Модель жесткого гексагона

Данное выражение для Z очень похоже на статистическую сумму (1.8.2) модели Изинга. Действительно, в разд. 1.9 показано, что общая модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями во внешнем поле эквивалентна решеточному газу с взаимодействием между ближайшими соседями. Модель жестких гексагонов представляет собой предельный случай последней. [c.402]

Последнее утверждение заслуживало интереса потому, что соответствующие в восьмивершинной модели представляют собой целые степени некоторой переменной х (или 5), входящей в формулу (13.7.20). Если модель жестких гексагонов обладает аналогичными свойствами, то она, очевидно, может быть решена точно. [c.406]

Как показано в разд. 10.4, первым этапом в решении восьмивершинной модели было установление класса коммутирующих трансфер-матриц ряд — ряд. Руководствуясь этим, я рассмотрел решеточную модель, трансфер-матрицы которой коммутируют с трансфер-матрицами модели жестких гексагонов. Изобразим треугольную решетку так, как показано на [c.407]

Здесь каждая величина а, 7, с, с1 принимает значения О и 1 т — тривиальный нормировочный множитель величина I сокращается в выражении для статистической суммы и Л/ — коэффициенты диагональных взаимодействий, как показано на рис. 14.3.6 г — активность. Модель жестких гексагонов получается при т = l,L = OиЛ/ = —оо. [c.408]

В дальнейшем мы будем считать, что все трансфер-матрицы действуют только между допустимыми состояниями некоторого ряда спинов, т. е. состояниями, удовлетворяющими ограничению (14.3.2). Размерность матриц при этом уменьшается. Уменьшение размерности матриц характерно для обобщенной модели жесткого гексагона и связано с ее разрешимостью, так как уменьшается число условий, входящих в соотношение звезда — треугольник (13.3.7).) [c.419]

Уравнения (14.3.11), (14.3.12) и (14.3.16) являются аналогами уравнений (13.6.17а), (13.6.176) и (13.7.3). Так же как последние уравнения можно разрешить относительно свободной энергии восьмивершинной модели, первый набор уравнений можно разрешить относительно свободной энергии обобщенной модели жестких гексагонов. [c.422]

Как мы отмечали выше после выражения (14.3.1), уравнение (13.3.10) удовлетворяется с помощью рассмотренной параметризации обобщенной модели жестких гексагонов. Считая матрицы С , функциями w, [c.424]

МОДЕЛЬ ЖЕСТКОГО ГЕКСАГОНА [c.446]

Мы начали данную главу с обсуждения модели жесткого гексагона, т. е. газа на треугольной решетке, частицы которого не могут находиться на соседних узлах. Чтобы найти решение для такой модели, мы перешли к более общей модели жестких квадратов с диагональными взаимодействиями, которая обсуждалась в разд. 14.2 — 14.6. Вернемся теперь к исходной модели жесткого гексагона. Для этого устремим величины т, М в (14.2.1) к [c.446]

Чтобы изучить поведение системы вблизи г = используем полученное в предыдущем разделе альтернативное представление результатов для модели жесткого гексагона. [c.447]

Повторится ли это для модели жесткого гексагона Точнее говоря, будет ли решена более обшая модель, содержащая как частные случаи восьмивершинную модель и модель жесткого гексагона Я сомневаюсь-в этом. Первое обстоятельство, подтверждающее, что рассматриваемые модели весьма различны, состоит в том, что критический показатель 6 равен 15 для восьмивершинной модели и 14 для модели жесткого гексагона. Кроме того, соотношение звезда — треугольник (13.3.6) или (11.5.8) содержит много больше уравнений, чем неизвестных величин. Свойства симметрии восьмивершинной модели в четыре раза (от 64 до 16) уменьшают число уравнений. В случае обобщенной модели жесткого гексагона требование, чтобы никакие две частицы не занимали соседних узлов, исключает 44 уравнения из 64. При этом число уравнений и число неизвестных оказывается одинаковым. Таким образом, причины успеха в обоих случаях весьма различны, и мне кажется невероятной возможность найти непрерывный ряд решаемых моделей, соединяющих между собой восьмивершинную модель и модель жесткого гексагона. [c.450]

Медиальный граф 326, 327, 333 Модель жесткого гексагона 401—451 [c.480]

ЖЕСТКИЙ ГЕКСАГОН И БЛИЗКИЕ МОДЕЛИ [c.401]

Аналитическое решение двумерных моделей, более сложных, чем модель Изинга, потребовало значительных усилий. Но эти усилия оправдываются полученными результатами. В частности, было выяснено на примере восьмивершинной модели, что гипотеза универсальности может нарушаться, а на примере модели жестких гексагонов было показано, что вошедшее в учебники утверждение об отсутствии линии фазовых переходов второго рода при наличии оси симметрии третьего порядка не всегда справедливо. Как восьмивершинная модель, так и модель жестких гексагонов подробно рассмотрены в книге. К сказанному можно добавить, что многие результаты, полученные для двумерных решеточных моделей, могут быть непосредственно применены при рассмотрении ряда реальных систем, например в теории адсорбции, и других двумерных и квазидвумерных систем. [c.5]

Аналогичным образом восьмивершинная модель помогла нам понять более сложные системы и все разнообразие поведения, которое может проявляться. Модель жестких гексагонов выглядит довольно экзотически, но и она не нуждается в оправдании, поскольку идеально представляет решеточный газ и может быть сопоставлена с мономолекулярным слоем гелия, адсорбированного на поверхности графита [199]. [c.8]

Александер [3] привел соображения в пользу того, что модель Поттса с = 3 и модель жестких гексагонов (каждая из которых имеет три упорядоченных состояния) должны относиться к одному классу универсальности и иметь одинаковые критические показатели. Тогда, используя результаты для модели жестких гексагонов (14.7Л2), (14.7.13), получаем [c.352]

Исторически превосходным примером использования угловых трансфер-матриц является модель жесткого гексагона. Она представляет собой двумерную решеточную модель жестких (т. е. неперекрывающихся) молекул. В данной модели частицы располагаются на узлах треугольной решетки, так что никакие две из них не могут одновременно находиться ни на одном и том же узле, ни на соседних узлах. Типичное допустимое расположение частиц показано на рис. 14.1. Если мы представим себе, что каждая частица находится в центре гексагона, покрывающего шесть соседних граней треугольной решетки (такие гексагоны на рис. 14.1 заштрихованы), то приведенное выше правило допускает только неперекрывающиеся гексагоны отсюда и название модели. [c.401]

Заметим, что (14.2.9) удовлетворяется при всех г в пределе L — О и М— -00, который соответствует модели жестких гексагонов. Данное условие не удовлетворяется при L, Л/ — О, что соответствует модели жестких квадратов. Действительно, численные решения Бэкстера и др. [47] модели жестких квадратов показали, что собственные значения угловой трансфер-матрицы данной модели не обладают никакими простыми свойствами типа (14.1.14). [c.410]

Таким образом, завершен вывод выражений для подрешеточных плотностей и параметра порядка обобщенной модели жесткого гексагона. Мы рассмотрели отдельно четыре области, но теперь можно видеть некоторые общие черты нам удалось найти рекуррентные соотношения, определяющие F (0) и F (l). В областях I, III и IV выражения для F (0) и F (l) представлены в виде бесконечных рядов. Затем мы использовали подходящие тождества Роджерса — Рамануяна из списка Слэтера [210] для записи F (0) и F (l) в виде бесконечных произведений типа тэта-функций. (В области II программа оказывается более сложной, но в данном случае также удается записать F (0) и F (l) в виде суммы самое большее двух произведений типа тэта-функций.) Далее, подставляя полученные результаты в (14.5.2), мы обнаружили, что знаменатели соответствующих выражений можно упростить с помощью тождеств Рамануяна из списка Берча [54]. Наконец, найдено, что в областях II и IV параметр порядка R = — р2 равен отношению произведений 0-функций. [c.440]

Как обычно, из соотношения звезда — треугольник следует, что при всех комплексных значениях и и v матрицы У(и) и V(v) коммутируют. Следовательно, можно выбрать представление, в котором матрица У(и) диагональна при всех и. Тогда равенство (14.8.1) представляет собой функциональное соотношение для каждого собственного значения. Данное соотношение с учетом свойств аналитичности и квазипериодичности У(и) позволяет в принципе вычислить любое собственное значение при конечном N. Следовательно, можно определить свободную энергию, поверхностное натяжение и корреляционную длину. Результаты, конечно, согласуются с (14.3.26). Кроме того, для критических показателей /х, Ру v модели жесткого гексагона получено значение [c.449]

При рассмотрении модели Изинга, восьмиверщинной модели и модели жесткого гексагона мы сталкивались с симметричными биквадратными со-отнощениями вида [c.467]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...