Метод Канторовича — Власова

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

МЕТОД КАНТОРОВИЧА - ВЛАСОВА [c.254]

Метод Канторовича — Власова [c.202]

Рассмотрим на примерах решения задач изгиба жестких пластин существо метода Канторовича — Власова и его отличие от метода Бубнова— Галеркина. [c.202]

В этой связи весьма перспективной представляется проблема объединения одномерного варианта МГЭ и вариационного метода Канторовича-Власова. Очевидно, что от этого объединения возможности МГЭ и метода Канторовича-Власова существенно увеличатся. Впервые эта проблема освещена в работах авторов [217-232]. Изложению этого вопроса в отдельных задачах теории пластин и посвящен материал данного раздела. [c.390]

ГЛАВА 7 ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТОНКИХ ПЛАСТИН 7.1 Вариационный метод Канторовича-Власова сведения двумерных задач к одномерным [c.391]

ЧТО равносильно принятию расчетной схемы тонкой пластины, имеющей бесконечное число степеней свободы в одном направлении и одну степень свободы в другом направлении. В этом положении заложено большое преимущество метода Канторовича-Власова перед другими методами, где не рассматривается модель пластины с бесконечным числом степеней свободы хотя бы в одном направлении. [c.391]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Оценка точности метода Канторовича-Власова [c.406]

Применяя к равенствам (7.28) процедуру метода Канторовича-Власова, получим уравнения связи между кинематическими и статическими параметрами обобщенных стержней, которые чисто формально не будут отличаться от соответствующих уравнений обычных стержней. Подчеркнем, что это имеет место только в случае, когда краевые условия по торцам подобластей одинаковы. Уравнения связи между граничными параметрами помещаем в матрицу Y. Значения фундаментальных функций и грузовых членов вычисляем по формулам (7.22) при // = 0,3, j = l/3, q x,y)=q = V, с =0 = /,= С =/, =1 d =0 d, =1/3. [c.411]

Используя процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, умножаем обе части уравнения (7.32) на Х р) (компонента необходима для исключения сингулярных точек в коэффициентах обыкновенного дифференциального уравнения). Применяя операцию интегрирования в пределах радиальной длины пластины, получаем дифференциальное уравнение 4-го порядка [c.415]

Добавим, что интегральное уравнение (7.49) может быть применено также для расчета различных секторов. Для этого необходимо соответствующим образом комбинировать нагрузку всей пластины, как показано в работе [317, с.ЗЗО]. В этих случаях вариационный метод Канторовича-Власова освобождает расчеты от мало удобных в применении функций Бесселя. [c.428]

Уравнение (7.53) по алгоритму вариационного метода Канторовича-Власова приводится к виду [c.430]

Вариационный метод Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда (7.2) позволяет практически точно решать задачи на собственные значения упругих изотропных пластин. [c.441]

Основная часть погрепшости вариационного метода Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда (7.2) связана с неточным описанием внепшей нагрузки, а влияние на погрепшость побочных коэффициентов линейной системы дифференциальных уравнений проф. В.З. Власова весьма мало. [c.441]

Процедурой метода Канторовича-Власова уравнение (7.66) сводится к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения [c.447]

Для решения задач устойчивости прямоугольных пластин используем алгоритм численно-аналитического варианта МГЭ, вариационный метод Канторовича-Власова и дифференциальное уравнение технической теории устойчивости (7.66) [c.453]

Интегральные преобразования в методе Канторовича-Власова в случае, когда нагрузка Л х=0, приводят коэффициенты (7.101) к виду [c.454]

К задачам с неоднородными граничными условиями относятся задачи устойчивости при действии сжимающих сил на свободных краях пластины. В этом случае на свободном крае возникает неоднородное граничное условие для приведенной поперечной силы вида (7.67), а сосредоточенную сжимающую силу в алгоритме МГЭ можно учесть только по схеме А (рисунок 7.12). Если применить к выражению (7.67) процедуру метода Канторовича-Власова и учесть сосредоточенную силу по формуле (7.102), то получим краевое условие вида [c.464]

Вариационный метод Канторовича-Власова [c.468]

Здесь предлагается метод расчета цилиндрических складчатых систем, основанный на выводах первой главы и первого раздела. Теоретической основой метода является, как и для рассмотренных выше двумерных задач, вариационный метод Канторовича-Власова. Уравнение, описывающее изгиб прямоугольной пластины, представлено в п. 7.2, уравнение изгиба круглой пластины - в п. 7.3. Построим аналогичное уравнение для плоской задачи теории упругости прямоугольных пластин. [c.480]

Ряды представлены к-ми членами, а индексы опущены. Функция Х х) в плоской задаче (по В.З. Власову [63]) должна удовлетворять в первую очередь статическим и, по возможности, кинематическим граничным условиям на продольных кромках пластины. Интересно, что при изгибе требования к функции Х(х) противоположны. Применяя процедуру вариационного метода Канторовича-Власова к бигармоническому уравнению (7.125), статическим (7.127) и кинематическим параметрам [c.481]

Для решения уравнений (7.138) воспользуемся методом разделения переменных Фурье и вариационным методом Канторовича-Власова. Согласно методу Фурье неизвестные функции представляются в виде рядов [c.491]

Выражения для обобщенных параметров НДС оболочки выводятся из геометрических и физических уравнений теории пологих оболочек с помощью процедуры метода Канторовича-Власова, когда соответствующее уравнение моментного состояния умножается на Xi x) и безмоментного состояния - на Х2 х) И интегрируется в пределах оболочки. В этом случае через функции R y) и Г у) можно выразить статические и кинематические параметры оболочки. Для этого необходимо построить 7 производных фундаментальных функций (см. таблицу 7.17) и использовать соотношения (7.154)-(7.156). Получается 8 уравнений. Система 8 уравнений при у=0 в силу свойств фундаментальных функций ФДо), ЖДо) распадается на две системы 4-го порядка [c.495]

Если применить к уравнению (7.167) процедуру метода Канторовича-Власова, то получим обыкновенное дифференциальное уравнение 4-го порядка вида (7.13), где изменятся лишь коэффициенты [c.510]

Метод Канторовича—Власова [c.46]

Как видим, метод Канторовича — Власова позволяет свести двумерную (а в общем случае и трехмерную) краэвую задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа (8.54). Для ее решения в современной i ычгслительной математике существует ряд эффективных методов. Укажем, например, на метод ортогональной прогонки С. Г. Годунова (см. [20]) и на интерполяционный метод 12, с. 429]. [c.257]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

Таким образом, в отличие от метода Бубнова — Галеркп-на, при котором интегрирование дифференциального уравнения сводится к решению системы алгебраических уравиеншц по методу Канторовича — Власова интегрирование дифференциального уравнения в частных производных заменяется интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если задача линейная, то получается система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.202]

Таким образом, рещение уравнения Жермен-Лагранжа по методу Канторовича- Власова будет заключаться в определении функции прогиба по (7.12), где функпдя Х х) задана, а функпдя w y) определяется из (7.20) в виде [c.397]

Сумма 5 членов дает значение прогиба в центре квадратной шарнирно опертой пластины (// = 0,3) ОЖ(1/2,1/2)= 115,57973-10 Видно, что величина прогиба по вариационному методу сходится к точному значению /)Ж(1/2,1/2) = 116,0 -10 [317]. Из результатов (7.27) следует также, что первый член ряда (7.2) содержргг почти 93% точного значения прогиба при сосредоточенной нагрузке. Такое быстрое приближение к точному результату является особенностью и большим преимуш еством метода Канторовича-Власова. [c.407]

Для жесткого заш,емления и шарнирного опирания кромок квадратной пластины погрешности метода Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда представлены в таблице 7.2. Анализ данных этой таблицы показывает, что предельно возможная погрешность для напряжений не превосходит 5-6%. Для прогибов погрешность больше только для сосредоточенных нагрузок и достигает 8,0%. Отметим, что характерной особенностью метода Канторовича-Власова является наибольшее расхождение с точными результатами у квадратных пластин, а для прямоугольных пластин погрешность уменьшается [30]. Все это подтверждает вывод о том, что для нужд инженерного расчета вполне достаточно использовать только один член ряда (7.2). Погрешность метода при других комбинациях граничных условий будет находиться в пределах, представленных таблицей 7.2. При этом всегда соблюдается соответствие если нагрузка кусочно-непрерывная функция, то результаты метода больше эталонных, если нагрузка сосредоточенная, то -меньше. Очевидно, это связано с тем, что один член разложения описывает кусочно-непрерывную нагрузку с избытком, а сосредоточенную - с недостатком. [c.407]

Пример 7.3 Рассмотрим жестко защемленную квадратную пластину, нагруженную силами N =Ny=N (рисунок 7.7,в). Выше отмечалось, что наибольшая погрешность вариационного метода Канторовича-Власова наблюдается у квадратных пластин, а условия ее опирания не позволяют получить точного аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости. Поэтому данная задача позволяет дать оценку точности и эффективности различных методов, в том числе и МГЭ. Матрица устойчивости и ее определитель для краевых условий по рисунге 7.7,в примут вид [c.436]

Как говорилось выше, в методе Ритца задаются приближенным характером распределения перемещений внутри тела. Входящие в аппроксимирующие функции постоянные подбираются из условия Минимума полной энергии системы. Подобная схема используется и в методе Канторовича—Власова, но здесь вместо постоянных а вводятся неизвестные функции, зависящие от одной из координат. Мнннмиза-ция полной энергии относительно этих функций приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, последующее интегрирование которых позволяет получить приближенное поле перемещений. [c.46]

В изложенной выше трактовке в основу метода конечных элементов был положен метод Ритца. Возможны различные модификации метода, которые в тех нли иных частных задачах могут дать более экономичный алгоритм расчета. Рассмотрим один такой вариант, в основе которого лежнт метод Канторовича — Власова (см. 2.6). [c.124]

Расчеты показывают, однако, что законы распределения толщин, стрелок изгиба средней линии и углов установки весьма разнообразны, вследствие чего н расчет частот на базе указанной работы не всегда получается достаточно точным. В то же время в работах И. И. Меерович показано, что при определении частот простейших форм колебаний вполне допустимо пренебрегать искажением формы профиля при колебаниях и энергией деформации сдвига. Использование этих упрощающих предположений позволяет свести двумерную задачу колебаний оболочки к одномерной (с использованием метода Канторовича — Власова [2], [4]). Указанный прием дает возможность более полно учесть особенности профилирования конкретной 2 339 [c.339]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...