Случай трех конечных тел

Случай трех конечных тел.......................27Л [c.14]

СЛУЧАЙ ТРЕХ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ [c.275]

Все предыдущее распространяется со случая конечного числа притягивающих материальных точек на случай (более соответствующий действительности) масс, непрерывно распределенных внутри некоторой области трех, двух или одного измерения, т. е. на случай материального тела, поверхности или линии С. [c.69]

Если заданы комплексные эйлеровы углы, с помощью которых тело переведено из начального положения в некоторое конечное, то можно найти винт соответствующего конечного перемещения. Для этого нужно сложить конечные винтовые перемещения относительно оси г, относительно оси п и затем относительно смещенной оси г — результирующее винтовое перемещение тела U определится искомым винтом. Здесь, однако, возможно упрощение, указанное А. И. Лурье для простых вращений [33], это упрощение относится и к случаю винтовых перемещений. Напишем формулу условного сложения трех винтовых перемещений на комплексные эйлеровы углы Ф, 0, X и воспользуемся правилом перестановки конечных перемещений (см. гл. IV) [c.154]

При движении тела со сверхзвуковой скоростью появляется новый вид сопротивления. Для простоты будем пренебрегать вязкостью воздуха и допустим, что возмущения, вызываемые движением тела, можно считать малыми. На некотором расстоянии от движущегося тела это второе допущение будет вообще выполняться. Рассмотрим тело и окружающий его воздух внутри некоторой цилиндрической контрольной поверхности как одну механическую систему. Тогда согласно сосредоточенности действия, характеризующего распространение давления от источника, движущегося со сверхзвуковой скоростью, полный поток количества движения воздушных масс, входящих и выходящих сквозь цилиндрическую поверхность, остается конечным даже в том случае, когда эта граница удаляется на произвольно большое расстояние. Фиг. 2 относится к случаю плоского симметричного профиля с острой передней кромкой, движущегося в неподвижном воздухе. Рассмотрим поток сквозь плоскость, параллельную плоскости симметрии и находящуюся на некотором расстоянии от тела. На чертеже показано распределение скоростей и горизонтальных составляющих количества движения сквозь эту плоскость для трех случаев. [c.10]

Специальным теориям калории, относящимся к частному случаю калории, называемому энтропией , уже свыше ста лет, однако они чаще всего нетипичны и слабо освещают путь к современной термодинамике сплошной среды, которая была создана в последнем десятилетии. Чтобы связать старые и, несомненно, известные результаты с современной. системой представлений, мы в последующих трех параграфах будем рассматривать только тот частный случай, когда тело характеризуется механически и геометрически конечным набором параметров — например, его объемом или массами составляющих его частей. Само по себе движение, таким образом, непосредственно не учитывается, так что эту теорию можно было бы назвать чистой термодинамикой, точно так же как теория, развитая в предыдущих главах этой книги, представляет собой чистую механику. [c.401]

Якоби рассматривал задачу трех тел для случая, когда масса одного тела равна или меньше массы другого, а третье тело обладает исчезающе малой массой масса тела, движение которого исследуется, настолько мала, что влиянием его на движение тел с массами пц и / 2 вполне можно пренебречь. Этот подход получил название ограниченной задачи трех тел и состоит в том, что требуется исследовать движение тела с исчезающе малой массой, в соответствии с законом Ньютона, по формулам задачи о двух телах. Такая задача может быть решена в конечном виде в случае, если движение происходит в одной плоскости. [c.111]

II рассмотреть предел при е —0. Как легко вытекает из теории логарифмического потенциала, это приведет к видоизменению соотношения между т и /, а именно к появлению дополнительных кратностей л. Очевидно, тот же результат справедлив и тогда, когда функция (22) имеет в конечном числе точек х, у) = (а, Ь) нуль порядка г , те > О, а также тогда, когда функция V (х, у) имеет в точках (х, у) = (а, Ъ) полюс некоторого порядка т. Последний случай встречается в ограниченной задаче трех тел. [c.209]

Сравнивая этот результат с 409, видим, что если решение ti == ti t) задачи ге = 3 тел существует и является голоморфным при малых i > О и если по крайней мере один компонент любого из трех векторов (i) имеет при i = О особую точку, то возможны при i -J-О лишь два случая а) все три pjh t) стремятся к нулю б) одно из pjk t) стремится к нулю, а два других стремятся к общему положительному конечному пределу. Другими словами, имеет место либо одновременное столкновение в указанном в 335 смысле, либо парные столкновения (см. 349). [c.404]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

Действительно, если две нулевых прямых плоскости пересекаются в точке О, то перемещение этой точки будет нормально к плоскости, а следовательно, все прямые, проходящие в плоскости через точку О, будут нулевыми прямыми. Других нулевых прямых, лежащих в той же плоскости, но не проходящих через точку О, не будет, так как, если бы три нулевых прямых на той же плоскости образовали треугольник, то в каждом из его трех углов перемещение тела было бы нормально к плоскости. Таким образом это перемещение свелось бы к вращению вокруг прямой, лежащей в плоскости или на конечном ргсстоянии или в бесконечности. Этот случай из предыдущего предложения следует исключить. Точка О, в которой сходятся нулевые прямые плоскости, называется нулевой точкой" или полюсом" плоскости. [c.23]

В настоящей работе приводятся решения некоторых задач о гетерогенном каталитическом горении на поверхности тела (пластина, конус), омываемого безграничным или струйным ламинарным потоком газа малой или большой скорости. Для случая безграничной пластины обсуждается также решение для турбулентного пограничного слоя. Для движения газа с большой скоростью дается анализ картины перераспределения полной энергии для самого общего случая взаимонало-жения трех кинетических процессов — теплопроводности, внутреннего трения и диффузии. Даны постановка и решение новых задач о горении турбулентных струй неперемешанных газов (задачи о крае струи и о спутных потоках). При этом рассмотрение ведется для случая конечной скорости реакции. [c.158]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое. [c.263]

Неоднородная конечная деформация. Теперь, после того к к мы рассмотрели простейший вид векторного поля, характеризующегося телх, что три составляющие вектора поля представляют собой линейные функции трех составляющих другого вектора, перейдем к общему случаю, когда составляющие вектора поля являются векторными функциями общего вида. Известными примерами подобных векторных полей могут служить перемещения точек деформируемых тел, скорости движения жидкости в данный момент времени и т. п. Но прежде чем приступить к изучению конечной неоднородной деформацпи, необходимо получить формулы дифференцирования для векторного поля. [c.189]

Однако хотя многие авторы занимались задачей об устойчивости точек либрации, но только для случая, когда в системе действует закон Ньютона и когда орбита точки М есть эллипс с фокусом в точке Мо. Такая задача называется, как уже отмечалось выше, эллиптической ограниченной задачей трех тел (конечно, трех материальных точек, из которых одна — пассивно гравитирующая). [c.260]

Однако один частный, или, лучше сказать, специальный случай ограниченной круговой задачи трех тел оказывается вполпе интегрируемым, и общее решение задачи в этом специальном случае может быть написано в квадратурах. Мы имеем в виду так называемую задачу двух неподвижных центров, которая была проинтегрирована еще Эйлером и с тех пор неизменно привлекала к себе внимание многих механиков и математиков. Задача двух неподвижных центров заключается в определении движения материальной точки нулевой массы , притягиваемой двумя конечными неподвижными точечными массами, но не оказывающей на них никакого влияния. Поэтому эту задачу можно рассматривать как специальный случай ограниченной задачи, в котором только две конечные массы остаются неподвижными, не только в относительной, но и в неизменной системе координат. [c.774]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Наконец, если даже космический аппарат, обогнув Луну, и покинет ее сферу действия, выход произойдет со сравнительно небольшой селеноцентрической скоростью, и вполне может случиться, что космический аппарат вновь вернется в сферу действия Луны (в случае эллиптической входной скорости это вообщ,е весьма вероятно), причем, не исключено, при более благоприятных для захвата условиях. Конечно, может случиться и обратное сфера действия Луны будет покинута навсегда. Мы теперь ничего не можем утверждать с уверенностью, так как теперь граница сферы действия Луны перестает играть привычную для нас роль и нельзя пренебрегать ни лунными возмуш.ениями геоцентрического движения перед входом в сферу действия, ни земными возмуш.ениями селеноцентрической траектории после входа. Иными словами, здесь вообще неприменим приближенный метод расчета траекторий, которым мы все время пользуемся, и необходимо искать решение в рамках ограниченной задачи трех тел. [c.240]

Мы ограничимся специальным частным случаем задачи трех тел, а именно тем, в котором одна из трех масс исчезающе мала, и, кроме того, обе конечные массы движутся по окружностям вокруг общего центра инерции. Двхгжение обоих этих тел, на [c.353]

Случай конечной массы тела (3). Зададим при i = О положения и скорости тел (1), (2), (3) в ииерциальной системе координат OXYZ такими же, как и в системе (0), w(0) массы тел (1) и (2) по-прежнему равны М, а масса тела (3) равна то. Получаем систему, зависящую от трех параметров < (0), w(0) и то. Мы докажем, что существует такое а, что для любых < (0), гп < а и S существует такое w(0), что в системе < (0), у(О), то при I > О тело (3) бескоисчнос число раз проходит через центр тяжести О тел (1) и (2), удаляясь от него после f -ro прохождения на расстояние, большее Sk, а расстояние тел (1) и (2) всегда меньше 2R. [c.131]

Наконец, следует заметить, что моменты времени, соответствуюгцие изолированным максимумам, не могут накапливаться на конечном интервале, так как иначе накапливались бы и нули функции /( ) но, согласно уже полученным результатам об аналитическом продолжении регпения задачи трех тел, должно тождественно равняться нулю, а этот случай был уже нами рассмотрен ранее в предположении 1 0 т). Поэтому оценка 7 > Сд доказана при всех 4 о, если о есть время первого максимума 7 при 1 > т. Наконец, пусть т 4 о, или, если 7 при i > т вообгце не имеет максимума, т 1. Тогда внутри этого интервала нет и минимумов, соответственно, I не убывает, так как там тривиальным образом 7 > 7,- >. В остальных случаях можно применить неравенство (11) и получить 7 > для интервала т 0 или, соответственно, для т 1. Итак, действительно 7 > при всех т. [c.80]

I = 1, 2, , последовательность ti убывает к 0. Из рассуждений 8 следует, что в этом случае тройное столкновение должно произойти нри = 0. Но рассуждения 12, соответствующим образом нерепесеп-пые па этот случай, показывают, что (12 7) снова будет истинным, и это противоречит тому, что 17 = 11(1), с другой стороны, должна равняться бесконечности нри всех 1к к = 1, 2). Таким образом, расширяя результат, нолучеппый в 8, мы доказали, что простые столкновения в задаче трех тел пе могут накапливаться за конечное время, даже если все константы момента количества движения относительно пенодвиж-пого центра масс равны пулю. [c.125]

При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простое решение задачи трех тел (случай Лагранжа), представляющее большой интерес для астрономии. Частным случаем задачи трех тел является так называемая ограниченная задача трех тел, в которой два тела конечной массы движутся вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось построить разнообразные классы периодических движений (периодические орбиты Пуанкаре, Шварцшильда и др.). Для общего случая задачи трех тел подробно изучены предельные свойства движения при -> -ь оо и [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...