Форма равновесия системы устойчивая

Решение (18.23) позволяет заключить, что в результате возмущения прямолинейной формы равновесия при р < 1 возникают гармонические незатухающие колебания. Если бы было учтено сопротивление, то колебания оказались бы затухающими. Таким образом, вертикальная форма равновесия системы устойчива, а если учитывать сопротивление, то асимптотически устойчива. [c.317]

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива. [c.325]

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (ф = 0). Движение системы, выведенной из этого положения равновесия (рис. 18.10), описывается уравнением [c.297]

Статический анализ устойчивости системы. Выше, в разделе 2.2, устойчивость форм равновесия системы была оценена посредством аппарата, имеющего динамическую природу. Однако, что вытекает из приведенной в разделе 3.2 информации, в случае классического типа потери устойчивости для анализа может быть использован и статический аппарат. [c.308]

Возможные формы равновесия системы. Точки бифуркации. Воспользуемся приведенной в предыдущем разделе схемой анализа устойчивости применительно к системе с двумя степенями свободы (рис. 18.20). Это позволит нам продолжить исследование классического типа потери устойчивости как явления. [c.308]

Исследуем на устойчивость сначала прямолинейную форму равновесия системы (ф1 == О, ф2 0). Составим систему урав- [c.312]

Вывод об устойчивости рассматриваемой формы равновесия системы [c.321]

Итак, вопрос об устойчивости первоначальной формы равновесия системы, в частности равновесия первоначальной прямолинейной формы сжатого стержня, сведен к решению задачи об отыскании наименьшего собственного значения некоторого дифференциального оператора. [c.331]

Проанализировав знак второй производной полной потенциальной энергии по углу отклонения системы, можно установить, какие из ветвей полученного решения соответствуют устойчивым положениям равновесия. Для фп <я результат такого анализа изображен на рис. 1.13, 6. Как видим, поведение этой системы при Фо = О качественно отличается от поведения рассмотренной выше системы. При фо О критическая точка бифуркации второго типа трансформируется в критическую предельную точку l. При достижении этой предельной точки происходит потеря устойчивости исходной формы равновесия системы, причем поскольку в окрестности предельной точки нет новых устойчивых положений равновесия, система вынуждена скачком перейти в новое устойчивое положение, удаленное от исходного на конечное расстояние. [c.20]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

При увеличении силы Р сверх критического значения система становится динамически неустойчивой, и ее движение после малого начального отклонения Судет представлять собой колебания с неограниченно возрастающими амплитудами. Потеря устойчивости происходит в общем случае при значении Шкр ф О, поэтому отклоненной статической формы равновесия система не имеет. Но при очень большом моменте инерции концевой массы, когда р-> оо, значение Юкр О, и в этом случае динами-0 [c.413]

Во многих случаях действия тепловых напряжений (если рассматриваемая система является консервативной) для расчета критических напряжений или критических температур могут быть использованы методы классической теории устойчивости. Расчет критических температур в этом случае сводится к вычислению температурных напряжений и последующему исследованию устойчивости возможных форм равновесия системы под действием сил, вызванных температурным полем. Критические температуры оказываются тем выше, чем меньше соответствующие перепады температур и чем меньше деформированы конструкции. Таким образом, повышение степени термической устойчивости конструкции может быть достигнуто путем применения способов, подобных тем, которые используются для уменьшения опасного воздействия термических напряжений при других видах нарушения прочности. [c.214]

В статической теории устойчивости упругих систем рассматриваются качественные методы определения числа форм равновесия упругой системы при заданной нагрузке и методы оценки степени реальности каждой из этих форм. В современной теории устойчивости упругих систем определенное развитие получила первая проблема — качественное исследование числа форм равновесия системы. Оценка степени реальности каждой формы равновесия производится, как правило, сравнением уровней потенциальной энергии системы. [c.257]

При решении проблемы числа форм равновесия системы в основном стараются выяснить пределы изменения параметров нагрузки, при которых данная упругая система имеет единственную форму равновесия. Можно было бы предполагать, что эти пределы определяются первой точкой ветвления решений тех нелинейных уравнений, которые описывают деформацию упругой системы, а сама первая точка ветвления определяется как наименьшее собственное значение соответствующей линеаризованной краевой задачи. На пути отождествления этих трех понятий точки, определяющей область существования единственной формы равновесия упругой системы точки ветвления решений уравнений деформированного состояния упругой системы и наименьшего собственного числа линеаризованной задачи — и решались задачи устойчивости еще со времени Эйлера [27]. В некоторых случаях такая концепция получила теоретическое обоснование. Эти вопросы рассматривались в известной работе Ф. С. Ясинского [28] и окончательно решены для шарнирно-опертого стержня в работе [1]. Вместе с этим совершенно очевидно, что отождествление всех трех указанных понятий далеко не всегда правомерно, и этот вопрос должен быть рассмотрен в первую очередь. [c.257]

Полное решение первой проблемы устойчивости — определение числа форм равновесия системы можно представить себе на примере задачи х следующим образом [6, 7, 10, 11]. В 16 были уста- [c.257]

Положим, что стержень (рис. 512) сжат силой Р, меньшей критического значения, В этом случае он находится и устойчивом положении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему поперечную нагрузку (сила Р ). При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и Р совершат работу, и результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде следующего уравнения [c.441]

В отличие от статического можно говорить и о динамическом подходе. В этом случае при анализе устойчивости рассматриваются не формы равновесия, мало отличающиеся от заданной, а изучаются законы движения системы после тою, как ей было сообщено некоторое отклонение от исходного состояния. Если движение происходит так, что исходное положение равновесия восстанавливается, то это положение считается устойчивым. [c.452]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при д = = 2 = 0, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы. [c.456]

Если существует положение устойчивого равновесия системы, связи, наложенные на систему, предполагаются стационарными. На основании формул (11.27) — (II. 28с) кинетическая энергия системы со стационарными связями имеет вид квадратичной формы [c.228]

Рассмотрим последний вопрос. Действительно ли вертикальное положение маятника при силе, меньшей сИ, устойчиво, а при большей — неустойчиво. Почему, определяя силу, при которой существует новая соседняя форма равновесия, мы тем самым установили для исходного состояния условие перехода от устойчивого состояния к неустойчивому Этот вопрос в данном случае решается достаточно просто на основе энергетического подхода. То состояние, при котором энергия системы имеет минимум, устойчиво, максимум — неустойчиво. [c.124]

Отметим еще один принципиальный момент. Интеграл основного уравнения дает форму равновесной поверхности раздела фаз. Однако не все решения на самом деле можно наблюдать на практике. Меж-фазная поверхность должна не только удовлетворять условиям гидростатического равновесия, но еще и быть устойчивой, по крайней мере, к малым отклонениям формы от равновесного состояния. Это значит, что если произошло исчезающе малое отклонение формы от равновесной, система обязана вернуться в исходное состояние. Тогда такая форма устойчива (в малом). Если же, напротив, какое-либо незначительное отклонение вызывает дальнейшее прогрессирующее изменение формы, то система абсолютно неустойчива. На практике могут существовать лишь устойчивые равновесные состояния. Аналитическое исследование устойчивости равновесных форм поверхности раздела представляет собой достаточно трудную задачу. [c.92]

I равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными l са 100//, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы fi н h главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь h = /j = /. [c.426]

Проводя расчеты на прочность и жесткость при различных деформациях, мы полагали, что во время деформации любой системы имеет место единственная заранее известная форма равновесия. В действительности же в деформированном состоянии равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустойчивым. [c.560]

Из этого соотношения, которое дает правильную качественную картину явления, следует, что при F < / р-э величина а мнимая, т. е. отличных от прямолинейной формы равновесных состояний нет. При F > имеем вещественные значения а и возрастанию величины F соответствует рост амплитуды а. Таким образом, силе F > F p.% соответствует искривленная равновесная форма стержня. Более строгий анализ показывает, что при F < 5кр., прямолинейная форма равновесия неустойчива, а искривленная форма будет" устойчивой формой равновесия. Это следует из того, что при F > кр. в потенциальная энергия системы для прямолинейной формы равновесия имеет максимум в сравнении с другими близкими искривленными формами-состояниями, а потенциальная энергия системы в равновесном искривленном состоянии имеет минимум в сравнении с другими близкими состояниями системы. [c.357]

Исходя из того, что в СОСТОЯНИИ устойчивого равновесия система обладает меньшей потенциальной энергией, чем в любой смежной форме, показать без вычислений, что энергия деформации пластинки, изображенной на рис. 131, будет либо уменьшаться, либо оставаться постоянной, если сделан разрез АВ. [c.279]

В основе анализа устойчивости упругих систем лежит определение условий существования соседних форм равновесия. Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый угол (рис. 13.5, 6). По какой причине это произошло, не имеет никакого значения. [c.509]

Форма равновесия упругой системы, нагруженной внешними силами, является устойчивой, если, будучи выведенной из состояния равновесия небольшой дополнительной силой, система после прекращения действия этой силы возвращается в искомое состояние. [c.483]

Устойчивость формы равновесия упругой системы зависит от ее размеров, материала, значений и направления внешних сил. Прямолинейная форма равновесия центрально-сжатого стержня (см. рис. 13.2, а) устойчива при малых значениях сжимающей силы и неустойчива, когда значения этой силы [c.483]

Во всех задачах, которые рассматривались выше, неизменно отождествлялись два понятия потеря устойчивости и существование иных форм равновесия, кроме исходной . Поэтому в данном случае мы оказываемся перед выбором либо отказаться от привычного и глубоко укоренившегося отождествления указанных понятий, либо же принять, что система сохраняет устойчивость При любых значениях силы Р. [c.295]

В системах, допускающих анализ устойчивости на основе исследования форм равновесия, г. е. в обычных системах, динамический критерий дает те же результаты, что и статический. Рассмотрим, например, ту же самую стержневую систему в условиях нагружения силой, сохраняющей свое направление (рис. 389). В этом случае взамен уравнений (1) получаем [c.299]

Рис 18.11. К исследованию устойчивости формы равновесия системы при наличии излома в очертании оси в узле В а) форма равновесия с изломом в оси в узле В и возмущеХйе этой формы 6) к составлению дифференциального уравнении движения системы, возникающего вследствие возмущения, внесенного в отклоненную (с изломом в оси в узле В) форму равновесия. [c.300]

I равен О, Полагая коэффициенты жесткости пружин равными С1 = сз = 10О//, определить устойчивость равновесия системы, а также чз9тоты и формы fl и /а главных колебаний системы. /Час-сой пружин пренебречь /1 = /г = /. [c.426]

Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют как потенциальные силы, так и другие заданные силы F, F ,. .., Fn. Ограничиваясь случаем системы с двумя степенями свободы со стационарными связями, будем определять ее положение независимыми обобщенными координатами q и q , отсчет этих координат производится от состояния устойчивого равновесия, в котором система находилась бы при действии только потенциальных сил. Потенциальная энергия Xl(qi,q2) в этом положении имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fs малом отклонении от него в новое положение равновесия выражается знакоопределенной положительной квадратичной формой вида (4). [c.572]

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях орямо-линейная форма стержня всегда является возможной формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р невелика, то положение останется таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) > О, всегда можно указать такую конечную величину е>0, что при (31 <е вели- чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины т], т. е. будет 1г 1<г . Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р . При Р> Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...