Эквивалентность систем векторов

Однако прежде чем ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов, мы в 2 введем в рассмотрение две векторные характеристики — главный вектор и главный момент системы, — которые имеют смысл для любого множества векторов. Далее в 3 дается определение эквивалентности систем векторов, и тем самым выделяется интересующий нас класс таких множеств. Наконец, в 4 устанавливаются основные свойства множеств векторов выделенного класса. [c.338]

Эйнштейна закон скоростей 330 Эквивалентность систем векторов 15, 20, 21 [c.367]

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А. П. Котельникова Проективная теория векторов (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна канонической системе , состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — винтов ( моторов , динам ), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье Теория векторов и комплексные числа (опубликована посмертно в 1950 г.). [c.255]

Множество систем векторов называется множеством систем скользящих векторов, а каждая система векторов из этого множества — систел<ой скользящих векторов в том случае, когда, опираясь на физические соображения, можно ввести следующее соотношение эквивалентности две системы из множества эквивалентны, если любая из них переходит в другую путем добавления или отбрасывания векторных нулей. [c.346]

Задача о том, можно или нельзя в каждом конкретном случае ввести такое соотношение эквивалентности для систем векторов, не может быть решена формально, исходя из свойств этих систем векторов как математических объектов. Установление соотношения эквивалентности — новое аксиоматическое предположение, а вопрос о законности любого предположения такого рода каждый раз решается, исходя из физической сущности объектов, математической моделью которых являются рассматриваемые системы векторов. Например, интуитивно ясно, что при изучении движения (а не внутреннего состояния) твердого тела к совокупности сил, действующих на это тело, можно добавлять (или от нее можно отбрасывать) две силы, равные по величине н действующие вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Поэтому множество векторов, изображающих систему сил, действующих на твердое тело, образует систему скользящих векторов. Легко видеть, однако, что совокупность сил взаимного притяжения, приложенных к двум разным телам, не составляет системы СКОЛЬЗЯЩИХ векторов, так как хотя силы взаимного притяжения всегда образуют векторный нуль, их отбросить нельзя, поскольку движение тел зависит, в частности, и от этих сил. [c.346]

Начнем с систем из третьего подкласса. Каждая система из этого подкласса эквивалентна одному вектору этот вектор называется равнодействующим. Равнодействующий вектор всегда совпадает с главным вектором системы, а линией его действия служит центральная ось. Выберем полюс О на центральной оси. У системы, принадлежащей третьему подклассу, главный момент относительно О равен нулю. Перейдем к полюсу О, не лежащему на центральной оси тогда в силу теоремы 1 [c.355]

Главный вектор А, приложенный в точке О, и противоположно направленный вектор пары образуют систему векторов, эквивалентную нулю. Следовательно, остается вектор А, приложенный в точке О, и пара скользящих векторов с моментом М1. Но момент М1— свободный вектор. Его можно перенести в точку О. Тогда получим систему, состоящую из вектора А, приложенного в точке О, и из пары скользящих векторов с моментом Мх. Эта пара лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору Мх. [c.173]

Согласно условию эквивалентности систем сил инерции главные векторы, как инварианты системы, должны быть равны. Поэтому [c.346]

Мы приведем в статике (глава V) примеры наиболее важных систем векторов, эквивалентных нулю. [c.31]

Можно попытаться заменить при помощи элементарных действий заданную систему векторов (5) более простой эквивалентной ей системой. [c.34]

Произвольное число заданных винтов всегда складывается в один винт. Действительно, каждый заданный винт представляет собой систему трех векторов следовательно, совокупность заданных винтов представляет собою некоторую систему векторов, эквивалентную согласно установленным выше правилам одному винту, способ определения которого известен. [c.40]

Вообразим тяжелую цепь, подвешенную своими обоими концами к двум неподвижным точкам А м В. Внешними силами, действующими на цепь, являются 1) веса различных звеньев 2) действия, вызываемые неподвижными точками Д и В. Цепь тянет эти точки, и, наоборот, эти точки действуют на цепь двумя силами и Дд, приложенными на ее концах. Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы все внешние силы были эквивалентны нулю. Веса образуют систему параллельных векторов, эквивалентную одному вектору Р, равному весу цепи и приложенному в ее центре тяжести. Три вектора Р, ч должны составлять систему [c.123]

Теорема.—Для эквивалентности двух систем векторов S и S необходимо и достаточно, чтобы система S", образованная присоединением к векторам [c.25]

Определение приведения. Приведение к одному вектору и одной паре. — Привести систему векторов, значит заменить данную систему другой системой, более простой и эквивалентной первой. [c.28]

Чтобы выполнить это преобразование, присоединим к 5 все векторы систем S и—5 (обозначая через—S систему векторов, прямо противоположных векторам системы S ). При этом нам придется лишь несколько раз применить вторую из элементарных операций. Совокупность векторов 5 и —S эквивалентна нулю (п°20) поэтому ее можно привести к нулю при помощи элементарных операций. В результате остается только система 5, и требуемое приведение, таким образом, выполнено. [c.32]

Если рассматривать в момент t две различные системы одновременных вращений твердого тела, то для эквивалентности этих систем в смысле состояния скоростей всех точек тела в этот момент необходимо и достаточно, чтобы эти две системы вращений геометрически были представлены двумя эквивалентными системами векторов ). [c.65]

Мгновенные вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке.—Сходящиеся векторы образуют систему векторов, эквивалентную их результирующей (п° 18 . Отсюда следует, что несколько одновременных мгновенных вращений вокруг осей, пересекающихся в одной точке, с точки зрения состояния скоростей всех точек твердого тела в момент t, эквивалентны одному результирующему вращению. Эту теорему можно выразить следующим образом несколько мгновенных вращений вокруг осей, проходящих через одну точку, приводятся к одному результирующему мгновенному вращению. В этом заключается теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей. [c.66]

Не нарушая равновесия твердого тела, можно заменить всякую систему сил, приложенных к телу, другой системой сил, представляющей собой систему векторов, эквивалентную первой. [c.233]

Для того чтобы силы, приложенные к твердому телу, находились в динамическом равновесии, необходимо и достаточно, чтобы они представляли собой систему векторов, эквивалентную нулю. [c.237]

Две системы приложенных векторов и называются эквивалентными, если они имеют один и тот же главный вектор и один й тот же главный момент по отношению к какой-либо точке Р, а вследствие этого, в силу соотношений (30), и по отношению к любой точке. Таким образом, например, неско.лько векторов, приложенных к одной и той же точке, образуют в силу теоремы Вариньона (рубр. 38) систему, эквивалентную одному вектору, именно, главному вектору этой системы, приложенному в той же точке. Таким же образом всякие два вектора, расположенные на той же прямой (имеюш,ие обш,ую прямую действия), также эквивалентны. [c.49]

Если даны две системы приложенных векторов и нужно установить, эквивалентны ли они, то достаточно отнести их к общей системе координат условия, необходимые и достаток Еые для эквивалентности систем, выражаются формулами [c.49]

Но внутренние силы f вследствие самой природы их составляют на основании принципа о равенстве действия и противодействия (т. 1, гл. XII, 1) систему векторов, эквивалентную нулю (т. е. имеющую равную нулю результирующую и результирующий момент). Отсюда следует, что, складывая почленно N уравнений (2), мы получим [c.257]

Система трех уравнений, вытекающая из равенства соответствующих компонент главных векторов эквивалентных систем сил (Fi, F2) и, F2), позволяет найти компоненты силы F [c.126]

Эта теорема сразу следует из теоремы п. 66 об эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу, так как у двух пар главные векторы равны (каждый из них равен нулю), а главные моменты (т. е. моменты пар) равны по условию. [c.134]

Если из двух или нескольких систем векторов составим одну сложную систему, то главный вектор и главный момент сложной системы для какого-нибудь полюса будут соответственно равняться сумме главных векторов и главных моментов отдельных систем относительно того же полюса. Отсюда вытекает, что если к какой-либо системе векторов присоединить систему, эквивалентную нулю, то новая сложная система будет эквивалентна прежней. Соединение двух прямо противоположны систем даёт систему, эквивалентную нулю. Наоборот, если систему, экви- [c.25]

Две системы сил называются статически эквивалентными, если их главные векторы, приложенные в произвольно выбранной точке О, и главные моменты относительно некоторой оси, проходящей через точку О, одинаковы. Проекции статически эквивалентных систем сил на любую ось (и моменты их относительно любой оси) одинаковы. [c.8]

Приведение системы скользящих векторов к простейшей эквивалентной форме. При изучении различных систем векторов особо выделим систему параллельных скользящих векторов. [c.28]

Рассмотрим произвольную систему скользящих векторов Зу (XV, Fv, Zv) у = 1, 2,..., к, линии действия которых проходят соответственно через точки А (х , у , Ху,). При помощи элементарных операций можно построить простейшую эквивалентную систему скользящих векторов. В самом деле, добавим в точке О нулевую систему скользящих векторов з и —з , линия действия которых параллельна линии действия вектора Зv, а величины равны величине вектора Зу (рис. 22). Система векторов Зу и —з будет представлять пару, момент которой [c.35]

Теорема. Для произвольной системы скользящих векторов всегда можно построить эквивалентную систему, состоящую из трех скользящих векторов, причем линия действия одного из этих векторов (результирующего вектора) проходит через наперед заданную точку, а два других представляют пару с моментом, равным сумме моментов векторов системы относительно той же точки. [c.36]

Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеюище одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эшшалентны (условия эквивалентности систем сил). [c.40]

Так как главный вектор силы равен самой силе, а главный момент пары равен моменту пары, то в силу теоремы об эквивалентности систем сил получаем ( i, Р ,. .., P ooRq и паре с моментом Mq. [c.60]

В самом деле, система остается эквивалентной самой себе, если мы присоединим к ней два вектора, приложенные в точке В, равные и параллельные Р и ориентированные в противоположные стороны, так как мы присоединяем этим самым систему векторов, эквивалентную нулю, что не изменяет ни главного вектора, ни главного момента системы (п°19). Но система трех векторов, полученных таким способом, состоит из вектора Р, перенесенного в точку В, и пары с осевым моментом, указанным в условии теоремы. Эта пара, которую нужно присоединить к перенесенному вектору, чтобы восстановить эквивалентность системы самой себе, Ч21сто называв гея парой переноса [c.27]

Для равновесия системы необходимо (но, вообш,е говоря, не достаточно), чтобы внешние силы, действующие на систему, образовывали систему векторов, эквивалентную нулю. [c.229]

Обращаясь ко второй части, предположим сначала, что прямые и -2 встречаются в точке О (фиг. 24). Перенесем два вектора г и по прямым их действия так, чтобы оба они имели точкой приложения О сложив после этого перенесения векторы, мы убедимся, что система Од эквивалентна одному вектору, приложенному в точке О. Этот вектор, заменяя собой систему Од, от которой он произошел, должен составить вместе с зУравно-вепхенную систем5д а для этого необходимо, чтобы он лежал с % на одной прямой, т. е. чтобы прямая Гз проходила через точку пересечения прямых д и г . [c.57]

Показать, что четыре вектора РП., РЛ , РС, РР, приложенные в точке Р пересечения взаимно перпендикулярных хорд ЛР> и СП некоторой окружности, образуют систему, эквивалентную одному вектору, который прилоясен в центре окрмясностп О и равен 2РО I). [c.85]

Здесь важно обратить внимание на то, что это является единственной особеннвстью систем векторов, прилолсенных в точках какой-нибудь прямой, т. е. если, задав прямую а, мы возьмем два произвольных вектора В r Ж (фиг. 31) при единственном условии, что второй должен быть пернендикулярен к а, то найдется бесконечно большое число (эквивалентных между собой) систем векторов, прилолсенных в точках прямой а, имеющих при произвольном центре приведения О на прямой а результирующим вектором а и результирующим моментом М. [c.112]

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ — преобразование системы сил, приложенных К твёрдому телу, в другую, ей эквивалентную систему сил, в частности простейшую. В общем случае любая система сил, действующих на твёрдое тело, при приведении к произвольному центру О, называемому центром приведения, заменяется одной силой, равной геом. сумме (гл. вектору Д) сил системы и приложенной в центре приведения, и одной нарой с моментом, разным геом. сумме (гл. моменту Мр) всех сил системы ойрсительно центра приведения. В зависимости [c.110]

Определяя вектор-столбец неизвестных функций х =(уь 2, Va, Vi, W[, W2, wz, Wi, ф1) , получим эквивалентную систему уравнений первого порядка (2.8.8), где матрица С == ll ijll, i, / = 1,. ... .., 9, имеет следующие ненулевые коэффициенты [c.53]

Способ и средства выявления и определения динамической неуравновешенности сборочных единиц. Отклонение от параллельности оси вращения ротора его главной центральной оси инерции может бьггь выявлено при вращении сборочной единицы или детали на специальном балансировочном станке. Обычно действие на ротор главного момента и главного вектора заменяют действием эквивалентных систем. При вращении неуравновешенных масс, находящихся от оси на расстоянии е, возникают центробежные силы, пропорциональные дисбалансам в плоскостях опор [c.853]

Сначала рассмотрим случай двух параллельных векторов, направленных в одну сторону, предполагая, что их линии действия проходят через точки Л и В, в которые и перенесе1М векторы (рис. 14). Проведем через точки А и В прямую и присоединим к системе два равных по величине, противоположно направленных и лежащих на одной прямой АВ, вектора и и —и. Новая система четырех скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе. Но последнюю систему векторов и, Ь, а, —и можно заменить эквивалентной системой, состоящей из двух скользящих векторов Р п О, так что [c.28]

Образуют угол а с векторами пары. В произвольно выбранных точках С п О этих прямых добавим две нулевые системы скользящих векторов аь а , аз, а,4, по величине равных величинам векторов пары, а направленных вдоль этих новых прямых. Полученная новая система шести скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе векторов. Перенося теперь пулевые системы векторов вдоль линий их действия в точки. 4 и В пересечения прямых и складывая затем векторы а] и ао с векторами первоначальной пары, получим новую систему векторов Оь Ог, аз, эквивалентную первоначальной паре. Векторы О и Ог направлены по общей диа.гонали ромба в противопололчные стороны п равны по величине, т. е. представляют собой нулевую систему, которую можно отбросить. В результате останется система двух скользящих векторов а-2 и аз, равных по величине, направленных в противоположные стороны и распололеенных на параллельных прямых. Такая система векторов является парой, у которой линии действия векторов повернуты по сравнению с первоначальной на угол а. В рассмотренном преобразовании не изменилось плечо пары, не изменились по величине вектора пары, а следовательно, не изменилась и величина вектора момента пары. Остается неизменным и направление вектора момента пары. Этим доказано, что при помощи элементарных операций пару можно повернуть в своей плоскости, причем величина и направление вектора момента пары остаются инвариантными по отношению к такому преобразованию. Новая пара оказывается эквивалентной первоначальной паое. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...