Задача двух тел ограниченная

При проведении предыдущих вычислений было принято, что Солнце неподвижно, т, е. мы рассматривали так называемую ограниченную задачу двух тел. Если принять во внимание движение Солнца, вызванное притяжением планеты, то оказывается, что третий закон Кеплера точен лишь тогда, когда отношение массы каждой планеты к массе Солнца равно нулю. В действительности в третий закон Кеплера нужно вводить поправки, зависящие от отношения массы каждой из планет к массе Солнца. Поэтому и постоянные Гаусса р различны для разных планет. Здесь мы не будем изучать этот вопрос. [c.397]

Две массы mi=M— х и т2 = ц движутся в согласии с законом тяготения Ньютона (задача двух тел). Кроме того, в пространстве имеется еще третья масса тз = т, которая находится под действием сил притяжения к первым двум телам, но сама влияния на них не оказывает (например, случай системы Земля — Луна — спутник). Смысл слов ограниченная состоит именно в этом. Уравнения движения массы m имеют вид [c.124]

Для осуществления перехода от модели к натуре было использовано полученное И. Я. Штаерманом [5] решение контактной задачи о сжатии двух тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны. Уравнение контакта двух тел, выведенное из их перемещения под действием распре- [c.172]

Исследование теплофизических характеристик кабельной бумаги К-12. В литературе отсутствуют исследования коэффициентов переноса тепла кабельной бумаги. Имеющиеся данные по другим сортам бумаги не могут быть приняты для расчетов и исследования теплообмена в кабельной изоляции. На основе критического сопоставления различных методов для определения а, с и i влажных материалов был принят метод Г. А. Максимова. В основу его было положено аналитическое решение задачи на нагревание двух тел (ограниченный и полуограниченный стержни), впервые предложенное А. В. Лыковым. При исследованиях влажность бумаги изменялась от О до 60%. Результаты исследований представлены в виде графиков и формул. Для зависимости получена формула [c.209]

В приближении Ландау. С другой стороны, при онисании столкновений частиц, в которых они сближаются друг с другом на малые расстояния, взаимодействие нельзя считать слабым, вследствие чего разложение но степеням Фаб(А ) становится непригодным. Близким столкновениям соответствуют волновые векторы к > где Гц = е /Т — расстояние между частицами, на котором средняя энергия взаимодействия становится порядка средней кинетической энергии. Строго говоря, чтобы описать такие столкновения, необходимо воспользоваться точным решением задачи двух тел. Иными словами, мы должны вернуться к интегралу столкновений Больцмана. Впрочем, с физической точки зрения ясно, что столкновения, соответствующие большим А , не могут играть существенной роли в слабо неидеальной плазме, поскольку в них могут участвовать лишь частицы, кинетическая энергия которых значительно превышает среднюю. Эти соображения, а также слабая зависимость интеграла в формуле (3.4.35) от пределов интегрирования оправдывают часто используемое обрезание расходимости интеграла столкновений Ландау, а именно, ограничение сверху и снизу области интегрирования по волновому числу [c.222]

В указанной задаче движение точек с конечными массами определяется с помощью задачи двух тел и считается известным. Поэтому в ограниченной задаче трех тел следует найти движение лишь одной точки малой массы. Известно, что эта задача, даже несмотря на упрощенную постановку, не проинтегрирована в квадратурах. [c.416]

Рассмотрим в общем виде решение задачи о контакте двух тел, ограниченных плавными поверхностями и находящихся в условиях нелинейной ползучести, при степенном законе связи между деформациями и напряжениями (1.6). [c.231]

Бросается в глаза внешнее сходство дифференциальных уравнений общей задачи двух тел и ограниченной задачи [c.44]

В ограниченной задаче двух тел, как мы видели в 3 главы II, полная энергия спутника остается постоянной в течение всего времени его движения. То же имеет место и для его секториальной скорости, а значит, и для его кинетического момента. А в ограниченной задаче трех тел меняется и энергия (Е) спутника, и его кинетический [c.241]

Ограниченная задача двух тел законы Кеплера [c.271]

Рассмотрим сперва так называемую ограниченную задачу двух тел найти движение материальной точки, на которую действует центральная сила (притяжения или отталкивания). [c.271]

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 273 [c.273]

Мы рассматривали до сих пор так называемую ограниченную задачу двух тел, т. е. мы предполагали, что одно из них неподвижно и не притягивается никакими другими телами отбросим теперь эти ограничения. [c.283]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

Пример 7.3. Ограниченная задача двух тел. Предположим, что масса [c.56]

Определить совокупность начальных данных, при которых в задаче двух тел расстояние между телами во время движения остается ограниченным. [c.68]

Случай нагрузки, распределенной на границе полупространства, послужил Герцу исходным пунктом для решения задачи о сжатии двух тел, ограниченных кривыми поверхностями. В теории Герца формула (9.96) является основной. Эта же формула лежит в основе многих работ, касающихся теории расчета грунтов как упругих оснований для различного рода зданий и сооружений. [c.276]

Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью метода Н. Н. Боголюбова [32] и его вариантов, разработанных для задач с быстрыми и медленными переменными [33] и специально для планетных задач [34] — 36]. [c.432]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

При Е <0 разрешенной областью является кольцо, ограниченное окружностями с радиусами и г , поэтому движение ц-частицы при < О является финитным. В эквивалентной задаче двух тел финитному движению ц-частицы соответствуют связанные состояния частиц т и т , т. е. такие состояния, когда взаимодействующие между собой частицы тх и т образуют единую систему (например, электрон и протон в связанных состояниях образуют атом водорода, а два взаимодействующих атома Л и В — двухатомную молекулу А В). [c.111]

Вот почему в космонавтике оказывается весьма удобным при примерных расчетах ( в первом приближении ) почти всегда рассматривать движение космического аппарата под действием одного притягивающего небесного тела, т. е. исследовать движение в рамках ограниченной задачи двух тел. При этом удается получить важные закономерности, которые совершенно ускользнули бы от нашего внимания, если бы мы решились изучать движение космического аппарата под влиянием всех действующих на него сил. [c.60]

Более детально разработана проблема использования Луны в качестве сырьевой базы для индустриальных комплексов на орбитах вокруг Земли. Предполагается, что из лунного реголита, залегающего на поверхности, могут быть добыты металлы, а также такие хорошие строительные материалы, как стекло и керамика [3.52]. Добытое сырье, заключенное в контейнеры, будет разгоняться с огромными ускорениями (порядка 500 в электромагнитных пушках , причем будет использоваться магнитная подвеска. Этот принцип предлагается для поездов и на Земле (в Японии ожидался пуск такого экспресса, развивающего скорость 300 км/ч и связывающего Токио с окрестностями), однако подлинный эффект должен достигаться на Луне в отсутствии атмосферы — возможно достижение скорости 10 км/с. Агрегат массой 3500 т сможет в течение года выбрасывать с Луны в горизонтальном направлении 600 ООО т породы [3.53]. Порода накапливается вблизи точки либрации 2 в помещенном там коническом мешке. По расчетам для накопления массы 100 ООО т мешок должен иметь длину 150 м и диаметр основания 50 м и обладать массой 6157 т (из которых только 137 т приходится на сам мешок, а остальное на двигатель, баки с топливом и ядерную энергетическую установку) [3.54]. Если бы можно было решать задачу прибытия в точку в рамках ограниченной задачи двух тел, то следовало бы установить электромагнитную пушку в центре видимой стороны Луны и совершать перелеты в 2 по полуэллиптической траектории (продолжительность перелета 6 сут, начальная скорость близка к параболической — 2,4 км/с). Но здесь мы вынуждены оставаться в рамках задачи трех тел. Поэтому наша пушка должна быть расположена на плоскогорье в [c.299]

Ранее была рассмотрена классическая задача двух тел в предположении, что масса одного тела существенно меньше массы другого тела. Эта фундаментальная задача явилась основой для построения решения многих прикладных задач механики космического полета. Более сложной, хотя и не имеющей такого широкого применения в прикладном аспекте, является классическая задача трех тел, которые совершают движение под действием взаимного притяжения, определяемого ньютоновским законом. Общая постановка задачи трех тел предполагает соизмеримость их масс. Это условие не выполняется в задачах механики космического полета, так как масса КА на много порядков меньше массы небесных тел. Ограниченная задача трех тел предполагает, что одно из тел имеет бесконечно малую массу по сравнению с массами двух других тел, имеющих соизмеримые массы, и не оказывает воздействия на их движение. [c.208]

Загребина — Рязанова формула 29 Задача двух тел 30 --— ограниченная 32, 33 [c.442]

Ограниченная задача трех тел. Рассмотрим, наконец, задачу трех тел с массами т , тп , mj, в которой масса т является пренебрежимо малой по сравнению с то и mi. В этом случае движения mg и mj не подвергаются заметному влиянию возмущений со стороны mg но тогда они представляют собой движения в задаче двух тел, и их можно считать полностью известными. [c.223]

Для небесной механики и космодинамики наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она не интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах. [c.244]

Решение нек-рых контактных задач для упругих тел впервые дано Г. Герцем (G. Hertz). В основу его теории К. н. положены след, предположения материал со прикасающихся тел в зоне контакта однородеи и следует закону Гука линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся иоверхностей в окрест-иости точек контакта силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. При этом найдено, что при сжатии двух тел, ограниченных плавными поверхностями, площадка контакта имеет форму эллипса (в частности, круга или полоски), а пнтенспвпость распределения К. н. но этой площадке следует эллипсоидальному закону. [c.445]

В этом разделе выпишем также уравнение движения непритягивающего спутника т. Поскольку в этом случае т <С М, то можно пренебречь ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру М. В результате получим ограниченную задачу двух тел — задачу о непритягивающем спутнике. В этой задаче можно поместить начало инерциальной системы координат (точку О) в притягивающий центр М. Имеем тогда р = г, R = О и уравнение относительного движения спутника [c.405]

Мы, таким образом, имеем дело со следующей задачей, которую можно назвать ограниченной задачей двух тел или задачей о непритягивающем (пассивно гравитирующем) спутнике изучить движение материальной точки (Р, т) спутника) в ньютоновском поле тяготения другой материальной точки (Л., М) притягивающего центра) при допущении, что спутник вовсе не притягивает к себе притягивающий центр. [c.42]

Мы здесь пока не делали никаких предположений относительно параметра К. Допустим теперь, что речь идет об ограниченной задаче двух тел, то есть о движении малого (непритягивающего) спутника. В таком случае /С = /М, где М — масса притягивающего центра, и [c.81]

Из анализа эллиптических движений (/г < О или е < 1) в задаче двух тел ( 7(р) 1/р) следует, что независимо от начальных данных, когда ф изменяется на 2т1, радиус р совершает полное колебание, например от р1 до р2 и обратно до р1, т.е. значение р(фо) совпадает с р(фо + 2к). Можно показать, что такой периодический характер движения сугцествует только при С/(р) 1/р и С/(р) р . Во всех остальных случаях Щр) для почти всех начальных данных, при которых движение остается ограниченным, период полного колебания по р не будет рационально соизмерим с 2к. Например, для потенциала С/(р) = - х/р + е/р , где е - малое число, в общем случае движение в конфигурационном пространстве (р, ф) происходит уже по незамкнутой кривой, типа представленной на рис. 107. Если е достаточно мало, то движение на каждом обороте близко к движению по эллипсу, однако угол со, который определяет положение перицентра эллипса, медленно, со скоростью, пропорциональной 8, изменяется с течением времени. К такому эффекту приводит учет, например, в задаче двух тел песферичности одного из тел или эффектов общей теории относительности. При этом так же, как для задачи о движении точки по поверхности (см. 4.10), для специальных начальных данных траектория движения в плоскости (р, ф) может замкнуться через п оборотов, число которых будет велико при малом 8. [c.281]

А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождаюгциеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на сугцествование симметричных семейств. Однако доказательства их сугцествования [7-9], использую-гцие только условие периодичности, были ошибочны [10-12. [c.133]

Суш ественно дополнены новыми задачами главы 1, 4, б, 7. В главу 1 введен новый раздел Космодинамика . Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о гравитационном ударе при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу б вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел Электромеханика содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во враш аюш емся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. [c.5]

При этом ньютоновский центр расположен в точке 71 = 72 = О, 73 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для 6 , так и для "З), при этом изображающая материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на 6 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. [c.338]

До сих пор мы рассматривали ограниченную задачу двух тел, предполагая, что масса космического объекта настолько мала, что притяжение им центрального тела никак не сказывается на движении центрального тела. В случае, однако, естественных небесных тел дело обстоит не так. Центральное тело под действием другого тела совершает некоторое движение, которое, естественно, отражается на движении второго тела, которое, в свою очередь, действует на центральное тело, и т. д. Оказывается, что в конечном счете оба тела совершают кеплеровы движения относительно общего центра масс (барицентра) с равными периодами обраи ния, определяемыми по формуле (5 ), справедливой для ограниченной задачи двух тел, но величина К в этой формуле теперь имеет значение /< —/(М+т), а под величиной а следует понимать сумму полуосей обеих орбит. [c.66]

Движение непритягивающего спутника. Во многих задачах небесной механики т < ЛГ и оказывается возможным пренебречь ускорением, которое спутник т сообщает притягивающему центру М. В результате придем к ограниченной задаче двух тел (или задаче о непритягивающем спутнике). Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М (Р1 = г, р2 = 0) и записать уравнение относительного движения спутника в следующем виде [c.32]

Предположим, что три тела, массы и обозначения которых т, m2, тг, движутся под действием взаимного притяжения, определяемого законом Ньютона, причем ms m2решением задачи двух тел, рассмотренной в главе 2, Обсудим круговую ограниченную задачу трех тел. Тела т и то движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, находясь по противоположные стороны от пего. Расстояние между ппмп остается постоянным. [c.215]

В отличие от ограниченной задачи двух тел, где постоянны энергия непритягивающего тела и его момент количества движения, в круговой ограниченной задаче трех тел оказывается постоянной некоторая функция этих величин, определяемая соотношением [c.221]

Если же значение с тоже устремить к нулю и при этом то в пределе будем иметь ограниченную задачу двух тел масса М совершает гармонические колебания по закону Хо((), а масса т совершает вынужденные колебания в соответствии с уразнснием [c.54]

Задача трех тел в случае притяжения, определяемого ньютоновским законом, наиболее важна для космодинамики. Важнейшей разновидностью этой задачи является так называемая ограниченная задача трех тел, когда предполагается, что одно из тел имеет бесконечно малую массу т и, следовательно, не оказывает влияния на движение двух других тел (с массами ту и т . В ограниченной задаче трех тел конечные массы т и т движутся по кеплеров-ским орбитам, определяемым задачей двух тел. Со многих точек зрения удобно изучать движение т в системе координат, связанной с и т . В этой вращающейся системе координат упомянутым выше пяти точным решениям задачи трех тел соответствуют точки-положения равновесия. Точки, лежащие на прямой, проходящей через т и т , обозначают и Ьд, а точки, образующие равно- [c.9]

Теоретическая механика (1990) -- [ c.27 , c.205 , c.410 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.244 , c.325 ]

Аналитическая динамика (1971) -- [ c.562 , c.572 ]

Элементы динамики космического полета (1965) -- [ c.14 , c.42 , c.229 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.383 ]

Механика космического полета в элементарном изложении (1980) -- [ c.56 , c.60 ]

Основы механики космического полета (1990) -- [ c.32 , c.33 , c.208 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.170 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...