Формула Лиувилля

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула Лиувилля [c.233]

Существует зависимость, аналогичная формуле Лиувилля (см. стр. 229), [c.232]

Q, (х)(/ +. .. +0 (д )1/ = о связан с первым коэффициентом этого уравнения Qj (х) формулой Лиувилля — Остроградского [c.50]

Задача. Докажите формулу Лиувилля W = для определи- [c.67]

Выведем теперь одну важную формулу, называемую обычно формулой Лиувилля. Для этого найдем производную по I от определителя Д — х о II, дифференцируя последовательно строки определителя и используя при этом тождества [c.28]

В самом деле, формула Лиувилля (1.42) дает [c.35]

Так как определитель Д = Xsa II отличен от нуля при любом t (что следует из формулы Лиувилля), то мы можем разрешить уравнения (1.62) относительно величин s. [c.40]

Заметим, что ТгЛ = 0. Воспользуемся формулой Лиувилля—Остроградского [c.88]

Фазовый поток 151 Формула Лиувилля — Остроградского 88 [c.168]

Теперь, если допустить, что Р становится точкой Ро поверхности Л = О, данное отношение сводится к формуле Лиувилля [c.135]

По формуле Лиувилля [131, ч. 1, 9] для решений линейной системы уравнений (16.7) имеем div ([c.354]

Это уравнение вполне аналогично уравнению переноса в неподвижной среде в форме (16.10). Применяя к (16.22) формулу Лиувилля, находим [c.356]

Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Поэтому рещения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами. Так, формулы обращения имеют вид для синус-преобразования [c.83]

ПЕРЕНОСА ЯВЛЕНИЯ — неравновесные процессы, в результате к-рых в физ. системе происходит пространственный перенос электрич. заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или к.-л. др. физ. величины. Общую феноменологич, теорию П. я., применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально П. я. изучает кинетика физическая. П. я. в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для ф-ции распределения молекул П. я. в мета.т-лах — на основе кинетич. ур-ния для электронов в металле перенос энергии в непроводящих кристаллах — с помощью кинетич. ур-ния для фононов кристаллич. решётки. Общая теория П. я. развивается в неравновесной статистич. механике на основе Лиувилля уравнения для ф-ции распределения всех частиц, из к-рых состоит система (см. Грина — Кубо формулы). [c.572]

Заметим, что последнее уравнение системы (86.7) для функции является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (86.2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (86.7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все -частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (86.4), после того как найдена функция (х/,..., х , /), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой практически невыполнимую задачу. [c.478]

Согласно условию на ребре (469) и формулам (484) аналитическая функция стремится к нулю на бесконечности. Следовательно, по теореме Лиувилля она тождественно равна нулю во всей плоскости. Таким образом, получаем [c.143]

Дальнейшим результатом использования теории Штурма — Лиувилля является получение собственных частот по формуле Рэлея [c.359]

Символ Т означает, что операторы 0 ti) упорядочены с возрастанием времени справа налево. Очевидно, что если оператор Лиувилля не зависит от времени, то формула (1А.4) переходит в выражение для функции распределения (1.1.24). [c.75]

Остается проинтегрировать левую часть этого равенства по частям и учесть, что In g t) удовлетворяет уравнению Лиувилля. В результате получим для логарифма неравновесного распределения формулу [c.132]

Итак, эргодическое условие (2.4.45) привело к интегральному уравнению для статистического распределения. С другой стороны, мы имеем явное выражение (2.4.40) для g t) которое было выведено из эргодического условия (2.4.36). Чтобы показать, что распределение (2.4.40) совпадает с решением уравнения (2.4.46), мы рассмотрим для определенности квантовый случай, когда оператор Лиувилля и оператор эволюции определяются формулами [c.133]

Выражение для времени релаксации (коэффициента трения) через корреляционную функцию случайных сил было получено Кирквудом [103]. Это был первый результат в теории неравновесных процессов, выведенный из первых принципов статистической механики. Поучительно отметить, однако, что в формуле Кирквуда эволюция описывалась полным оператором Лиувилля L, а не оператором + L, как в формуле (2.5.24). Кроме того, корреляционная функция вычислялась по каноническому распределению Гиббса с полным гамильтонианом Я. На первый взгляд различия в формулах для времени релаксации могут показаться несущественными, но это не так. Строго говоря, формула Кирквуда дает для времени релаксации значение = оо, а формула (2.5.24) дает конечное значение. Кирквуд привел некоторые интуитивные соображения, согласно которым интегрирование по времени в его формуле должно выполняться по интервалу Гц, значительно меньшему, чем само время релаксации Чтобы обосновать предположение Кирквуда, нужно выяснить поведение точной корреляционной функции (2.5.21) и роль проектирования в операторе эволюции. Исследование корреляционных функций такого рода будет проведено в главе 5. Здесь мы только отметим, что при описании системы полным гамильтонианом (2.5.1), который включает кинетическую энергию примесной частицы, необходимо отделить динамику случайных (микроскопических) процессов от среднего детерминированного движения примеси. Фактически это делает проекционный оператор в формуле (2.5.21). Отбрасывая проектирование в операторе эволюции, мы должны также отбросить кинетическую энергию примесной частицы в гамильтониане, т. е. вычислять корреляционную функцию случайных сил для неподвижной примеси. В этом самосогласованном приближении время релаксации дается выражением (2.5.24). [c.138]

Цепочка уравнений для приведенных функций распределения. Чтобы получить уравнения движения для 5-частичных функций распределения, проинтегрируем уравнение Лиувилля (3.1.2) по фазовым переменным Ждг, где 5 = 1, 2,... Используя формулы (3.1.4) и (3.1.5), получаем цепочку уравнений [25] [c.167]

Сравнение члена (n + l)-ro порядка этого разложения и оператора в фигурных скобках формулы (3.2.14) показывает, что они имеют одинаковую структуру, но различаются в двух отношениях. Во-первых, в формуле (3.2.14) операторы взаимодействия —iL s ) везде заменены вершинами V. Поскольку один из типов вершин, изображенных на рис. 3.2, подразумевает интегрирование по фазовым переменным одной частицы, операторы Лиувилля L (5i) в (3.2.14) могут относится к группам с разным числом частиц. Во-вторых, последовательность вершин в формуле (3.2.14) должна быть такой, чтобы соответствующая диаграмма была сильно связной. [c.190]

До сих пор ради простоты мы считали, что оператор Лиувилля не зависит явно от времени. Поэтому полученные выше выражения справедливы для изолированных систем или систем в стационарных внешних полях. Однако диаграммные представления корреляционных функций и интеграла столкновений легко могут быть обобщены и на системы частиц, взаимодействующих с внешним переменным полем. В этом случае одночастичные операторы Лиувилля L ( ) явно зависят от времени через внешнее поле, поэтому аналитическое выражение (3.2.14) для диаграммы в разложении корреляционной функции уже несправедливо. Возвращаясь к выводу этой формулы, заметим, что теперь все операторы эволюции вида ехр — г(г2 — ri)L должны быть заменены упорядоченными по времени экспонентами [c.193]

Мы уже отмечали, что в некотором смысле теорию Кубо можно рассматривать как частный случай подхода, развитого в разделе 5.1.1, так как в теории Кубо используется специальная форма граничного условия статистического оператора [см. (5.1.52)]. Отметим, однако, что это условие далеко не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Оно означает, что сначала система находилась в тепловом равновесии с термостатом, а в дальнейшем влияние термостата не учитывается, поскольку гамильтониан Я + Н] относится лишь к самой системе. Другими словами, формулы Кубо (5.1.57) и (5.1.59) описывают отклик изолированной системы на внешние механические возмущения. Вообще говоря, этот отклик не обязан совпадать с откликом системы, находящейся в процессе эволюции в контакте с термостатом. Так как реальные системы всегда взаимодействуют с окружением, исключение влияния термостата не вполне соответствует условиям реальных экспериментов. С этой точки зрения метод, изложенный в разделе 5.1.1, кажется более последовательным, поскольку использование квазиравновесно-го распределения Qq t) для формулировки граничного условия к уравнению Лиувилля можно рассматривать как нарушение абсолютной изоляции системы. [c.351]

Выразим теперь марковское время релаксации Тр через корреляционные функции, в которых эволюция определяется обычным оператором Лиувилля L. Чтобы избавиться от проектирования, можно, например, воспользоваться формулой (5.3.53). В случае одной базисной переменной эта формула дает [c.384]

Подчеркнем, что в формуле (5.3.65) сначала совершается предельный переход Л О и лишь затем z 0. Обратный порядок предельных переходов, как видно из соотношения (5.3.62), дает Тр = оо. Это означает, что свойства корреляционных функций с приведенным оператором Лиувилля L = QLQ существенно отличаются от свойств корреляционных функций, в которых эволюция описывается полным оператором Лиувилля L. Хотя во многих конкретных задачах оператор проектирования удается исключить с помощью разложений по малым параметрам (параметру взаимодействия, волновому вектору возмущения и т. д.), следует помнить, что все подобные разложения должны совершаться в правильном порядке. Наивные попытки улучшить результат для времен релаксации путем учета членов более высокого порядка в корреляционных функциях могут привести к нефизическим расходимостям. [c.385]

Формула Лиувилля—Остроградского. Пусть операторнозначная функция одного переменного удовлетворяет уравнению [c.25]

Общий характер Г.— К. ф. связан с тем, что для всех макроскопич. систем при малых отклонениях от статистич. равновесия устанавливается квазиравпо-весная ф-ция распределения, подобная ф-ции распределения Гиббса, параметры к-рой (темп-ра, хим. потенциал и др.) зависят от координат и времени. Решение ур-ния Лиувилля даёт в первом приближении поправку к квазиравновесиой ф-ции распределения, пропорциональную градиентам темп-ры и хим. потенциала с коэф,, к-рые можно записать в виде Г.— К. ф. Т. о., Г.— К. ф. дают микроскопич. выражения для ки-нетич. коэф. Частным случаем Г.— К. ф. являются Кубо формулы, к-рые выражают реакцию леравновесны,х ср. физ. величии через запаздывающие Грина функции, связывающие изменения наблюдаемых величин с вызывающим их внеш. возмущением. Иногда Г.— К. ф. паз. ф-лами Кубо. [c.539]

Возможность возрастания энтропии может быть обоснована методами статистич. механики, к-рая приводит к выражению для положительного локального производства энтропии, связанного с внутр. неравновесно-стью системы, что соответствует термодинамике неравновесных процессов. При этом для кинетических коэффициен пов получаются выражения, пропорц. пространственно-временным корреляц. ф-циям потоков энергии, импульса и вещества (Грина — Кубо формулы). Энтропия системы в неравновесном случае определяется через локально-равновесное распределение /лон ф-лой S = — Jfe <1п/лов)- Она соответствует максимуму информац. энтропии при условии, что средние локально-равновесные значения плотности энергии, импульса и числа частиц равны их средним значениям, причём эти средние вычислены с помощью ф-ции распределения, удовлетворяющей ур-нию Лиувилля (хотя /лок не удовлетворяет). Возрастание энтропии связано с отбором запаздывающих решений ур-ния Лиувилля. Опережающие решения должны быть отброшены, т. к. приводили бы к убыванию энтропии [6]. Отбор запаздывающего решения ур-ния Лиувилля осуществляется введением в него бесконечно малого члена, нарушающего его симметрию относительно обращения времени. [c.530]

Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-сис-темой (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, а также потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называть ее системой уравнений Боголюбова. Ь в формуле (86.7) есть оператор Лиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является зацепляющейся , так как уравнения для функции Б содержат в правой части функцию Б + . Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из п молекул (п < М), взаимодействующих с остальными N — п молекулами. Оператор Лиувилля, как видно из (86.7), однозначно определяет временную эволюцию функции Б (хц. .., х, /) для замкнутой системы частиц, в то время как правая часть (86.7) описывает ее незамк-нутость. [c.478]

Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную (замкнутую) сферу и поверхностная нагрузка отсутствует (Xj = Xj = Z = = 0). Из теоремы единственности ( 5.32) вытекает, что для такой оболочки моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные (нулевые) решения. Это утверждение остается верным (хотя и не таким очевидным) и для безмо-ментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения г (Z), которая ( 13.4) должна быть аналитической во всей плоскости и иметь нули в точках t = О, = оо. По теореме Лиувилля она тождественно равняется нулю, что согласно формулам (13.4.2) и означает обращение в нуль напряженного состояния оболочки. [c.230]

Согласно условию на ребре (3.196а) и формулам (3.123), единая аналитическая функция, определенная уравнением Винера— Хопфа (3.211), стремится к нулю на бесконечности. Следовательно, по теореме Лиувилля она тождественно равна нулю во всей плоскости %. Таким образом, получаем [c.130]

Следует отметить, однако, что в квантовом случае L действует на квантовомеханические операторы а не на функции, как классический оператор Лиувилля. Поэтому говорят, что L, определяемый формулой (1.2.69), относится к супероператорам. [c.38]

Если сравнить волновую функцию (2.3.87) с формулой (2.3.10) для неравновесного статистического распределения, аналогия между этими выражениями станет очевидной. Это наблюдение подсказывает, что волновую функцию Гелл-Манна-Гольдбергера можно получить, отбирая запаздывающие решения уравнения Шредингера точно так же, как отбирались запаздывающие решения уравнения Лиувилля при построении неравновесного распределения. [c.121]

Временная эволюция этих матричных элементов описывается уравнением Лиувил-ля (2.3.1), где полный оператор Лиувилля есть сумма L = L + AL. Операторы и L определяются формулами (2.4.47). [c.139]

До сих пор наши рассуждения относились к квантовым системам. Отметим, однако, что в случае классической статистики нет необходимости заново выводить все формулы линейной реакции, так как переход к классическому пределу можно выполнить непосредственно в корреляционных функциях. Очевидно, что в пределе /i О статическая корреляционная функция (5.1.10) заменяется средним значению / А/ В)щ. Что касается корреляционных функций (5.1.19), зависящих от частоты, нужно также учесть, что в классическом пределе гайзенберговские операторы следует заменить фазовыми функциями A t) = exp(z L)4, где L — классический оператор Лиувилля. [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...