Классификация линейных систем

Чтобы сформулировать основную теорему Ляпунова, мы должны изложить глубокую классификацию линейных систем (7), которую ввел Ляпунов и которая лежит в основе многих работ (в особенности, появившихся у нас в стране после 1940 г.). [c.69]

Классификация линейных систем. [c.52]

Замечание. Топологическая классификация особых точек линейных систем, даже и не гиперболических, совпадает с топологической классификацией линейных систем во всем прост ранстве R", заключающейся в следующем. [c.53]

Статья 2 посвящена классификации критических (особых) точек коллинеарного движения в пространстве. Теперь этот вопрос рассматривают в более общем виде как пример классификации особых точек линейных систем [2]. [c.51]

КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 89 [c.89]

В книге будут рассмотрены методы проектирования линейных систем управления для линеаризуемых инвариантных объектов с сигналами, которые измеряются дискретно. Схема классификации основных систем управления и методов их расчета приведена на рис. 4.3. [c.76]

В случае линейных систем небезынтересно провести их классификацию с точки зрения механизма возникновения ЧУ-свойства (частично этот вопрос затронут в разделе 2.3) и дать критерии решения ЧУ-задачи в случаях, отличных от систем с постоянными или периодическими и аналитическими коэффициентами. Для ряда конкретных линейных систем такие условия давно известны была бы полезна их систематизация и обсуждение. [c.275]

Классификация линейных сил. Рассмотрим механическую систему со стационарными связями [c.174]

При исследовании свойств колебательных систем в виде прямоугольника представляется естественным произвести некоторую классификацию рассматриваемых частотных диапазонов. Часто при такой классификации в основу кладется сравнение длины волны с характерными линейными размерами объекта. Однако после исследования свойств нормальных мод в слое представляется целесообразным положить в основу такой классификации свойства дисперсионных ветвей. На рис. 61 (кривые 1—5) и 62 (кривые 1—4) при V = 0,248 показано несколько первых дисперсионных ветвей соответственно продольных и изгибных мод в бесконечном слое. Согласно характеру ветвей низкочастотную область определим как область частот, для которых в слое г < 1 имеется только одна распространяющаяся мода Иначе говоря, областью низких частот будем называть интервал О < Q < Q для симметричного и О < [c.182]

Самые существенные характеристики касаются апертурного угла и угла поля зрения. Однако эти углы разные в пространстве предметов и пространстве изображения, поэтому необходимо усло-виться,-какой из этих углов следует приводить в качестве характеристики в разрабатываемой классификации. Можно было бы по подобию с предыдущей характеристикой рассматривать эти углы только в прямом ходе лучей, т. е. в направлении объект — изображение, и, следовательно, в качестве характеристики предложить угол, измеряемый в пространстве изображений. Но такое решение связано с рядом трудностей, возникающих при рассмотрении проекционных систем, ибо в этих случаях апертурный угол в пространстве изображений практически равен нулю и не характеризует систему в смысле максимально возможного угла охвата пучка лучей в точке объекта или изображения на оси. Поэтому в качестве следующей характеристики, названной апертурой, предлагается брать синус линейного апертурного угла в том из двух пространств предметов и изображений, в котором он наибольший. [c.623]

Дисперсионное уравнение типа (П. 10) полностью характеризует волновые свойства линейных однородных систем и поэтому может быть положено в основу классификации происходящих в них волновых процессов. [c.297]

Bee три корня уравнения (11.1.13) вещественны. Действительно, по математической классификации задача (11.1.11) является задачей па собственные значения для системы линейных уравнений, матрица которой в силу парности касательных напряжений — симметрическая. А собственные значения симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического (векового) уравнения (11.1.13), всегда вещественны. Каждому из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем случае решением систем (11.1.11) и определяющий единичный вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны. [c.333]

Приведены классификация автоматических регуляторов и описание их эле.ментов. Разработана статика чувствительного элемента. На базе полученных равновесных кривых выяснены степени неравномерности и нечувствительности, а также найдены причины, влияющие на их величину. Дан вывод линейных дифференциальных уравнений элементов систем регулирования и показан экспериментальный способ определения величины сил трения. Получены дифференциальные уравнения систем. [c.2]

Температура — важнейший параметр теплотехнических систем, однако ее величина не может быть определена непосредственно. Измерительные преобразования температуры основаны на учете изменения какого-либо параметра объекта или специального термометрического вещества, связанного с температурой известной зависимостью. При этом необходимо, чтобы изменения используемого параметра были связаны с температурой функциональной зависимостью, близкой к линейной эта связь должна наименьшим образом искажаться из-за воздействия других параметров процесса и точно и просто воспроизводиться при градуировании. Современная термометрия не располагает ни веществом, ни параметром, полностью удовлетворяющими этим требованиям, поэтому для измерения температуры в разных условиях применяются приборы различного принципа действия. Представление о многочисленности используемых термометрических э( ектов и соответствующих приборов дает табл. 21, заимствованная из [98]. Приведенная группировка измерителей температуры, как очевидно, не единственная — возможна классификация по иным признакам принципиальным, структурным и функциональным. [c.192]

Проводится также качественный анализ некоторых нелинейных динамических систем, полученных выше, но при условии того, что в системе присутствует линейный демпфирующий момент. В зависимости от коэффициента демпфирования со стороны среды проводится топологическая классификация типичных фазовых портретов системы, рассмотренной на фазовом цилиндре квазискоростей. Показано, что при некоторых условиях в системе могут возникнуть устойчивые, а при некоторых и неустойчивые автоколебания. [c.282]

Провести строгое разделение реальных физических систем на линейные и нелинейные , консервативные и неконсервативные , их разде.иение по числу степеней свободы и т. д. невозможно. Реальные физические системы не являются ни линейными, ни консервативными, не могут иметь конечного числа степеней свободы, ибо они вообще не могут быть описаны совершенно точно при помощи математических соотношений. Поэтому всякое строгое разделение, всякая строгая классификация не могут быть точно проведены для реальных физических систем. Такому строгому разделению поддаются только абстрактные схемы (математические модели), которые получаются в результате известной идеализации свойств реальной физической системы. [c.28]

Классификация линейных систем. Введенная классификация сил позволяет классифицировать линейные системы с постоянными параметрами. Системы, находящиеся под действием одних только консервативных позиционных сил, называют консервативными системами. Системы, находящиеся под действием одних только гироскопических сил или гироскопических и позиционных консервативных сил, называют гироскопическими. Для этих n T iM выполняется теорема о сохранении полной механической энергии, т. е. эти системы также являются консервативными. [c.90]

Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой. Для формальной классификации линейных систем полезно привлечь общие методы теории нормальных форм Пуанкаре (гл. 3). Рассмотрим неавтономную систему [c.125]

G. Нелинейные силы. Приведенная классификация линейных сил по их математической структуре очень удобна для линейных систем, особенно при исследовании устойчивости движения. Однако для нелинейных сил этот метод неприменим. Поэтому для общей характеристики сил воспользуемся их физическими свойствами. Как известно, работа потенциальной силы К (д) не зависит от пути перемещения точки приложения сил1.г. Для )Tiiii силы справедливо равенство [c.154]

В гл. VIII наложена возможная методика классификации оптических систем (в частности, зеркально-лиизовых объективов), которая почти без изменений может бьггь нспользована для поисков фотографических объективов. В качестве признаков, по которым ведутся поиски, можно назвать следующие фокусное расстояние апертурное число в пространстве изображений спектральная область линейное увеличение угол поля зрения диаметр кружков рассеяния в угловой мере для точки иа о сн и для точки на краю поля число компонентов и число поверхностей число асферических поверхностей (разбитое на число поверхностей [c.259]

Начиная с 1942 г. у нас проделана большая работа по развитию классификации Ляпунова линейных систем и асимптотики поведения решений. Во многих вопросах устойчивости и асимптотики поведения решений играют большую роль приводимые системы, введенные в рассмотрение, как мы видели, еще А. М. Ляпуновым (см. формулы (8) и (9)). [c.82]

Классификация дисперсных систем по степеням дисперсности. Если линейные размеры частиц 1) больше 0,1 1, то они образуют грубодисперсныесистемы (суспензии и эмульсии) 2) лежат в пределах от 0,1 (д до 1 т р1, то они образуют коллоидные системы 3) меньше, т л образуют истинные растворы (моле-кулярно или ионнодисперсные системы). [c.350]

Аналитическая классификация нерезонансных систем 1 окрестности иррегулярной особой точки. Рассмотрим класс не резонансных систем (6) с нефуксовой особой точкой. Пуст матрица А (0) диагональна (в нерезонансном случае этого мож но добиться линейной заменой переменных). В этом разделе рассматривается сильная голоморфная эквивалентиость> та ких систем требуется, чтобы сопрягающая замена отличалас1 от тождественной на 0 1) при 1- 0 Н=Е- -0 1). В рассматри ваемом классе систем операторы Стокса являются инварианта ми сильной голоморфной классификации. Опишем, какие опера торы могут возникнуть как операторы Стокса. Это описани облегчается тем, что нормализованная система интегрирует явно фиксируем ее. [c.128]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Динамические характеристики одномерных систем. Значительная часть средств измерений (например, датчики, согласующие устройства, усилители, фильтры, регистрирующие устройства) представляет собой одномерные линейные стационарные динамические системы. Преобразование сигналов в таких системах удобно характеризовать динамическими характеристиками. К настоящему времени в ГОСТ 8.256—77 ГСИ установлены классификация динамических характеристик (ДХ) средств измерений, основные правила выбора нормируемых динамических характеристик СИ, формы представления ДХ и осиовиые требования к методам нх экспериментального определения. Полными ДХ, янание которых позволяет рассчитать законы изменения выходного сигнала и динамической погрешности при любых законах изменения измеряемой величины, являются дифференциальное уравнение, нмпульсная характеристика, переходная харктеристика, передаточная функция, совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ соответственно). [c.99]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

В п-мерном евклидовом пространстве для тех систем из п + + 1 вектора, в которых каждая собственная подсистема линейно независима и выполнено условие (4.7), имеется полная классификация [202] (см. также [177]). Такие системы являются системами простых корней градуированных алгебр Каца—Муди. Полные диагрг1ммы Дынкина а)-л), перечисленные в теореме 2, получены из известных диаграмм систем корней алгебр Каца—Муди с учетом возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных векторов (относящиеся сюда простые рассуждения опущены). Пусть теперь Д содержит п линейно независимых максимальных векторов, удовлетворяющих условию (4.7). Такая система не будет полной в смысле нашего определения к этим п векторам можно так добавить еще один, чтобы сохранилось условие (4.7) и любая подсистема из п векторов была линейно независима. Это вытекает, например, из того факта, что диаграмма Дынкина системы простых корней получается из диаграммы системы корней некоторой алгебры Каца — Муди отбрасыванием одной вершины [202]. [c.392]

Решения линейных и нелинейных систем ) сопоставляли д. М. Гробман и В. А. Якубович (см. Б. Ф. Былов и др., 1966). Иначе асимптотическое сопоставление решений нелинейных систем выполнено А. Н. Еругиным 1961), который дал (1966—1967) классификацию всей совокупности решений нелинейной системы дифференциальных уравнений по их асимптотическому поведению. [c.86]

Классификация по схеме армирования предполагает одноосное (линейное), двухосное (плоскостное) и трехосное (объемное) расположение компонентов. Такое деление правомочно лишь для искусственно создаваемых макрокомпозиционных систем (пластики, железобетон и другие литые или прессованные материалы), сформированных волокнами (стержня- [c.12]

Глава 3 содержит, среди прочего, классификации особенностей границы множества гиперболических дифференциальных уравнений (В. 3. Шапиро и А. Д. Вайнштейн) и особенностей границы множества фундаментальных систем решений линейных дифференциальных уравнений (эта теория М. Э. Казаряна связана со стратификацией Шуберта многообразия Грассмана с бифуркациями точек Вейерштрасса алгебраических кривых и с теорией фокальных многообразий проективных кривых). В этой же главе обсуждаются особенности границы множества неосцилляционных систем (т. е. систем Чебышева) — связь этого вопроса со стратификацией Шуберта многообразия флагов и с порядками Брюа недавно обнаружена Б. 3. и М. 3. Шапиро. [c.9]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...