Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито—Фоккера — Планка

Дифференцируя эту функцию по i и производя несложные перестановки членов, получаем эквивалентное этому решению для f(t,p) дифференциальное уравнение типа Фоккера— Планка (только не в координатном, а в импульсном пространстве) с tf-образным начальным условием [c.127]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Вывести уравнение Фоккера-Планка (9.4.25) из уравнения (9.4.11) (соответствие между уравнением Фоккера-Планка и стохастическими дифференциальными уравнениями рассмотрено в приложении 9Г). [c.278]

Стохастические дифференциальные уравнения (5.14) описывают эволюцию компонент двумерного марковского процесса. Плотность вероятности перехода или совместная плотность вероятности компонент р (xi, ух, t) подчиняется прямому уравнению Колмогорова (уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова) [c.139]

Поскольку 0(2 )w i 2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7Г.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае (7.4.67) не будет иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнениях (7Г.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу активных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что > 1, можно решать уравнения (7Г.15) методом итераций. В нулевом приближении пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение подставляется в правые части уравнений (7Г.15) и функции g(2)w i 2i)w находятся в первом приближении по параметру N . Ограничиваясь этим приближением, находим [c.153]

Отмеченные выше методы основаны на корреляционной теории. Поэтому основное внимание в них уделяется способам построения передаточных функций дифференциальных уравнений с переменными параметрами. По-нашему мнению, для оценки статистических параметров выхода системы можно успешно применить стохастический метод, основанный на составлении и решении уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. [c.138]

Важные для теории колебаний результаты были получены в работе А. А. Андронова, А. А. Витта и Л. С. Понтрягина (1933), где для произвольной нелинейной системы построено дифференциальное уравнение в частных производных (уравнение Фоккера — Планка), которому при определенных условиях должна удовлетворять плотность вероятности фазовых координат системы. [c.112]

Вывести Дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, в которое в пределе 0 (оо) -> О преобразуется набор дифференциально-разностных уравнений (26.3.1). Это дифференциальное уравнение представляет собой уравнение Фоккера — Планка для рассматриваемой частной системы, соответствующей классическому предельному случаю гармонического осциллятора. [c.587]

Наоборот, Ьсли случайная функция X(x,t) является марковской, то для плотности вероятности p(X X,t) — р(Х ф о) (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации дСХ",/)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность p(Xlx,t) и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция X (t) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные [c.533]

Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для искомой функции p(i, г). Это решение определяет эволюцию системы на временах < > 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации т ояп, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы сосуда, типа его фаниц, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты. [c.96]

В предыдушей главе мы показали, что физический интерес представляют решения, соответствующие конечным скоростям изменения первого и второго моментов функции Р2 и равным нулю скоростям изменения всех высших моментов этой функции. В этом случае уравнение Смолуховского сводится к линейному дифференциальному уравнению параболического типа, называемому уравнением Фоккера— Планка, которое при соответствующих заданных начальных и граничных условиях имеет единственное решение. [c.145]

Дифференциальное уравнение Ито и уравнение Ито—Фоккера—Планка [c.180]

Итак, необходимые и достаточные условия, при которых выпол няется принцип детального равновесия, в окончательном виде сводятся к равенствам (10.4.37), (10.4.41) и (10.4.42). Условие (10.4.38), или эквивалентное ему условие (10.4.40), если рассматривать его как дифференциальное уравнение относительно Ф, позволяет находить обобщенный термодинамический потенциал с помощью квадратур, т. е. криволинейного интеграла. Тем самым стационарное решение уравнения Фоккера—Планка может быть полностью определено. [c.345]

В этой главе мы рассмотрим дискретные отображения с шумом, о которых упоминалось во введении. В первых разделах мы покажем, каким образом результаты, полученные нами ранее для дифференциальных уравнений, обобщаются на дискретные отображения, а в разд. 7.7—7.9 — как обобщается принцип подчинения. Затем читатель познакомится с дискретным аналогом уравнения Фоккера—Планка (разд. 10.2—10.4), и в заключение мы введем интегралы по траекториям и покажем, каким образом с их помощью можно найти дискретный аналог решений временного уравнения Фоккера—Планка. [c.349]

Задача 39. Считая величины р(1) и (Др(<)) извеаными (см. задачи 35, 37), определить соответавующую начальному значению р(0) = ро и условию ненатянутоаи среды в момент = О функцию распределеиия ю(р, 1) и соответствующее ей дифференциальное уравнение типа Фоккера—Планка. [c.136]

Мы видим, что как уравнение Ландау (11.6.27), так и уравнение Фоккера — Планка (11.3.21) являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка следовательно, между ними должна существовать некоторая связь. Однако между ними существует очень важное отличие уравнение Ландау нелинейно. Теперь уже должно быть ясно, что любое кинетическое уравнение обязательно является нелинейным. В самом деле, такое уравнение описывает процесс столкновения двух (или большего числа) частиц. Поэтому оно зависит от состояний и, следовательно, от произведений функций распределения двух (или большего числа) сталкивающдхся партнеров. [c.46]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

В общей физике Кои и Пейн [1967] использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера—Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967] разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970а] получил приближение к модели Томаса —Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [1971]. Мейер [1971] исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии Нинхус [1970] изучал броуновское движение с вращательной степенью свободы. [c.253]

Это ур-ние впервые было выведено М. Смолуховскии и явилось прообразом более общих дифференциальных ур-ниц в теории марковских диффузионных процессов (фоккера — Планка уравнение, Колмогорова уравнения). [c.567]

Из элементарной математической физики известно, что это параболическое дифференциальное уравнение описывает монотонную необратимую зволюцию любого начального распределения плотности к равновесному состоянию. Дополнительный член первого порядка в уравнении Фоккера — Планка описывает систематическое торможение, называемое динамическим трением. Итак, уравнение Фоккера — Планка описывает суперпозицию процессов трения и диффузии в пространстве переменной у. [c.21]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

Такой процесс разрушения когерентности позволяет сделать кардинальный шаг кинетика открытой квантовой системы не описывается уравнением Шрёдингера. Это утверждение следует понимать так волновой функции ф открытой системы следует приписать информационный смысл. Другими словами, в процессе ее эволюции со временем наряду с эволюционным развитием согласно уравнению Шрёдингера не следует исключать возможности процессов с уничтожением волновой функции в некоторых достаточно обширных областях пространства (на языке математики такой процесс выглядит как случайный "переброс" системы в "другое гильбертово пространство"). При таком подходе у волновой функции ф появляются черты, делающие ее похожей на вероятность. У вероятности существует два вида эволюции — регулярное ее изменение согласно дифференциальному уравнению Фоккера-Планка (или дискретной цепи Маркова) и скачок при реальном событии. Точно так же и у (/ -функции существует два возможных вида эволюции согласно уравнению Шрёдингера в отсутствие связи с внещним окружением и квантовый скачок при "измерении", т.е. при отклике на связь с внешним миром. Волновая функция как бы медленно "выжидает", совершая цепочку обратимых унитарных преобразований, чтобы потом "принять рещение" и осуществить коллапс. Такое "принятие рещения" очень похоже на выпадение того или иного числа на грани кубика. Можно сказать, что это "решение принимается" [c.385]

Гл. 4 Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения , пожалуй, слишком фрагментарна. Основное внимание в ней уделяется двум возможным трактовкам нелинейных стохастических уравнений (дилемма Ито—Стратоновича) и переходу к соответствующим уравнениям Фоккера—Планка. Вопрос о преимуществах каждой из двух трактовок фактически не обсуждается, а такой анализ был бы полезен, поскольку они не исчерпывают всех вариантов возможна иная запись уравнения Фоккера—Планка и соответствующего уравнения Ланжевена, более естественная с точки зрения общей кинетической теории. (Для системы с диссипативной нелинейностью это приводит к обобщенному выражению Эйнштейна для коэффициента диффузии.) [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...