Матрица аппроксимирующих функци конечного элемента

Формулы (4.1), (4.2), (4.8) показывают, что при известной матрице аппроксимирующих функций а напряженное и деформированное состояние конечного элемента однозначно определяется узловыми перемещениями v . [c.110]

Добавление внутренних узлов позволяет улучшить жесткостные характеристики конечных элементов и, следовательно, повысить точность решения. Улучшение характеристик получается за счет повышения числа степеней свободы конечного элемента по сравнению со случаем, когда имеются только внешние узлы. Однако введение дополнительных узлов требует полной перестройки матрицы аппроксимирующих функций а. Удобнее взять за основу базовый конечный элемент с одними только внешними узлами и добавить некоторые дополнительные функции распределения перемещений, не связывая их с введением новых узлов. Рассмотрим такой подход более подробно. [c.156]

Совместный прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1—3) приведены аппроксимирующие функции (1.22) для этого совместного конечного элемента (рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для напряжений равен а для перемещений h. Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.22), (2.5), приведена в табл. 2.4, в которой принято [c.36]

Несовместный прямоугольный элемент с тремя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1.3) приведены аппроксимирующие функции (1.25) для этого несовместного конечного элемента (см. рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для на-, пряжений и перемещений равен h . Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.25), (2.5), приведена в табл. 2.5. В ней принято [c.38]

Построим матрицу жесткости для первого конечного элемента. Примем полилинейные аппроксимирующие функции. Тогда горизонтальные перемещения по области определятся из выражения и=х(1—г/) U=(fiU, а вертикальные из V=x(l—y)V= [c.70]

Здесь а — прямоугольная матрица, в которой количество строк равно числу компонент матрицы и, а количество столбцов — числу компонент матрицы v. Элементами матрицы а являются некоторые функции координат (аппроксимирующие функции). Выбор подходящих функций, как отмечалось ранее, представляет собой важный этап в методе конечных элементов. Для некоторых элементов этот вопрос будет рассмотрен ниже. Здесь же мы будем предполагать, что аппроксимирующие функции уже известны. [c.109]

Это соотношение связывает узловые силы с узловыми перемещениями в стандартной форме (3.2), поэтому матрицу к , определяемую по (4.11), можно назвать матрицей жесткости конечного элемента. Из (4.11) видно, что при известной геометрии конечного элемента и заданных упругих характеристиках материала матрица жесткости вполне определяется выбором аппроксимирующих функций. [c.112]

Пусть некоторый конечный элемент имеет узлы t, /,. .. н пусть для него выбрана система аппроксимирующих функций, составляющих матрицу . Построим теперь Новый конечный элемент, для которого распределение перемещений внутренних точек определяется равенством [c.156]

Здесь интегрирование ведется по площади F конечного элемента через а обозначена матрица функций, аппроксимирующих перемещение через v в соответствии с равенством и г == a v . [c.244]

Конструкция представляется в виде совокупности треугольных конечных элементов. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения узлов сетки этих элементов. Эти перемещения могут быть аппроксимированы либо линейной функцией, либо полиномом второй степени. После этого в соответствии с принятыми закономерностями метода конечных элементов составляются матрицы жесткости для элемента ребра, элемента тела вращения и вычисляется матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений. Решение этой системы производится методом квадратных корней. [c.199]

Используем равенство (3) для получения матриц треугольного элемента, показанного на рис. 2.6. Закон изменения функции и (дс, у) по полю конечного элемента можно аппроксимировать степенным полиномом вида [c.64]

Представленная последовательность расчета по МКЭ инвариантна по отношению к виду рассчитываемой конструкции. Исключение составляет процесс формирования матрицы жесткости, который зависит от типа конечных элементов. В работе ИЗ], например, приводятся матрицы жесткости для различных типов конечных элементов, а также соответствующие им аппроксимирующие функции. Заметим, что в пределах одной конструкции могут применяться различные типы конечных элементов. Членение несущей конструкции на мелкие конечные элементы приводит к значительным затратам машинного времени, и поэтому прн проведении конкретных расчетов целесообразно применять более крупные элементы, а требуемую точность достигать путем использования полиномов аппроксимирующих функций более высокого порядка. [c.144]

Из общих теорем функционального анализа следует, что такое построение всегда возможно, если аппроксимируемая функция обладает достаточной гладкостью [8], [42]. В частности это всегда осуществимо, если функция имеет конечное число разрывов на конечном интервале изменения независимой переменной. Таким образом, матрицы В, С можно аппроксимировать матрицами В, С с, кусочно-постоянными элементами так, чтобы выполнялись условия аппроксимации (25.3). [c.149]

Последовательность расчета системы, набранной из суперэлементов, аналогична приведенной ранее (см. п. 4.1) с той лишь разницей, что матрица жесткости и узловые нагрузки определяются в результате расчета. Так как суперэлемент представляет сам по себе достаточно сложную систему, то матрицы аппроксимирующих функций фс строятся при помощи численного расчета суперэлемента на единичные смещения суперузлов, в результате которого строится матрица влияния, связывающая перемещения внутренних узлов суперэлемента с единичными смещениями суперузлов. Такая процедура обработки суперэлементов позво- ляет представить метод суперэлементной рекурсии как расчет по методу конечных элементов с построением аппроксимирующих функций при помощи матриц влияния. [c.109]

Из структуры элементов дифференциальной матрицы В следует, что обобщенные перемещения V, V2, tfii и Ups входят в функ-дионал под оператором первых производных, а и г зз — под оператором, вторых производных. Поэтому их аппроксимации по элементу и соответствующее им число степеней свободы будут разными. Для существования функционала потенциальной энергии необходимо, чтобы аппроксимации Ux, Uy, я 3г (t=l, 2) -обеспечивали существование первых производных. Например, в данном случае для треугольного конечного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции типа (2.6), а для прямоугольного— (1.20). Аппроксимация Uz и tjja должна обеспечивать существование вторых производных. Например, для треугольного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции (2.8), а для прямоугольного— (1.25) или (2.6). [c.64]

Напомним, что в случае стержневых систем (см. 3.6) внеузловая нагрузка учитывалась введением матрицы уравновешивающих сил (матрицы, которая содержит реакции на элемент от действия внеузловой нагрузки при полном закреплении узлов). Здесь использован иной подход, при котором внеузловая нагрузка заменяется статически эквивалентной системой узловых сил Р. При желании можно было бы и в методе конечных элементов ввести матрицу уравновешивающих сил Pj, полагая Р = —Р . Отметим, однако, что в отличие от стержневых систем матрица Р может быть определена здесь лишь приближенно, поскольку ее компоненты зависят не только от характера внешней нагрузки, но также и от выбора аппроксимирующих функций, как это видно из [c.114]

Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится на непересекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая переменная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функцией специального вида (например, полиномом невысокой,степени) на каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области. Параметры >тих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с последующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравнений относительно указанных параметров, матрица которой обладает замечательным свойством—ова- является ленточной, очень удобной для решения системы-на ЭВМ. [c.13]

При использовании МКЭ расчетная область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элементов используются треугольники и четырехугольники, для трехмерных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конечного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции, которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для нахождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу элементов составляется система алгебраических уравнений либо методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выбираемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо методом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения задачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений является сильно разреженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ширина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная нумерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повысить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимулировал развитие специальных методов решения систем с сильно разреженными матрицами [79, 80]. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...