Уравнения равновесия положение точек до деформации

Векторные уравнения равновесия стержня. При исследовании статики стержня введем две системы координат неподвижную декартовую с единичными векторами i, (рис. 3.1), относительно которой определяется положение стержня, и подвижную, жестко связанную с сечениями стержня, относительно которой рассматриваются малые упругие деформации элемента стержня. Дуга S осевой линии отсчитывается от некоторой фиксированной точки, выбор которой произволен. [c.66]

Если уравнения совместности деформаций, имеющие чисто геометрический характер, могут быть составлены с любой степенью точности чисто аналитически, минуя эксперимент, а уравнения равновесия, опирающиеся на общие для всех тел и хорошо известные давно установленные экспериментальные факты, не нуждаются в опытной проверке, то последняя система — система определяющих уравнений — может быть составлена лишь на основании эксперимента, выясняющего характер сопротивления каждого тела внешним воздействиям. Поэтому мера достоверности теории полностью зависит от идейной полноценности и точности эксперимента, положенного в ее основу, и от адекватного отображения результатов этого эксперимента в математическом аппарате теории через определяющие уравнения. Отмеченным фактом обусловлено фундаментальное значение для всей механики твердого деформируемого тела тех экспериментов, которым посвящена настоящая книга. [c.8]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Обратимся к рассмотрению деформаций того же элемента, для которого мы составили уравнение равновесия. Обозначим через и (г) радиальное перемещение точки, находящейся на расстоянии г от оси (точки р ш д т рис. 221). Элемент рд займет -положение р д (рис. 222) если дуга рд равнялась г ф, дуга р д равна (г -и)й<р. Относительное удлинение элемента рд мы обозначим через 6 , причем [c.319]

При составлении уравнений, вытекающих из условий равновесия, для определения нагрузок в элементах конструкций изменение размеров элементов не учитьгаается (принцип начальных размеров), хотя расчет деформаций и перемещений может ставиться как самостоятельная задача. Как показано на рис. 9.4, при определении момента на опоре от силы Р изменение положения точки приложения силы не учитывается, хотя может быть поставлена задача нахождения малого по величине прогиба / Учет перемещений производится при расчете гибких элементов (пластинчатых пружин, измерительных элементов приборов и т. д.). [c.150]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ, ОПРЕДЕЛЯЮПЦК ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК ТЕЛА ДО ДЕФОРМАЦИИ [c.30]

Уравнения (1.2.17) и (1.2.18) в совокупности с равенствами вида ст,у=ау форхгу.тируют условия равновесия в линейной 1классической) теории упругости, которая при состадлении уравнений равновесия объемного элемента не делает различия в положении его точек до и после деформации. [c.32]

В данном примере были умышленно описаны все шаги решения, чтобы показать основные положения метода перемещений при использовании первой теоремы Кастилиано, несмотря на то, что конструкция является очень простой и было бы гораздо проще исследовать ее как статически определимую конструкцию. При использовании метода перемещений требуется решить систему из двух уравнений, поскольку ферма дважды кинематически неопределима. Однако, поскольку конструкция статически определима, ее можно рассчитать следующим образом 1) из уравнений равновесия найти усилия в стержнях 2) подсчитать возникающие в стержнях напряжения, разделив усилия на площади поперечных сечений 3) используя зависимость напряжения от деформации, вычислить деформации в стержнях 4) зная деформации, определить удлинения стержней 5) построить диаграмму Виллио (см. разд. 1.5) и по ней найти перемещения ОхК узле В. [c.497]

Разгрузочное состояние. Рассматриваемая модель конечных упругопластических деформаций обладает исключительной для подобных моделей особенностью результат разгрузки не зависит от его пути в пространстве напряжений. Поэтому учет конечности деформаций не вносит принципиальных сложностей и разгрузка может рассматриваться по той же схеме, что и при малых деформациях. Если уровень накопленных пластических деформаций незначителен, то повторного пластического течения не возникает. В этом случае следует проинтегрировать уравнение равновесия (квазистатическое приближение) в двух областях в области г р г Rp, где пластические деформации отсутствуют, и в области Sp г < rip, где пластические деформации неизменны (идеальная пластичность). Зададим значение Тр = Rp/Ro, тогда /(тр) = Тр — 1. Значение производной / тр) по заданному параметру Тр находим из условия задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.7). Положение границы пластической области в материальных координатах (переменных Лагранжа) не изменилось, но пространственная ее координата rip вследствие деформирования стала другой. Таким образом, возникает второй, наряду с Тр, пристрелочный параметр Tip = ripR . [c.91]

В сферической системе координат положение точки М определяется тремя координатами г, ф, 0. Координатными поверхностями в этой системе являются сферы г = onst, круговые конусы ф == = onst и полуплоскости 0 = onst. Соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемеш ения и уравнения равновесия в сферической системе координат запишутся в виде [c.16]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Рассмотрим теперь, каким образом парная дислокация i сверхрешетке взаимодействует с частицами. Расчеты в этом случае выполняют по принципам, выработанным Гляйтером и Хорнбогеном [21], но используют уравнения, предложенные другими авторами [20], [22]. В то время как первая дислокация просто вызывает сдвиговую деформацию частиц (см, рис.3.5), вторая дислокация увлекается вперед теми АРВ, которые остаются во всех частицах, перерезанных первой дислокацией. При условии, что обе дислокации одинаковые по форме, а расстояние х между ними достаточно мало, но больше г , вторая дислокация может располагаться вне всех этих частиц. Такое положение возможно, когда длительность старения велика. Следовательно, в состоянии равновесия полное напряжение продвигающее вперед вторую дислокацию, уравновешивается отталкивающей силой, действующей между этими двумя дислокации, т.е. [c.96]

Статическая объемная сила F производит такую изотермическую деформацию относительно положения статического равновесия, при которой возникают напряжения, уравновешивающие объемную силу, так что не возникает ускорений. Отсчитывая и от поло/кения статического равновесия, а S от равновесного значения энтропии, получаем уравнения для новых величин и, 5 и Г, которые подобны уравнениям (1.329) и (1.330), но в них отсутствует объемная сила. Кроме того, если плотность р заменить на (>о, то в соответствии с формулой (1.202) эти уравнения будут по-прежнему справедливы в первом порядке по градиентам смещений. Для удобства мы сохраним те же символы р, и, S, но теперь под U будем понимать смещение относительно положения статического равновесия, под S — изменение энтропии по отношению к значению энт])оиии ири статическом равновесии при этом коэффициенты вычисляются для величин, характеризующих исходное равновесное состояние. Имея это в виду, получим уравнения движения в следующей форме [c.98]

В предыдущем Изложении (см. т. I, уравнение (а), стр. 303 )) было показано, что если упругая система претерпевает малое перемещение из своего положения равновесия, то соответствующее увеличение потенциальной энергии деформации системы равно работе, совершенной внешними силами на таком перемещении. Когда упругая кривая представлена рядом (а), беск9-нечно малые перемещения можно получить бесконечно малыми вариациями коэффициентов в а , Лд,. .. Если любому коэффициенту дать приращение dOn, то вместо члена ап sin (ител //) мы будем иметь в ряде (а) член [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...