Представление, в котором матрица U диагональна

Обсудим эти два аспекта по отдельности. Для простоты мы рассмотрим сначала одну бесспиновую частицу в объеме V = L . Ясно, что в квантовом случае совместная функция распределения координат частицы и импульса не существует из-за принципа неопределенности. Вместо этого мы можем ввести статистический оператор д, матричные элементы которого в заданном представлении определяют вероятности (диагональные элементы) и описывают квантовую суперпозицию состояний (недиагональные элементы). Например, в координатном представлении матрица плотности частицы имеет вид [c.28]

Ее диагональный матричный элемент (г,г) = г (г) имеет смысл плотности вероятности обнаружить частицу в точке г. В импульсном представлении, которое вводится с помощью набора базисных квантовых состояний р), матрица плотности имеет элементы [c.28]

Вместо / собственных функций 1 х можно с помощью линейных комбинаций построить новый набор из / ортогональных собственных функций, который образует базис для эквивалентного представления. Пользуясь теорией групп, можно показать, что среди всех эквивалентных представлений абелевой группы, как это имеет место для группы трансляций, всегда можно найти представление, матрица которого будет диагональна [c.82]

Поскольку шпур матрицы не зависит от представления матрицы, шпур, входящий в (17.9)2), может быть вычислен в представлении, в котором матрица Р имеет диагональную форму [c.387]

Представление, в котором матрица и диагональна [c.398]

Рассматривая представление, в котором матрица Л (w) диагональна, можно показать, что из (13.5.7) следует [c.378]

Может оказаться полезным работать в представлении, в котором матрицы и, Ь, Су с1 недиагональны. В частности, при разложениях в ряд диагональная форма данных матриц не удобна, поскольку при этом могут появляться иррациональные коэффициенты. Лучше считать, что данные матрицы имеют блок-диагональный вид, причем все элементы блока имеют (в ведущем порядке) одинаковые степенные зависимости от параметра разложения X, и каждый элемент (/, у) равен нулю при Ф [c.398]

Предположим теперь, что мы нашли представление, в котором матрица V диагональна, т. е. [c.195]

Здесь матрица V берется в том представлении, в котором она диагональна принимается во внимание только вклад от ее собствен- [c.211]

Так как известно (см., например, задачу 33), что шпур матрицы не зависит от представления, то можно подсчитать сумму диагональных элементов в том представлении, в котором матрица Р, а следовательно, и диагональны [c.411]

Однако в общем случае матрица недиагональна более того, даже если бы она оказалась диагональной в заданном базисе, в ином представлении она, вообще говоря, уже не была бы диагональной — диагональность не является обязательным свойством таких матриц. Недиагональные члены могут иметь любой знак, поэтому их нельзя интерпретировать как вероятности. Эти члены связаны с интерференционными эффектами, которые представляют собой чисто квантовомеханическое свойство, не имеющее классического аналога. (Они ответственны за такие явления, как дифракция электронов и туннельный эффект.) Эти члены обусловлены волновыми свойствами материн. Недиагональные коэффициенты Prs могут быть связаны также с фазовой корреляцией между состояниями г и s. [c.64]

Заметим теперь, что вероятностные коэффициенты (4.5.5) Представляют собой диагональные элементы матрицы плотности в таком представлении, в котором и гамильтониан, и оператор полного числа частиц диагональны. Следует четко представлять, что теперь N считается оператором, собственные значения которого равны всем неотрицательным целым числам. При решении в большом каноническом ансамбле особенно удобен формализм вторичного квантования. Матрицу плотности легко привести к виду, пригодному для любого произвольного представления [c.150]

Можно отметить, что, определяя коэффициенты приведения к к 1 к") для волнового вектора, мы фактически выполняем разложение тех диагональных матриц представления прямого произведения, которые соответствуют элементам группы 5 . Матрицы (53.9) уже являются диагональными, и наше построение сводится к такой перегруппировке диагональных элементов, чтобы все векторы, входящие в одну звезду, оказались собранными вместе. [c.144]

Гамильтониан (2.8), (2.9) зависит от 21 параметра. Существует три типа простейших преобразований, которые изменяют (в частности, исключают) параметры в гамильтониане без изменения уравнений движения. К первому типу относятся групповые преобразования 30(3) х 30(3). С их помощью в представлении (2.9) матрицы А и С могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Добавление к гамильтониану произвольной линейной комбинации функций Казимира Рг,Р2, которые являются однородными квадратичными функциями, позволяет исключить еще два параметра. Умножение гамильтониана на произвольную константу Н аН с заменой времени t 1, также позволяет уменьшить число параметров на единицу. Таким образом, квадратичное семейство гамильтонианов (2.8) либо (2.9)) определяется двенадцатью параметрами. [c.181]

Матрица плотности в таком виде дает основные свойства полей, которые наиболее удобно описывать в Р-представлении. Если Р (а) — весовая функция, сингулярности которой не сильнее сингулярности б-функции, то в общем случае она будет обладать неисчезающими комплексными моментами произвольно высокого порядка. [Единственное исключение составляет функция Р (а) = = б (а), которая соответствует основному состоянию моды.] Из этого следует, что диагональные матричные элементы п д п) которые представляют вероятность нахождения п фотонов в моде имеют ненулевые значения для произвольно больших п. Таким образом, если функция Р (а) ведет себя достаточно хорошо в ука занном выше смысле, то нет ограничения сверху на число фотонов имеющихся в моде ). [c.91]

С такими представлениями мы уже встречались в 18. Представление трансляционной группы там создавалось с помощью базиса из I вырожденных ортогональных собственных функций Мы видели, что с помощью преобразования базисных функций получаются новые эквивалентные представления. Среди них было отмечено одно представление, у которого все матрицы содержали только диагональные элементы. [c.116]

Рассматривая выражения (9.27) и (9.29), мы должны подчеркнуть, что как усредненная i-матрица t (Я), так и массовый оператор 2 (Я) должны зависеть от Я. Следовательно, после суммирования ряда (9.28) полюсная особенность выражения (9.17) окажется смещенной из точки Я (q) на величину 2 (Я), которая в свою очередь зависит от Я. Другими словами, подобно (9.13), выражение для усредненной функции Грина в среде в приближении усредненной -матрицы должно быть диагональным в квазиимпульсном представлении, причем [c.385]

В общем случае этот детерминант Ллойда бесконечного порядка, и точно вычислить его невозможно. Однако он дает явное представление инвариантной формулы, содержащей только матричные элементы -матрицы на изоэнергетической поверхности, и играет благодаря этим свойствам центральную роль в теории рассеяния. Далее при выводе соотношения (10.107) считалось, что рассматривается ячеечный потенциал ( 10.3), составленный из вкладов VI (г — Кг), каждый из которых центрально-симметричен в своей ячейке. Однако более тщательное исследование [50] показывает, что единственное необходимое условие состоит в том, чтобы суммарный потенциал Т т) обладал однозначным ячеечным представлением, т. е. потенциалы отдельных ячеек нигде не должны перекрываться. Иначе говоря, мы можем разбить нашу систему на ячейки Вороного, отделенные друг от друга лишь бесконечно малыми междоузельными областями, и считать, что во всем объеме каждой ячейки задано свое распределение У (г — К,), не ограничиваемое требованием центральной симметрии ячеечной ямы. С формальной точки зрения это означает просто, что ячеечные -матрицы (10.103) уже не обязательно диагональны по индексам, нумерующим парциальные волны при этом, правда, надо аккуратнее определить матричные элементы неполной функции Грина [c.500]

Теперь мы можем обсудить общее статистическое суждение квантовой теории (при этом мы для простоты записи применяем величины с дискретными собственными значениями). Это суждение можно формулировать следующим образом спрашивается, какова вероятность того, что в определённый момент времени i, известная величина F принимает частное значение Р , если до этого в момент = i —X другая величина G имела значение G . Если S —матрица преобразования, переводящего из представления матриц, при котором F(i ) приведено к диагональному виду, в представление, при котором 0 U) [c.144]

В настояш ее время развиваются различные способы для устранения погрешностей самого МТ-приближенпя, например, [247—249] и ссылки в [249]. Но даже есдп такой НМТ-потенциал построен, то решение уравнения Шредингера для него представляет собой трудную задачу. На эту тему выполнен ряд интересных работ. В частности, проведено [250, 251] обобщение метода фазовых функций на случай сферически-несимметричных потенциалов. Имеется серия работ [252—258], основанных на идее [259] замены орбитальных квантовых чисел I, т для сферически-симметричного рассеивателя на новые квантовые числа, в представлении которых матрица фазовых сдвигов снова становится диагональной. (Так как для несферического рассеивателя орбитальный момент количества движения перестает быть интегралом движения, то матрица фазовых сдвигов в представлении орбитальных чисел I не может быть диагональной.) Однако все эти методы весьма сложны и не получили широкого распространения. [c.120]

Оператор обнаружения является эрмитовым. В представлении, в котором матрица оператора обиаружения диагсшальна (П.ЗЛ), ее диагональные элементы, являющиеся собственными значениями, лежат в области 31начвний между О и II, т. е. [c.247]

ЧТО система В имеет большое число переменных и явлется термостатом, мы приходим к понятию квантового ансамбля Гиббса, в котором матрица плотности диагональна в энергетическом представлении [c.59]

Как обычно, из соотношения звезда — треугольник следует, что при всех комплексных значениях и и v матрицы У(и) и V(v) коммутируют. Следовательно, можно выбрать представление, в котором матрица У(и) диагональна при всех и. Тогда равенство (14.8.1) представляет собой функциональное соотношение для каждого собственного значения. Данное соотношение с учетом свойств аналитичности и квазипериодичности У(и) позволяет в принципе вычислить любое собственное значение при конечном N. Следовательно, можно определить свободную энергию, поверхностное натяжение и корреляционную длину. Результаты, конечно, согласуются с (14.3.26). Кроме того, для критических показателей /х, Ру v модели жесткого гексагона получено значение [c.449]

При исследовании поведения относительно преобразования Лоренца мы не вводили никаких специальных представлений матриц Однако в зависимости от рассматриваемых проблем бывает целесообразно вводить различные представления. Чтобы установить связь с математической литературой, мы выберем теперь такое представление, в котором у диагонально. (Оно отлично от данного в (15), где диагональным выбрано Р = т. ) Мы можем тогда положить, употребляя расщеплённый способ описания, при котором написанные величины сами являются двурядными матрицами [c.251]

Линейные комбинации функций 1, 2, , Фк, Для которых матрица возмущения диагональна, называются правильными функциями нулевого приближения. Как известно, собственные функции возмущенного оператора непрерывно переходят в эти функции при выключении возмущения. Так как оператор возмущения V инвариантен относительно некоторой группы Су, то правильные функции нулевого приближения должны преобразовываться по неприводимым представлениям этой группы (см. главу V). Если в разложении представления Г, по которому преобразуются фуныщи 1,1 2, , фк, каждое неприводимое представление трутшы С встречается не более одного раза, то, построив из функций ф, ф2,---, фк линейные комбинации, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Сь мы найдем правильные функции нулевого приближения. Если же одно и то же представление [c.217]

При реализации подобной методики целесообразнее пользоваться функционелом в виде суммы слагаемых (9.12), чем вводить условия (9.5) уже после построения глобальной матрицы жесткости [к] и переходить к расширенной матрице (9.8). Последнее неудо(3-но тем, что матрица (9.8) теряет свою диагональную структуру и Для ее восстановления требуется проводить перенумерацию неизвестные. Если же использовать представление (9.12) и считать глобальными степенями свободы узловые перемещения и три множителя Лагранжа на сторонах, то можно получить матрицу жесткости эле-1 ента (вид ее будет подобен (9.8)), которую обычным образом разносим по глобальной мйтрице в соответствии с выбранной ну- ерацией перемещений. [c.113]

Здесь матричные элементы выписаны в представлении, в котором гамильтониан данной системы, S) диагонален. В таком случае матрица плотности также диагональна. Она представляет собой равновесное решение уравнения фон Неймана для данной системы, S. Поскольку выражение (4.3.17) имеет простую аналитическую форму, мы можем сразу записать матрицу плотности в любом ином представлении, в котором оператор энергии уже недиаго-нален [c.140]

Ее интегралы по всем координатам и по всем импульсам дают, соответственно, диагональные элементы матрицы плотности в координатном и импульсном представлениях. Как и в случае одной частицы, рассмотренном выше, переход к классической статистике можно обосновать путем интегрирования Д/ -частичной функции Вигнера по фазовым ячейкам, объем которых значительно превосходит 2тгН) . [c.32]

Диагональные компоненты матрицы А, представленные выражением ОоАхАу + + 20[(Ал7Аг/) -Ь (Дг/. А.г)], положительны, в то время как недиагональные члены, напри.мер — О (Аг//Ах), отрицательны или равны нулю. Сумма недиагональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица А является диагонально преобладающей и удовлетворяет свойствам (1) и (3) разд. 3.2.3. Однако она уже не является трехдиагональной, так как в любом ряду имеются четыре отличных от нуля недиагональных элемента, за исключением рядов, соответствующих точкам, соседним с границами, которые имеют толькотри таких элемента. Матрица все еще является неприводимой, ио теперь а/, + 1 = О для точек, соседних с правой и левой границами, т. е. когда точка / соседствует с правой границей, точка / - - 1 соседствует елевой границей, поэтому отсутствует элемент, связывающий эти две точки. В любом случае матрица А вновь будет неприводимой диагонально преобладающей. Следовательно, существует обратная матрица [131, и уравнение (3.60) [c.119]

Уилкокс и Лэмб [22] решили задачу для трехуровневой системы при наличии двух приложенных полей в этом представлении. Однако стационарное решение легче получить в лабораторной системе координат. То обстоятельство, что задача может быть преобразована к проблеме, в которой каждый матричный элемент в стационарном состоянии не зависит от времени, позволяет предположить, что в лабораторной системе координат каждый элемент матрицы плотности имеет только одну фурье-компоненту. Это предположение оправдывается. Удерживаются лишь постоянные составляющие диагональных элементов матрицы плотности и следующие [c.406]

Переставив строки, как показано цифрами справа, прямым ходом метода исключения Гаусса приводим матрицу А к верхнетреугольному виду. Далее определитель матрицы А вычисляется как произведение диагональных элементов. Чтобы зафиксировать изменение знака определителя необходимо, очевидно, повторять этот алгоритм в пределах определенного интервала изменения частоты со. Четких правил по выбору начального значения частоты и шага ее изменения не существует. Здесь необходимо руководствоваться интуитивными представлениями. Ориентиром могут служить частоты собственных колебаний отдельных стержней (см. таблицу № 7) и в качестве начальных значений выбирать (1/100 - 1/1000) минимальной частоты составляющих элементов стержневой системы. В качестве грубого шага изменения частоты можно рекомендовать (1/100 - 1/1000) длины интервала, на котором определяется частота. Далее, если интервал, содержащий корень уравнения (3.2), найден, интервал и ко- [c.101]

Полезность представления (14.13) для Г-матрицы определяется прежде всего тем, что гамильтониан (14.14) может быть диагона-лизирован с помощью тех же приемов, которые использовались в предыдущем параграфе при диагонализации Г-матрицы. Можно однако, не проводить эту диагонализацию заново, а воспользоваться тем, что Г-матрица (14.10) имеет следующую диагональную форму (см. формулу (13.47)) [c.156]

Определим в матричиом представлении, в котором Н = Е приведена к диагональному виду, матрицу [c.118]

Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы имеют квазидиагональный вид, то всегда существует матрица, отличная от кратной единичной, которая коммутирует со всеми матрицами этого представления. Легко проверить, что в качестве такой матрицы можно взять диагональную матрицу, у которой диагональные элементы, соответствующие различным блокам матрицы представления, не равны друг другу. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...