Уравнения плоскости теории потенциала

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Рассматривается движение в вертикальной плоскости xz. В теории движения грунтовых вод принимают, что скорость фильтрации имеет потенциал ф (х, z, t) = —kh (х, z, t), где к — постоянная для однородного грунта величина (коэффициент фильтрации), h х, z, t) — напорная функция или напор. Функция h x, Z, t) удовлетворяет уравнению Лапласа [c.217]

Ниже рассматривается новое приложение теории плоских двойных волн также в предположении потенциальности течения. Оказывается, что в классе двойных волн возможно примыкание через неподвижную характеристику установившихся плоских течений изотермического и политропного газов к нестационарным плоским течениям типа двойных волн. Это обстоятельство позволяет в предположении гиперболичности изучаемых систем уравнений (рассматриваются сверхзвуковые потоки) поставить ряд граничных задач в плоскости годографа для скорости звука ui,u2) (щ, U2 — компоненты вектора скорости и) и потенциала U2). [c.64]

Если параметры потока не меняются в направлении течения или используется осреднение вдоль канала, то уравнение (2.16) приводится к двумерному уравнению в плоскости поперечного сечения канала. В такой постановке может быть исследован вопрос о влиянии перетекания тока вдоль пограничных слоев и по изолирующим стенкам МГД-устройства на его суммарные характеристики — поперечные краевые эффекты . При такого рода исследованиях, как и при исследовании продольных краевых эффектов, часто пользуются модельными профилями скорости. Исследование распределения потенциала в плоскости поперечного сечения канала имеет также большое значение для теории МГД-расходомеров. [c.447]

Проведем теперь около тела и дорожки Кармана некоторую контрольную поверхность S так, чтобы вблизи тела она проходила в упомянутой выше области, где, с одной стороны, справедливо уравнение (4.50), а с другой стороны, движение жидкости можно считать несжимаемым. Впереди тела эта поверхность пусть образуется плоскостью АВ и затем продолжается плоскостями 4 С, BD (см. рис. 42), прикрывающими вихревую дорожку. Далее, очевидно, достаточно рассматривать отрезок цилиндра длиною —LI2 <С <С LI2, так как состояние вдоль цилиндра не меняется, а концевые эффекты мы будем игнорировать. Если бы значения потенциала и его производных на этой поверхности были известны, то, применяя обобщенную для уравнения (4.50) теорему Кирхгофа (1.108), мы могли бы найти значение потенциала в любой точке пространства. [c.151]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Весьма обилий подход к решению плоских задач теории движения грунтовых вод был развит в цикле работ С. Н. Нумерова (1939 и сл.), который сводил гидродинамические задачи к соответствующ.им смешанным краевым задачам для полуплоскости и строил их решения с помош,ьн> интегралов типа Коши. Этот метод прило5ййм к задачам, область движения для которых заранее известна на плоскости комплексного потенциала f или функции Жуковского G. Впоследствии (1953, 1954) Нумеров обобщил свой подход применительно к задачам, область движения для которых заранее не известна ни на одной из этих плоскостей. При этом задачи сводятся к фредгольмовым интегральным уравнениям второго рода (вооб-ш,е говоря, сингулярным). [c.610]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Распределение напряжений в плоскости, ослабленной конечным числом как угодно расположенных произвольных круговых отверстий, рассмотрел Г. Н. Бухаринов [2.20], в предположении, что отверстия не имеют общих точек и могут быть загружены произвольным образом. Комплексные потенциалы Ф и Ч автор представляет в виде рядов по некоторым функциям, каждая из которых регулярна вне соответствующего отверстия. Члены, характеризующие главный вектор усилий на контуре каждого из отверстий и условия на бесконечности, выделяются отдельно. Выражения для Ф и Ч подставляются в преобразованные граничные условия, которые затем при помощи теоремы Гарнака приводятся к некоторым эквивалентным функциональным уравнениям. Последние автор предлагает решать методом последовательных приближений, развитым Г. М. Голузинымдля плоских мпогосвязных задач теории потенциала [2.32]. В работе [c.282]

Заключение. Встречающиеся в природе водоносные и нефтеносные песчаники обладают часто значительным постоянством мощности на большом протяжении. Проблема движения жидкости в таких песчаниках включает поэтому анализ плоских задач теории потенциала. Это физическое приближение представляет особенный интерес для тех случаев, когда скважины, пробуренные с целью дренирования залегающих горизонтально песчаников постоянной мощности, вскрыли последние полностью. Тогда можно вполне безопасно пренебречь вертикальной изменчивостью в распределении потенциала. В последующей главе будет показано, что если скважина вскрыла не полностью пласт песчаника, то задача принимает пространственный характер, который нельзя удовлетворить приближением, основанным на двухмерных упрощениях. В свете ограничения течения плоскостями, параллельными горизонту, в плоских задачах сила тяжести фактически исчезает из уравнений. Отсюйа при изучении горизонтальных плоских систем можно принять давление жидкости р, помноженное на отношение проницаемости к вязкости жидкости к1/г, как эквивалент потенциала скорости. [c.204]

Пусть отверстие в плоском экране освещается гауссовым пучком. Найдите дифрагированное поле, используя теорию дифракции волны на границе. Рассматривая гауссов пучок как сферическую волну, выходящую из точки на комплексной плоскости, положение которой связано как с размером, так и с координатой перетяжки пучка, а также с направлением пучка уравнениями (5.7.9), вычислите векторный потенциал w. В частности, для освещения круглого отверстия под прямым углом найдите поле вдоль оси (см. статью Отиса [54]). [c.336]

В качестве практически важного примера найдем смен ение и потенциал, создаваемые электрическим зарядом, расположенным на произвольно ориентированной поверхности пьезокристалла любой симметрии (/ , = 0). В основном будем следовать работе [05]. Необходимо отметить, что функции Грина произвольного пьезоэлектрика содержат поперечные волновые числа, явля-юп1иеся корнями характеристического уравнения восьмой степени. Явное аналитическое выражение для таких корней отсутствует. Однако в строгой теории возбуждения волн электродными преобразователями фигурируют лишь значения компонент Фурье-функций Грина, которые могут быть получены численными методами. Помимо этого, из обш,его выражения в некоторых случаях удобно получать более частные результаты, например для поверхности, являюн ейся плоскостью симметрии или перпендикулярной оси симметрии, когда число компонент функции Грина и порядок характеристического уравнения понижаются (см. 5 гл. I). [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...