Двумерные задачи окружности

Заметим, что, несмотря на внешнее сходство определений величины I, по формуле (23) и Т (без кинетической энергии Т) по формуле (13), следует подчеркнуть, что путь интегрирования в определении Т, используемый в работах [79, 84—88], в двумерных задачах представляет собой окружность радиуса е, движущегося параллельно оси роста треш,ины, длина которой переменна и равна о центр окружности располагается в подвижной вершине трещины. [c.75]

В этой главе рассмотрены параметры разрушения трещины, которые определяют как квазистатический, так и динамический рост трещины, находящейся в упругом или упругопластическом материале. Для двумерных задач, например, эти параметры определяются с помощью интегралов, контур интегрирования которых представляет собой окружность Ге с радиусом е, где Е — бесконечно малая величина. Подынтегральное выражение, включающее в себя описания полей напряжений, деформаций и перемещений, в общем случае представляет собой функцию 1/е, где е — расстояние от вершины трещины в результате интеграл, взятый по контуру интегрирования Ге, оказывается конечной величиной. Этот интегральный параметр стремятся представить, пользуясь теоремой о дивергенции, суммой интеграла по дальнему контуру с интегралом по конечной области. Подобное альтернативное представление оказывается удобным для численного исследования задач механики разрушения. В некоторых частных случаях упомянутый выше интеграл по конечной области исчезает, в результате чего появляется возможность выразить интегральный параметр разрушения только через интеграл [c.129]

Рассмотрим, например, двумерную задачу с произвольным малым контуром Ге, окружающим вершину трещины таким образом, что объем (или поверхность в случае плоской задачи при единичной толщине) внутри контура Ге будет Ve. (включая вершину трещины) условные обозначения приведены па рис. 1. В двумерном случае Ге можно рассматривать как окружность радиуса е, в то время как в трехмерной задаче Ге — это тороидальная поверхность, ось которой совпадает с фронтом трещины, ее поперечное сечение — окружность радиуса е. Рассмотрим объем V— Vt, который не включает в себя вершину трещины в результате обнаружим, что справедливо следующее уравнение сохранения энергии [c.132]

В двумерных задачах, рассмотренных в предыдущей главе, вопрос определения узловых сил, обусловленных внешней нагрузкой, был настолько ясен, что не нуждался в комментариях. В рассматриваемом случае, однако, следует иметь в виду, что узловые силы изображают совокупность сил, действующих по всей длине окружности, образующей узел элемента. Это обстоятельство уже учитывалось при составлении матрицы жесткости элемента, когда интегрирование проводилось по всей кольцевой области элемента. [c.95]

Применяется несколько способов выражения производных через значения Vk. Вид разностных операторов удобно представлять графически в форме шаблонов. На рис, 4.4, а—г даны примеры шаблонов для одномерных, а на рис. 4.4, д, ж — для двумерных стационарных задач. Шаблон представляет собой часть сетки, включающую множество узлов Xft, значения переменных в которых используются при аппроксимации производных в заданном узле Х. Узлы X на рис. 4.4 показаны темными кружками, а узел X обведен дополнительной окружностью. В левой части рисунков указан аппроксимируемый дифференциальный оператор, а рядом с узлами сетки записаны значения коэф- [c.160]

Если к трубке приложен дополнительно изгибающий момент (рис. 10.7 в таких условиях обычно находится трубка теплообменника, а также трубка паропровода), задача становится на порядок бегл ее громоздкой из одномерной она превращается в двумерную, поскольку поля напряжений и деформаций становятся переменными не только по толщине, но и по окружности. Представительные точки можно задать равномерным разбиением кольцевого сечения по радиусу и по окружности (рис. 10.8) развертка [c.242]

Рассмотрим теперь решение задачи, поставленной в 28, без использования допущения об однородности напряженного и деформированного состояний по высоте цилиндра и гипотезы плоских сечений, т. е. рассматривая задачу как двумерную [72, 111]. Для решения ее применим метод конечных элементов в форме метода перемещений. Так же, как и в 27, примем условие прилипания , т. е. предположим, что в точках этой поверхности скорость радиального перемещения равна нулю (скорость окружного перемещения равна нулю по условию осевой симметрии задачи). Тогда кинематические граничные условия при расположении начала координат на оси цилиндра на половине высоты его при г = О = О, при z = h Vz — —v 2, = 0. [c.112]

После этого анализа легко представить себе двумерные инвариантные торы в задаче Эйлера-Пуансо. Они являются прямым произведением двух окружностей, одна из кото- [c.60]

Логическим развитием рассмотренной выше методики одномерного поиска было бы последовательное изменение каждого проектного параметра до тех пор, пока не будет достигнут максимум целевой функции. По завершении этой процедуры для всех переменных можно вернуться к первой и посмотреть, нельзя ли еще более усовершенствовать решение. Этот метод, называемый методом покоординатного подъема, не всегда позволяет найти оптимальное решение. На рис. 7.1, а показана двумерная целевая функция, подходящая для решения задачи этим методом. Ее особенность состоит в том, что линии уровня близки по форме к окружностям или эллипсам, оси которых параллельны осям координат. Если же эти оси наклонены к осям координат (рис. 7.1, б), то эффективность алгоритма снижается, так как для нахождения оптимума приходится вычислять гораздо больше значений целевой функции. Метод покоординатного подъема совершенно неприменим, если линии уровня имеют точки излома (рис. 7.1, в) Поскольку линии уровня такого типа весьма часто встречаются в инженерной практике, то прежде, чем воспользоваться указанным методом, следует убедиться, что решаемая задача не имеет подобного недостатка. Несмотря на это, метод покоординатного подъема часто используют на первой стадии решения задачи, применяя затем более сложные методы. К достоинствам метода покоординатного подъема следует отнести возможность использования простых алгоритмов одномерного поиска, таких, как метод золотого сечения. [c.163]

Рассмотреть двумерный вариант предыдущей задачи прн следующих схемах интроскопического эксперимента 1) облучение производится единственной плоской волной, а рассеянные волны регистрируются в дальней зоне по всем направлениям (волновые векторы описывают окружность радиусом 1 ра(,1 = = Шр/Ср) 2) облучение производится волнами со всех направлений (векторы падающих волн описывают окружность радиусом кп д = а рассеянное поле измеряется только по од- [c.329]

Рассмотрим вал в форме тела вращения, скручиваемый парами, приложенными по концам (рис. 178). Мы можем принять ось вала за ось 2 и использовать полярные координаты г и G для определения положения элемента в плоскости поперечното сечения. Обозначения для компонент напряжения будут в этом случае иметь вид Or, сте, rz, гй, " вг- Компоненты перемещения в радиальном и окружном направлениях можно обозначить через и и V, а компоненту перемещения в направлении 2 — через w. Тогда, используя формулы, полученные ранее для двумерных задач ( 30), находим следующие выражения для компонент [c.346]

Сейчас мы сосредоточим наше внимание на задаче о стра-гиванни стационарной трещины в упругопластическом теле, нагруженном произвольной системой внешних силовых воздействий. Если рассматриваются двумерные задачи, то любой интеграл по произвольно малому круговому контуру Г , содержащему внутри себя вершину трещины (радиус е окружности очень мал), может служить адекватной характеристикой состояния окрестности вершины трещины, причем подынтегральная функция удовлетворяет следующим условиям 1) зависит от напряжений, деформаций и перемещений точек вблизи вершины трещины 2) при стремлении к вершине трещины имеет особенность порядка 1/г. Поскольку на контуре подынтегральная функция имеет асимптотику 1/е, то, поскольку dT = edQ, данный интегральный параметр конечен. Итак, рассмотрим динамически нагружаемое упругопластическое тело со стационарными трещинами из бесконечного числа параметров, которые можно ввести, удовлетворив сформулированным выше требованиям, выберем, например, параметр [c.65]

Если свойства материала изменяются в окружном направлении, решение трехмерной задачи не распадается на отдельные двумерные задачи для каждой гармоники в отдельности. Изменение свойств материала в окружном направлении может быть вызвано переменной температурой, от которой зависят свойства материала, упругопластическими деформациями, анизотропией материала общего вида [241], конструктивной неоднородностью [135], а также вырезами или выступами, нарушающими осевую симметрию тела [62, 63, 101, 189]. В этом случае система разрешающих уравнений МКЭ составляется для всех гармоник одновременно. В каждом узле конечного элемента число неизвестных равно утроенному числу удерживаемых гармоник. Как известно, число операций при решении линейной системы уравнений с ленточной матрицей примерно пропорционально Р N [70], где I — ширина полуленты матрицы коэффициентов N — порядок системы. Если при удержании т гармоник задача распалась на т отдельных двумерных задач, то число операций для решения всех систем будет примерно в раз меньше. Если учесть, что при густой разбивке основное время занимает решение системы разрешающих [c.156]

Теперь рассмотрим случай квазистатического устойчивого роста трещины в упругопластическом теле. Если проанализиро-вать двумерный случай, то любой интеграл, взятый по произ-вольной окружности Ге, охватывающей вершину трещины (при этом радиус окружности е мал и стремится к нулю), будет слу-жить в качестве действительного параметра разрушения, если подынтегральное выражение обладает такими свойствами (1) зависит от полей напряжений, деформаций и перемещений у вершины трещины, (2) у вершины трещины оно является функцией 1/е. Поскольку подынтегральное выражение на Ге зависит от 1/е, то можно убедиться, что интегральный параметр разрушения остается конечным. Этот интегральный параметр разру-шения, пользуясь теоремой о дивергенции, стараются представить как сумму интеграла по дальнему контуру с интегралом по конечной области. Это альтернативное представление оказывается удобным с точки зрения численного исследования задач разрушения. [c.163]

Ямамото с сотр. [72] разработали метод расчета коэффициентов интенсивности напряжений, основанный на суперпозиции аналитического и конечно-элементного решений. Этот подход был использован при решении задач двумерной механики разрушения, а также при расчете сквозных трещин, находящихся в пластинах, подвергнутых воздействию растягивающих усилий (например, в компактных образцах на растяжение), и цилиндрических стержней с трещиной, расположенной по окружности, подвергнутых воздействию растягивающих и сдвиговых нагрузок [73, 74]. Для использования этого подхода необходимы три решения [c.209]

Представляет интерес оценка эффективности использования в проекте оболочки пространственных структур армирования. С этой целью аналогичная предыдущей задача оптимизации решена в несколько измененной постановке вместо слоистого пакета в качестве конструкционного материала рассматривается пространственно армированный композит, структура которого является суперпозицией трех элементарных структур изотропной 5и, реализующейся, например, в случае дисперсного армирования композита короткими волокнами, равновероятно ориентированными в пространстве композита (см. раздел 1.7), и двух двумерных структур армирования — 545г (углы укладки арматуры ф= 45° сбалансированы по статистическим весам) и 5до (армирование в окружном направлении оболочки). Таким образом, данная структура армирования [c.240]

В реальных твердых телах всегда имеется большое число различного рода мнкро-дефектов, развитие которых под действием приложенной нагрузки приводит к появлению трещин и их росту, т. е. к локальному или полному разрушению тела. Опыт показывает, что такое явление особенно характерно для случая хрупкого или квазихрупкого разрушения материалов. Основы механики хрупкого разрушения изложены в работах [7, 9, 14, 19, 23, 34, 57, 66, 73, 78, 118, 121, 134, 138, 142, 147, 148, 160, 165, 166, 169, 181, 186, 187, 231, 234, 248, 249, 254, 256, 286, 290,303,343, 345, 349, 368, 402]. Исследованию распределения напряжений в двумерных упругих телах с трещинами (разрезами) посвящена обширная литература. Большинство полученных решений относятся к телам с разрезами вдоль прямой или окружности, а предложенные методы решения применимы лишь к определенным классам задач. [c.5]

Среди проблем небесной механики, имеющих важное прикладное значение для космических полетов, ограниченная задача трех тел играет центральную роль. Эта задача состоит в описании возможных траекторий движения материальной точки пренебрежимо малой массы (пилотируемого или беспилотного космического аппарата, метеорита, астероида) под действием гравитационного притяжения двух крупных небесных тел, которые в свою очередь предполагаются движущимися относительно друг друга по окружностям в соответствии с кеплеровыми законами. Ограничиваясь двумерным случаем, уравнения движения материальной точки можно записать в следующем виде [c.93]

Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно, на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые отображения последования. Изолированным точкам соответствуют невырожденные периодические траектории, а замкнутым кр"йвым, близким к концентрическим окружностям, — колмогоровские торы. [c.230]

Осесимметричные течения с закруткой. Течения в соплах, используемых на практике, носят существенно двумерный характер, поэтому гипотеза радиально-уравновешенного течения зачастую оказывается неправомерной. В связи с этим в последние годы в рамках прямой и обратной задач выполнены исследования закрученных течепий в соплах с учетом двумерного характера течения [129, 175, 185]. Ниже излагаются некоторые результаты исследований. В [185] методом установления решена прямая задача и изучено течение для широкого класса закрученных течений. В начальном сечении задавались различные законы изменения Г(ф), в том числе закрутка по закону вихря вблизи стенок, по закону твердого тела, однородное винтовое течение н др. На рис. 5.4 показаны в изометрии характерные профили окружной и осевой составляющих скорости в начальном и минимальном сечениях для случая потенциального закрученного течения (Г = onst), переходящего в ядре в течение с постоянным w, за исключением точки на оси, где w = 0. [c.206]

Если у точки изменяется с течением времени хотя бы одна коо )дината, то говорят, что точка движется. В том случае, когда изменяется только одна координата, движение называют одномерным если меняются две координаты, движение называют двумерным и, наконец, если с течением времени меняются все три координаты, то движение называют трехмерным. Мерность дви -жеиии может быть различной в разных системах координат. На пример, рассмотрим движение точки по окружности радиусом Я. В декартовых координатах у точки меняются и ее абсцисса, н ордината, т. е. движение двумерно. В полярной системе коорди-> иат, в которой полюс совмещен с центром окружности, полярный радиус, равный Я, не меняется, а меняется лишь полярвый уголд7 т. е. движение одиомерво. Вообще при решении задач выбирают ту систему координат, в которой решшие задачи или описание процесса наиболее просто. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...