Решение асимптотически асимптотически устойчивое

Наконец, третья область содержит решения, только асимптотически устойчивые по отношению к высшему решению [c.292]

Описанная выше процедура усреднения на текущем периоде колебаний по сути дела привела к тому, что относительно новых переменных Л о, Л/, В,- система стала автономной (т. е. не зависящей в явном виде от времени). Этой системе соответствуют уравнения в вариациях с постоянными коэффициентами (2.44). Тогда, применяя к системе (6.101) критерий Гурвица (см. п. 6), получаем условия, при которых исследуемое периодическое решение оказывается асимптотически устойчивым [c.289]

Устойчивость решения Ид (7) = 7 зависит от знака параметра р. Если р>0, то это решение, очевидно, асимптотически устойчиво. При р=0 оно устойчиво по Ляпунову, а при Р<0 неустойчиво. Во всех трех случаях решения уравнения не ограничены при 7—>ос (рис. 7.2.1). [c.462]

Решения линейной системы оказываются ограниченными и, в силу теоремы 2 из 36, сама система является устойчивой, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устойчивой. Теорема доказана. [c.159]

Возмущенное движение описывается линейными уравнениями с переменными коэффициентами xi = Pik t)xk i = 1,п, где Pik t) = —Pki t) SI Рц —у < 0. Показать, что нулевое решение системы асимптотически устойчиво, используя функцию Ляпунова [c.285]

F <0 в области (6.8), 2) V может быть равна нулю лишь в точках множества М, не содержащего целиком полутраекторий системы (1.1) X (xq, iq, t) (О < < оо) (за исключением а = 0), то решение х — асимптотически устойчиво и область д <Яо лежит в области притяжения точки д 0. [c.24]

Определение. Стационарное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову [c.28]

Таким образом, стационарное состояние, которому соответствует решение (14), асимптотически устойчиво по отношению к переменным (р, если выполнено условие (17). [c.61]

Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид [c.219]

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

Невозмущенное движение системы называется асимптотически устойчивым в большом, если при любых иных начальных условиях, чем (3 ), решение системы уравнений (I ), начиная с некоторого определенного значения времени, будет отклоняться от решения 2 ) на величину, меньшую наперед заданной. [c.646]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Настоящая книга посвящена построению теории ползучести неоднородно-стареющих тел. Она состоит из шести глав. В гл. 1 приводится интегральная форма основных определяющих соотношений между напряжениями и деформациями, т. е. уравнений состояния дается постановка и формулируются условия, которые определяют решения краевых задач теории ползучести для наращиваемых тел, подверженных старению. Исследуется структура ядер ползучести и релаксации, которые отражают наиболее характерные особенности деформирования стареющих материалов во времени. Доказывается ограниченность и асимптотическая устойчивость решения краевой задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел с односторонними связями. [c.9]

Настоящая глава посвящена построению теории ползучести неоднородно-стареющих тел. Приводится интегральная форма линейных и нелинейных уравнений состояния, определяющих связь между напряжениями и деформациями. Дается постановка основных краевых задач теории ползучести для наращиваемых тел, подверженных старению. Исследуется структура ядер ползучести и релаксации, отражающих наиболее характерные особенности деформирования стареющих материалов во времени. Устанавливаются достаточные условия ограниченности и асимптотической устойчивости решений краевой задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел с односторонними связями как внутри, так и на границе этих тел. [c.12]

Определяющие соотношения и основные предположения. Асимптотическая устойчивость решения краевой задачи вязкоупругости для однородных тел без односторонних связей рассматривалась в [143], а разрешимость краевой задачи вязкоупругости в [357, 480, 544, 545, 555, 560]. Запишем обратный к (1.10) закон ползучести в форме [c.38]

Здесь /4 = 11 a,j Ц — квадратная матрица с постоянными элементами, а f x) — столбец с элементами / (х,,. .., дг ) (i=l,. .., я). Поскольку по предположению нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво, то (см. 37) все характеристические числа. .., Х матрицы А имеют отрицательные вещественные части [c.220]

Если бы уравнения возмущенного движения были линейными, то по их общему решению, (4) или (5), вопрос об устойчивости невозмущенного движения решался бы очень просто в частности, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости была бы отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения при наличии же хотя бы одного корня с положительной вещественной частью движение было бы неустойчивым. [c.529]

Заметим, что если форма F лишь знакопостоянная, то движение может и не быть асимптотически устойчивым, например, если Л = = О, то движение по координате х будет представлять гармоническое колебание. Если, однако, F— определенно-положительная форма, то обе переменные х vl у стремятся к нулю при оо. В самом деле, решения уравнений (10.11.11) строятся как линейные комбинации членов и где Xi, J12, [c.198]

В общем случае решение содержит члены вида t e . Если все постоянные Я имеют отрицательные веш ественные части, то О при f-н- оо, и система асимптотически устойчива по первому приближению. (Это следует из тог факта, что при положительных N ш к выражение стремится [c.464]

Рассуждая подобно тому, как это мы делали в 23.3, где рассматривался случай постоянной матрицы , можно из (23.4.16) установить тип решений для различных случаев. Если все характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то во всех случаях движение асимптотически устойчиво по первому приближению. (Это следует из того, что если 7V и А — положительные числа, то -> О, когда t-> оо.) Если все пока- [c.467]

Решение (18.23) позволяет заключить, что в результате возмущения прямолинейной формы равновесия при р < 1 возникают гармонические незатухающие колебания. Если бы было учтено сопротивление, то колебания оказались бы затухающими. Таким образом, вертикальная форма равновесия системы устойчива, а если учитывать сопротивление, то асимптотически устойчива. [c.317]

Если асимптотически устойчивый предельный режим R ((f) является решением уравнения (1. 35), то в рассматриваемых условиях он, очевидно, асимптотически устойчив в целом в смысле А. М. Ляпунова [22]. [c.32]

Следовательно, периодическое решение Г=Т ( р) уравнения движения (1. 35) экспоненциально устойчиво в целом при tp -> + оо. Поэтому оно является асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. [c.38]

В силу асимптотической устойчивости последнего любое решение Т=Т (уравнения движения (2.1) машинного агрегата для всех достаточно больших значений угла поворота tp звена приведения должно оказаться как угодно близким к режиму Т=Т (ф). Однако быстрота этого приближения существенно зависит от величины крутизны М т. ([c.58]

Многие проблемы нелинейной динамики машин тесно связаны с задачей отыскания или исследования поведения углового ускорения ведущего звена в соответствующих режимах движения. Наибольшее теоретическое и прикладное значение представляет решение указанной задачи для асимптотически устойчивых предельных режимов, лежащих в основе динамических расчетов, исследовании существующих и проектируемых машинных агрегатов. [c.142]

Таким образом, о)= ш (t) является асимптотически устойчивым предельным режимом угловой скорости ведущего вала вариатора по отношению к решениям <о= ш (t) уравнения (8.11), определяемым любыми допустимыми начальными условиями (8.26). [c.286]

Вторая область заполнена решениями, неустойчивыми по отношению к низшему решению (о= (t) и асимптотически устойчивыми при i Ч- оо по отношению к высшему решению ш = [c.291]

Следовательно, и в данном случае высшее абсолютно продолжаемое решение о) = со (t) является асимптотически устойчивым предельным режимом угловой скорости движения звена приведения машинного агрегата, а низшее решение ш= со (0 0 — неустойчивым предельным режимом. [c.294]

Мы не будем останавливаться и на других сомнительных случаях, рассмотренных Ляпуновым, при исследовании которых основную роль играет первый метод. Отметим только, что как в прежних системах, так и в этих последних имеются случаи, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым и это доказывается только вторым, методом. Во всех этих случаях мы не умеем строить решения в окрестности точкк покоя в промежутке t > о- Только в одном случае это удалось сделать в последние годы. [c.79]

Таким образом, при выполнении условия (2.59) равновесное состояние системы асимптотически устойчиво относительно тока i и напряжения и, а при выполнении условия (2.60) равновесное состояние системы неустойчиво. Случай R -- М требует дополнительного исследования, но практического интереса он не представляет, так как при небольшом парутонни )того условия (что всегда возможно, ибо все элементы системы инготовляются с определонньг-ми допусками) получится неустойчивая или асимптотически устойчивая система. В 4.5 разобранный здесь пример будет решен другим, более простым методом. [c.74]

Как уже указывалось, общее решение однородного уравнения есть сумма слагаемых, вид которых огфеделяется значениями корней характеристического уравнения. Если в этом решении какое-нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной величине, то возрастает ио абсолютной величине и вся сумма в целом. Принимая во внимание значения показателей степени в слагаемых (10.10) и (10.11), получаем, что присутствия одного положительного вещественного корня или одной пары сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью а/ >0 оказывается достаточным, чтобы значения ус. неограниченно возрастали. Следовательно, для асимптотической устойчивости движения звеньев механизма необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. [c.86]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Здесь, однако, уместно сделать качественный комментарий мы видим, что если на колебательное движение наложить вязкое трение, то вместо ограниченных колебаний будем иметь асимптотическое стремление к нулю всех решений. Другими словами, устойчивая линейная система превращается в асиптотически устойчивую. Заметим (но это выходит за рамки настоящих лекций), что сделанное частное наблюдение может быть расширено до одной общей теоремы из теории устойчивости. [c.18]

В области применения аналоговых вычислительных машин для решения конечных уравнений были созданы регулярные методы построения вспомогательных систем дифференциальных уравнений, базируюш иеся на втором методе Ляпунова и отличающиеся тем свойством, что асимптотически устойчивые точки покоя соответствуют корням исходной системы. [c.277]

Действительно, его обычная устойтавость непосредственно следует из того, что при Асимптотическая устойчивость в целом обеспечивается дополнительным предельным равенством (1. 37). Для предельных энергетических режимов R (ср), которые не являются решением уравнения (1. 35), первое требование, вообще говоря, не выполняется. Поэтому данное определение онравдано желанием не исключать из рассмотрения подобные режимы. [c.32]

Н. Н. Лузин показал, что в общем случае любого криволинейного профиля существует, и притом единственное, решение и= =щ (s) уравнения движения поезда (2. 48), определенное на всей числовой прямой Ei = (—оо, -foo) и асимптотически устойчивое при 5- +ОЭ. Его и называют установившимся режимом движения поезда. Скорость установившегося режима движения поезда, рассматриваемая как функция расстояния, равна [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...