Решение асимптотически устойчивое по математическому

Решение х (i) = О называют асимптотически устойчивым по математическому ожиданию нормы х , если оно устойчиво по математическому ожиданию нормы и, кроме того, выполняется условие [c.300]

Вторая группа задач включает такие задачи, которые не удастся проинтегрировать с помощью асимптотических разложений (хотя их математической моделью является скалярное дифференциальное уравнение 2-го порядка), но удается найти частные стационарные (равновесные) решения и исследовать устойчивость последних. Таких задач в математической литературе рассмотрено достаточно много. В зту главу включены те задачи, которые показались наиболее интересными с точки зрения выявления неожиданных фактов или оригинальных выводов. Читатель,. [c.61]

Решение сформулированной задачи в полной постановке связано со значительными математическими трудностями. В связи с этим возможны и целесообразны различные асимптотические подходы. Один из них связан с рассмотрением задачи устойчивости в чисто гидродинамической постановке, когда полностью пренебрегается влиянием тепловых факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при малых значениях числа Прандтля, когда возникающие температурные возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений скорости (такая ситуация, например, имеет место в жидких металлах, которые при нормальной вязкости обладают очень высокой температуропроводностью). Поэтому развитие возмущений можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком подходе следует пренебречь членом с подъемной силой в (1.24) и не рас- [c.12]

Говоря математически, если мы прилагаем к изучению задачи устойчивости уравнение Орра—Зоммерфельда и ищем четыре асимптотических решения, как в гл. 3, то первым методом мы найдем четыре пригодные решения. Однако ограниченность решения в бесконечности немедленно исключает два решения типа (3.4.9). [c.128]

После того как асимптотическая теория устойчивости была подтверждена экспериментально, ею начал заниматься ряд других исследователей, причем, к сожалению, часто не отдавая себе отчета о ее возможностях и проблематике. Трудность здесь заключается не в подборе закона приближения, а в надежном исключении ошибок, которые могут свести все расчеты к неправильным результатам, аналогично тому, как экспериментатор может потратить много сил на исключение несущественных влияний в ущерб основной цели. С математической точки зрения здесь идет речь о не совсем обычной задаче не взаимно сопряженных собственных значений, поэтому возможность решения на первый взгляд не очевидна. Например, Ф. Нётер был настолько уверен в неразрешимости задачи, что даже привел специальное доказательство [c.13]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Законы Кассини легли в основу физической либрации Луны. Впервые им было дано объяснение на основе линеаризованных уравнений движения Лагранжем [7] и Лапласом [8]. Более строгое математическое обоснование было дано в работе [18] на основе асимптотических методов теории колебаний. Там же исследовалась устойчивость решений, соответствующих движениям по Кассини. [c.770]

Классификация структурно устойчивых каустик и выяснение основных особенностей поведения вькокочастотного волнового поля в их окрестности явились значительным достижением математической физики и имеют большое познавательное значение. Однако при решении приклад- ных акустические задач асимптотические разложения поля в окрестностях сложных каустик используются чрезвычайно редко. Это обусловлено тремя факторами. [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...