе устойчивости. Для этого в уравнениях свободных колебаний (38) полагают Я, = ш и находят значения скорости, удовлетворяющие этим уравнениям. Критическую скорость флаттера можно также определить экспериментально в аэродинамической трубе на динамически подобной модели и в процессе летных испытаний летательного аппарата. В последнем случае прибегают к экстраполяции, чтобы по тенденции определяющих флаттер параметров с ростом скорости полета найти приближенно величину критической скорости флаттера. Возникновение флаттера связано с определенным тоном свободных упругих колебаний в потоке воздуха. Распределение деформаций по конструкции при потере устойчивости определяет комплексную форму колебаний флаттерного тона. В зависимости от преобладания амплитуд той или иной части ЛА и характера деформированного состояния различают виды флаттера. Например изгибно-крутильный флаттер крыла, изгибно-изгибный флаттер в системе стреловидное крыло — фюзеляж, изгибно-элеронный флаттер, рулевой флаттер и т. д. Для характеристик флаттера несущих поверхностей часто определяющее значение имеют различные грузы, размещенные иа них двигатели, подвесные баки с горючим, шасси. Существенными параметрами являются жесткости крепления этих тел на поверхности крыла. Вообще для флаттера принципиально важны параметры связаииости форм движения. Например, для совместных колебаний изгиба и кручения крыла такими параметрами являются координаты точек (линий) приложения сил аэродинамического давления, инерции и упругости. Смещение центра масс относительно оси жесткости вперед способствует стабилизации системы. Совмещение всех трех точек развязывает виды колебаний, и в этом случае флаттер невозможен. Это свойство обычно имеют в виду при динамической компоновке конструкции. Важными параметрами являются распределенные нли сосредоточенные жесткости. Последние характерны для органов управления [c.490]

Поведение его наименьших корней показано на рис. 16.8, б. При отсутствии сжимающей силы = О и корни уравнения (16.66) вещественны. При возрастании х- (Я) корни сближаются и при х = х . становятся кратными. При дальнейшем увеличении корни уже комплексно сопряженные. Один из них имеет отрицательную мнимую часть. Согласно (16.65) амплитуда колебания растет во времени. Таким образом, отвечает критической сжимающей силе = EI nltf (х / /я ). Бекк, первым получивший корректное решение этой задачи, подсчитал (х / / ) == 2,03. [c.269]

В статье [23] рассматривается задача об установившихся.крутиль-ных колебаниях упругого полупространства, вызванных вращением штампа с плоским кольцевым основанием. Штамп сцеплен с упругим изотропным полупространством г О. На штамп действует в горизонтальной плоскости момент Ме " , под действием которого штамп будет совершать колебания Фе вокруг вертикальной оси г, где Ф — комплексная амплитуда колебаний штампа. Касательные напряжения Тг, на границе полупространства вне штампа отсутствуют. Удовлетворение граничным условиям приводит к тройным интегральным уравнениям. Эти тройные интегральные уравнения при помощи операторного метода сведены к одному интегральному уравнению второго рода. Дальнейшее решение этой задачи выполняется по той же схеме, что и в работе [c.332]

Получим теперь формулы для подсчета угла сдйига фаз ф и модуля комплексной амплитуды колебаний полосы Д = = /ехр(1ф). Для этого перепишем уравнение движения полосы [c.270]

Как указывалось в разд. 2.3, динамические свойства кавитационных каверн во входном участке шнеко-центробежного насоса в кинетической модели М. С. Натанзона описываются уравнениями (2.26) и (2.49). Используя эти уравнения, но в размерном виде, и представляя переменные в виде произведения комплексных амплитуд колебаний на гармоническую функцию времени например, [c.65]

Необходимо разобраться еще в одном вопросе как учесть неизбежное затухание колебаний осциллятора Физические причины, приводящие к затуханию излучения и связанному с ним уши-рению спектральной линии, были обсуждены выше (см. гл.1). Они сводятся к потере энергии вследствие излучения, к столкновениям, тушащим колебания осцилляторов, и к хаотическому тепловому движению атомов эффект Доплера). При феноменологическом описании можно объединить все эти разнородные процессы, вводя убывающую во времени амплитуду затухающей волны (что эквивалентно использованию комплексного показателя преломления). При составлении уравнения движения осциллирующего электрона для учета затухания нужно ввести тормозящую силу. Запишем ее в виде -gr, где g — некий коэффициент частное от его деления на массу электрона обозначают у и называют коэффициентом затухания. [c.140]

Эффективным методом получения приближенных уравнений, описывающих распространение короткого волнового пакета, является метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) [6, 18]. В его основе лежит естественное предположение о медленности изменения комплексной амплитуды импульса на масштабах среднего периода колебаний 7о=2я/(Оо (юо — средняя частота импульса) и средней длины волны Xo— TJniwo)- Такой подход справедлив вплоть до длительностей импульсов т /Го 10. Метод ММА адекватен, таким образом, большинству задач линейной (и, как мы убедимся далее, нелинейной) оптики фемтосекундных импульсов. Вместе с тем в современной лазерной физике появился и такой необычный объект как лазерный импульс длительностью в один период [84]. Естественно, в этом предельном случае приближения, основанные на предположении о медленности изменения амплитуды, в принципе непригодны. [c.20]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...