Лиувилля оператор классический

Уравнение для оператора плотности (11.36) называется уравнением Неймана и является основным уравнением статистической физики квантовых систем. Это уравнение аналогично классическому уравнению Лиувилля (11.8) для фазовой плотности распределения p(q, р, О- [c.194]

Появление этих операторов обусловливает основное различие между классическими и квантовомеханическими системами. Кроме того, будем считать, что, как и в классическом случае, выполняются условия нормировки (14.2.10) и (14.2.11). Вектор распределения f (t) является решением уравнения Лиувилля [c.134]

Отметим еще раз, что невозмущенный оператор Лиувилля здесь такой же, как и в классической механике, а оператор взаимодействия имеет отличные от нуля злементы того же типа. Они выражаются через квантовомеханический оператор (3.7.8). Новое свойство состоит в появлении операторов симметризации (1 1 2) и Р (12) в матричных элементах операторов Лиувилля. Эти операторы обеспечивают правильную ферми- или бозе-симметрию теории. [c.135]

Это соотношение совершенно общее. Оно не отличается от классического соотношения (14.2.4). Квантовый оператор Лиувилля свободной эволюции опять диагонален как относительно числа частиц S, так и относительно корреляционного индекса Га. [c.138]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Из квантового уравнения Лиувилля, как и из его классического аналога, можно вывести уравнения движения для средних значений динамических переменных. Пусть динамической переменной соответствует оператор который может явно зависеть от времени. Дифференцируя равенство [c.39]

В классическом случае упорядоченный по времени оператор эволюции возникает при решении уравнения Лиувилля [c.74]

Используя определение классических скобок Пуассона (1.1.20), проверить, что оператор Лиувилля (1.1.22) является эрмитовым, т.е. для фазовых функций и стремящихся к нулю на границах фазового пространства, выполняется ра- [c.77]

Обобщенные уравнения переноса. Покажем, как с помощью уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени можно вывести систему уравнений эволюции для наблюдаемых РтУ Мы воспользуемся формализмом, основанным на операторе Лиувилля, так что все дальнейшие рассуждения будут относиться в равной степени к квантовым и к классическим системам, если интерпретировать статистическое распределение q и операцию Тг соответствующим образом. [c.108]

Метод построения квантовых и классических неравновесных ансамблей на основе запаздывающих решений уравнений Лиувилля (2.3.11) и (2.3.69), известен как метод неравновесного статистического оператора. В отношении классических систем было бы более естественно говорить о методе неравновесной функции распределения , но и в этом случае мы предпочитаем употреблять название, которое уже давно используется в литературе. В зависимости от выбора базисных переменных, метод неравновесного [c.118]

Аналогичное разложение фазовой функции распределения возможно и в классическом случае [136], если оператор Лиувилля L удается представить в виде суммы главной части и слабого взаимодействия L. В переменных действие-угол матричные элементы д по собственным функциям Lq медленно меняются по сравнению с недиагональными элементами. [c.125]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Из (7.2.67) ясно, что — линейный оператор и = Рдг. Таким образом, основное кинетическое уравнение для рассматриваемой системы можно получить непосредственно из уравнения (7.2.4), если положить ( ) = (р ,..., Рдг, ) и Р = Рдг. Нужно также учесть, что в данном случае L — классический Д/ -частичный оператор Лиувилля дг, действие которого на произвольную фазовую функцию. .., Ждг) выражается через скобку Пуассона с гамильтонианом [c.115]

Для определенности мы будем использовать квантовое описание, однако излагаемая ниже теория в равной степени может быть применена и к классическим системам. Для этого нужно использовать фазовую функцию распределения вместо статистического оператора и определить соответствующим образом оператор Лиувилля. [c.117]

Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора, изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От- [c.282]

Генератор Я эволюции во времени векторов ( волновых функций ) в Квантовой механике отождествляется с гамильтонианом. По аналогии с классической механикой генератор З эволюции состояний называется оператором Лиувилля. [c.14]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Конечно, это условие не всегда выполнимо. Для простых динамических систем, движущихся согласно периодическому закону, ни при их классическом, ни при квантовом рассмотрении функция Ляпунова существовать не может, ибо такие системы через некоторое время возвращаются в исходное состояние. Возможность существования оператора М определяется типом спектра оператора Лиувилля. В рамках классической эргодической теории этот вопрос недавно изучил Мисра [23]. Я постараюсь рассмотреть здесь некоторые следствия возможности существования оператора М уравнения (36), который можно рассматривать как энтропию систем, анализируемых на микроскопическом уровне. Поскольку М — величина положительная, то согласно общей теореме ее можно представить в виде произведения оператора, скажем, и сопряженного эрмитова оператора (Л" )" " (эта операция означает извлечение из положительного оператора квадратного корня) [c.148]

Это уравнение заменяет известное уравнение Лиувилля, справедливое в классической механике, В правой части ур-1ния (1П.2Л6) содержится коммутатор оператора р и [гамильтониана Н. Оператор L(t) представляет собой квантовые скобки hya oiHa, рассматриваемые как оператор, действующий на статистический оператор р. Формальное решение ур- ия (П.2. 15) имеет вид (если Н и, следовательно, L е зависят от времени) [c.203]

Классический газ со слабым взаимодействием определяется обычным оператором Лиувилля (лиувилианом) (3.4.13) с 5 =0 [c.220]

Следует отметить, однако, что в квантовом случае L действует на квантовомеханические операторы а не на функции, как классический оператор Лиувилля. Поэтому говорят, что L, определяемый формулой (1.2.69), относится к супероператорам. [c.38]

В квантовом случае действие оператора Лиувилля выражается через коммутатор, поэтому тождество пепосредствеппо следует из ипвариаптпости следа относительно перестановки операторов. В классическом случае это тождество легко проверить, интегрируя по частям скобку Нуассона. [c.109]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

До сих пор наши рассуждения относились к квантовым системам. Отметим, однако, что в случае классической статистики нет необходимости заново выводить все формулы линейной реакции, так как переход к классическому пределу можно выполнить непосредственно в корреляционных функциях. Очевидно, что в пределе /i О статическая корреляционная функция (5.1.10) заменяется средним значению / А/ В)щ. Что касается корреляционных функций (5.1.19), зависящих от частоты, нужно также учесть, что в классическом пределе гайзенберговские операторы следует заменить фазовыми функциями A t) = exp(z L)4, где L — классический оператор Лиувилля. [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...