Эквивалентные системы векторов. Пара векторов

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. ПАРА ВЕКТОРОВ [c.13]

В рубр. 46 было установлено, при каких условиях системы векторов эквивалентны одному вектору теперь мы к этому можем прибавить, что система векторов эквивалентна одной паре в том и только в том случае, когда ее главный вектор равен нулю в частности и эта пара может оказаться ну.левой. Присоединяя этот результат к предыдущим, мы можем сделать следующий вывод. [c.55]

Второй подкласс. Пусть задана какая-либо система А из этого подкласса. У нее / = О, но М 0. Поставим ей в соответствие другую систему А, состоящую из двух векторов, образующих пару, момент которой в точности равен /И системы А. У пары по определению/ = О, и поэтому у системы А как / , так и /И совпадают с и М заданной системы А. В силу теоремы 7 заданная система А эквивалентна системе А. Поэтому всякая система из второго подкласса эквивалентна паре. [c.354]

В результате приведения сил, произвольно расположенных в пространстве, к одному центру система сил оказывается эквивалентной силе, равной главному вектору V, и паре сил, момент которой век-торно равен главному моменту Шд. [c.163]

Теорема 1.5.1. Всякая система скользящих векторов эквивалентна системе, состоящей из одного скользящего суммарного вектора и одного суммарного момента (суммарной пары). [c.37]

Доказательство. Пусть система скользящих векторов приведена к одному скользящему вектору (О, К) с основанием, проходящим через точку О, и одному моменту М. Возьмем точку О1 и добавим к системе два скользящих вектора (ОО1, —К), (ОО1, К). Скользящие векторы (ОО1, —К), (О, II) образуют пару с моментом Мя = -ОО1 X К. Новая система скользящих векторов эквивалентна исходной и состоит из скользящего вектора (ОО К) с основанием, проходящим через точку О1, и суммарным моментом [c.38]

Моменту пары сил соответствует момент пары вращений, выражающий скорость поступательного движения, эквивалентного кинематически данной паре вращений. Процесс приведения системы скользящих векторов к простейшей системе одинаков как в статике, так и в кинематике. Поэтому сформулируем общий вывод совокупность какого угодно числа одновременных вращений и поступательных движений твердого тела можно привести к двум одновременным движениям к вращательному и поступательному. [c.199]

Рассматриваемая система сил заменилась эквивалентной системой сил, состоящей из силы Rl и пары сил с векторным моментом 1, который как свободный вектор можно перенести из точки О в любую точку, в том числе и точку 0 на линии действия силы Кратко результат можно выразить в форме [c.78]

Переместим пару вращений (со, — со ) так, чтобы вектор (— с ) Проходил через точку О, т. е. оказался противоположным вектору со. Тогда система векторов (со, — оз ) будет эквивалентна нулю, так как два одновременных вращения тела вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями, численно равными, но имеющими разные направления, образуют систему движений, кинематически эквивалентную нулю, т. е. не сообщающую телу никакого движения. У первого те а остается только одно движение — вращение с угловой скоростью со вокруг оси, сдвинутой на величину й сравнительно с первоначальной осью вращения, т. е. условно [c.205]

В силовых расчетах систему сил и моментов сил, действующих на звено, удобно сводить к эквивалентной системе — одной силе и одной паре сил. Для этого определяют главный вектор всех сил, действующих на звено, и прикладывают его в любой точке звена, называемой точкой приведения. Чтобы равновесие системы не нарушалось, при переносе каждой силы необходимо добавить пару сил, момент которых равен моменту переносимой силы относительно точки приведения. Главный момент системы сил определяется как сумма моментов внешних сил и моментов пар сил, добавленных при переносе сил в точку приведения. [c.254]

Доказательство. Предположим, что пара скользящих векторов (А, —А) лежит в плоскости Р (рис. 70). Пусть Q — плоскость, параллельная плоскости Р. Приведем в плоскости Q отрезок d, равный и параллельный отрезку аЬ. Приложим в точках ud по два вектора, равные по модулю и параллельные вектору А, направленные в противоположные стороны. Эти системы векторов эквивалентны нулю. [c.166]

Следовательно, произвольная система скользящих векторов может быть приведена к эквивалентной системе, состоящей из результирующего скользящего вектора, приложенного в О, и результирующей пары с моментом, равным сумме моментов всех заданных скользящих векторов относительно начала координат. [c.20]

Если / = О, система параллельных скользящих векторов эквивалентна одной паре с моментом Q. [c.24]

Доказательство. Возьмем пару с моментом /и = й/к, где nil, — векторный момент к-й пары (f = 1, 2. ..). Так как главный момент пары равен ее векторному моменту, то имеем равенство главных моментов заданной системы пар и взятой нами одной пары. Главные векторы, как величины равные нулю, также равны. Теорема доказана. Условия теоремы об эквивалентных системах сил удовлетворены. Итак, [c.58]

Если система сил плоская и центр приведения О лежит в плоскости сил, т>ч истема сил эквивалентна одной силе — главному вектору системы и одной паре, момент которой равен главному моменту системы, равному алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения О. [c.60]

Приведение к вектору и паре. Произвольная система векторов эквивалентна одному-единственному вектору, равному главному [c.39]

Частные случаи приведения. Может случиться, в частности, что система векторов, не эквивалентная нулю, эквивалентна лишь одной паре или только одному вектору. [c.40]

Система эквивалентна двум векторам, не лежащим в одной плоскости. Она эквивалентна также одному вектору, лежащему на центральной оси, и одной паре, плоскость которой. перпендикулярна этой оси, т. е. винту. [c.41]

Оба вращения х и параллельны и не образуют пари. Система этих двух векторов эквивалентна одному единственному вектору Асо, получаемому по известному правилу (п. 31). Следовательно, результирующий момент относительно точки М. равен моменту результирующего вектора Ам. Скорости различных точек тела будут, как и раньше, такими, как если бы тело совершало только вращение м (рис. 42, б). [c.68]

Система векторов эквивалентна одному вектору о>, проходящему через произвольную точку О, и паре с вектором момента OVg. Следовательно, скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы это тело [c.69]

Если DD есть центральная ось системы векторов со , Ш2,. .., со , то эта система эквивалентна одному-единственному вектору <0 (вращению), направленному по DD, и паре с минимальным векторным моментом g (поступательному движению со скоростью g), направленным также по DD. Скорости точек тела S будут такими же, как если бы оно совершало вращение (U и поступательное движение g в направлении этого вращения. Это движение, эквивалентное движению болта в неподвижной гайке, называется винтовым движением, а ось DD —мгновенной винтовой осью. [c.69]

Пара векторов. — Пара есть система, состоящая из двух векторов, равных по величине, параллельных и противоположно ориентированных. Когда оба вектора пары имеют одну линию действия (прямо противоположны), то система эквивалентна нулю. [c.26]

Параллельный перенос вектора. Пара переноса.— Не нарушая эквивалентности системы, можно перенести вектор Р системы, приложенный в точке А, в другую точку В, при условии, что мы присоединим к системе пару, осевой момент которой равен моменту вектора Р относительно точки В. [c.27]

В частности, если перенести вектор Р в другую точку, лежащую на линии его действия, то пара переноса эквивалентна нулю, и вектор остается эквивалентным самому себе. Таким образом, с точки зрения эквивалентности, векторы можно перемещать вдоль линии их действия. Это свойство выражают, говоря, что, с точки зрения эквивалентности, векторы системы являются скользящими векторами. [c.28]

Теперь припомним (рубр. 46), что система с нулевым главным вектором может быть эквивалентна одному (нулевому) вектору только в том случае, если ее момент равен нулю (т. е. если составляющие ее векторы равны нулю или расположены на одной и той же прямой). Отсюда следует, что пара, момент которой отличен от нуля, никогда не может быть эквивалентной одному вектору. [c.54]

Приводимость любой системы к одному вектору и одной паре. Из изложенного вытекает, что любая система векторов эквивалентна другой системе, состоящей из одного вектора и одной нары. [c.55]

Система, инвариантный трехчлен которой отличен от нуля (в каковом случае ни R, ни М не могут обратиться в нуль, ибо У= МВ), всегда эквивалентна одному вектору и одной паре. [c.55]

В качестве непосредственного приложения мы можем доказать, что следующие системы эквивалентны одному вектору или одной паре (или же, в частности, эквивалентны нулю) [c.55]

В рубр. 57 мы видели, что всякая система приложенных параллельных векторов эквивалентна либо одному вектору, либо одной паре. [c.57]

Теорема (Пуансо). Произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна системе, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке О тела центре приведения) и равной главному вектору R данной системы сил, и одной пары, момент которой равен главному моменту Мо всех сил относительно точки О. [c.135]

Рассмотрим сначала общий случай замены данной системы простейшей. Пусть для взятого полюса данная система имеет главный вектор а и главный момент Lq (фиг. 28). Система, состоящая из вектора а, приложенного к точке О, и пары (Р,Р ), плоскость которой перпендикулярна к Lq и момент которой равен Lq, будет,очевидно,эквивалентна данной системе. Если полюс О взят на центральной оси, то плоскость пары Р, Р ) будет [c.27]

Теоремы Шаля и Мёбиуса. Замена данной системы векторов двумя векторами может быть сделана бесчисленным множеством способов. В самом деле, когда пару (Р, Р ) мы заменяем ей эквивалентною, то можем взять произвольную длину плеча Л, лишь бы при соответственном изменении модуля вектора Р произведение Ph сохранило свою величину кроме того, пара может быть повёрнута на произвольный угол в своей плоскости наконец, полюс может быть взят в любой точке, по интересно, что какими бы двумя векторами Р и Q мы ни заменили данную систему, взаимный момент тога (P,Q) остаётся величиной постоянной, а так как по 11 взаимный момент численно равняется ушестерённому объёму тетраэдра, построенного на Р и Q, как на противоположных рёбрах, то и этот объём остаётся постоянным. Чтобы доказать высказанное положение, называемое теоремою Шаля ( hasles), положим, что моменты рассматриваемых векторов относительно некоторого центра соответственно равны L(P) и L(Q)- По формуле (2.21) взаимный момент векторов Р и Q равен [c.27]

Скользящий вектор —и, приложенный в С, и вектор —F, приложенный в fi, в сумме дают скользящий вектор —R, приложенный в точке О. Векторы R и —R, приложенные в О, уничтожаются от всей системы остается пара скользящих векторов U и —U, соответственно приложенных в точках С ж D, с назиа- ченным плечом D, эквивалентная данной. В силу (1.6) момент результирующей пары равен и параллелен моменту исходной пары направление моментов этих нар одно и то же. [c.18]

Образуют угол а с векторами пары. В произвольно выбранных точках С п О этих прямых добавим две нулевые системы скользящих векторов аь а , аз, а,4, по величине равных величинам векторов пары, а направленных вдоль этих новых прямых. Полученная новая система шести скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе векторов. Перенося теперь пулевые системы векторов вдоль линий их действия в точки. 4 и В пересечения прямых и складывая затем векторы а] и ао с векторами первоначальной пары, получим новую систему векторов Оь Ог, аз, эквивалентную первоначальной паре. Векторы О и Ог направлены по общей диа.гонали ромба в противопололчные стороны п равны по величине, т. е. представляют собой нулевую систему, которую можно отбросить. В результате останется система двух скользящих векторов а-2 и аз, равных по величине, направленных в противоположные стороны и распололеенных на параллельных прямых. Такая система векторов является парой, у которой линии действия векторов повернуты по сравнению с первоначальной на угол а. В рассмотренном преобразовании не изменилось плечо пары, не изменились по величине вектора пары, а следовательно, не изменилась и величина вектора момента пары. Остается неизменным и направление вектора момента пары. Этим доказано, что при помощи элементарных операций пару можно повернуть в своей плоскости, причем величина и направление вектора момента пары остаются инвариантными по отношению к такому преобразованию. Новая пара оказывается эквивалентной первоначальной паое. [c.32]

Если у плоской системы векторов / = 0, но относительно произвольно выбранной точки Мофй, то система эта принадлежит второму подклассу и эквивалентна любой паре с моментом Мо- Наконец, плоская система уравновешена, если R = 0 и Л1о = 0, т. е. выполнены условия (8). Равенства (8 ) в этом случае не независимы. Действительно, расположим оси ж и у в плоскости векторов (рис. П.21). Тогда при любом расположении векторов условия [c.358]

Таким образом, произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе — главному вектору и одной паре, момент которой pa en главному моменту. [c.36]

Для плоской системы сил главный вектор П лежит в плоскости действия сил,если за центр приведения выбрать точку в плоскости действия сил. Все присоединенные пары сил тоже лежат в этой плоскости, а следовательно, векторные моменты этих пар перпендикулярны к ней и взаимно параллельны. Главный момент о. характеризующий векторный момент пары сил, эквивалентный присоединенным парам, перпендикулярен к главному вектору. Он является векторной суммой параллельных векторов. [c.40]

В самом деле, система остается эквивалентной самой себе, если мы присоединим к ней два вектора, приложенные в точке В, равные и параллельные Р и ориентированные в противоположные стороны, так как мы присоединяем этим самым систему векторов, эквивалентную нулю, что не изменяет ни главного вектора, ни главного момента системы (п°19). Но система трех векторов, полученных таким способом, состоит из вектора Р, перенесенного в точку В, и пары с осевым моментом, указанным в условии теоремы. Эта пара, которую нужно присоединить к перенесенному вектору, чтобы восстановить эквивалентность системы самой себе, Ч21сто называв гея парой переноса [c.27]

Система, состоящая,из вектора и пары (определяющих соответственпо вращение и поступательное движение) может (5ыть заменена совершеш д другой системой, эквивалентной [c.73]

Чоманую, составленную прямыми а, а , о,, 03, 4, называют веревочный мпоюуюлъником. Мы приходим, таким образом, к следующему заключению. Если полигон, составленный из векторов системы, открыт, то система эквивалентна одному вектору если полигон векторов замыкается, но упомянутый веревочный многоугольник остается открытым, то система эквивалентна паре если, наконец, оба рассмотренные многоугольника оказываются замкнутыми, то мы имеем дело о уравновешенной системой. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...