Потенциал ячеечный

Несколько ранее Слэтер 1171 предложил в качестве базиса для разложения волновых функций другой тип функций — так называемые присоединенные плоские волны, или APW ). Прежде чем начать конструировать эти функции, целесообразно сначала выбрать какую-то аппроксимацию для потенциала, который будет использоваться в расчетах. Можно ожидать, что вблизи каждого ядра потенциал будет, скорее всего, сферически симметричным, а в пространстве между ядрами — слабо меняться. Поэтому естественно сконструировать потенциал следующим образом. Внутри сфер некоторого радиуса, окружающих каждое из ядер, будем считать потенциал точно сферически симметричным (радиус сфер должен быть достаточно малым, чтобы потенциалы, отвечающие различным атомам, не перекрывались), а в пространстве между сферами положим потенциал равным некоторой константе (фиг. 26). Обычно, конструируя истинный потенциал, которого можно было бы ожидать в кристалле, аппроксимируют его именно таким ячеечным потен- [c.100]

Фиг. 26. Схематическое изображение ячеечного потенциала.

Ячеечное приближение для потенциала [c.111]

ЯЧЕЕЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА [c.113]

Взаимосвязь между описанием с помощью сдвигов фаз и псевдо-потенциальным подходом можно уяснить себе, сравнивая рис. 10.2 и 10.6. Величина т) ( ) определяется равенством (10.34) с точностью до слагаемого — любого целого кратного я. На деле нам приходится автоматически выбирать значение, попадающее в стандартный интервал типа 0 т] ( ) л. Однако зто эквивалентно пренебрежению всеми сдвигами фазы, отвечающими осцилляциям функции (г 8) внутри сферы, т. е. всем тем фазовым углам, которые втянула бы в себя ячеечная сфера при гипотетическом непрерывном нарастании потенциала Уяч (г) от нуля до фактической [c.470]

Это резонансное описание электронной структуры переходных металлов физически и математически эквивалентно двухзонной модели ( 10.2). Однако оно обладает значительными преимуществами — цельностью логического построения и эффективностью при практических расчетах. Выясняется, например, что ширина -зон определяется главным образом шириной резонансного уровня Г в формуле (10.38). Последняя величина в свою очередь определяется деталями хода ячеечного потенциала и ч (г) и, таким образом, априори вводимым самосогласованным полем атома или иона в данном узле. Величины и Г для различных металлов можно вычислить последовательным образом и проверить ответ, сравнивая результаты расчетов зонных структур с экспериментальными данными о поверхностях Ферми. [c.472]

При всем его математическом изяществе в методе -матрицы, описанном в предыдущем параграфе, кроется внутреннее противоречие. Действительно, предположим, что потенциальная энергия системы имеет ячеечный характер ( 10.8) каждый атомный потенциал 17 (г) центрально-симметричен внутри своей сферы радиуса / яч1 не перекрывающейся с соседними. С помощью формул(10.34) и (10.35) мы могли бы найти -матрицу для такого объекта, решив радиальное уравнение Шредингера во внутренней области и выразив сдвиги фаз т]( Ш) при рассеянии через логарифмические производные функций(г Ш) при г = Лдч- Однако взглянем на любую формулу 10.6, в которой фигурирует символ . От нас требуется уметь вычислять выражения (в представлении волновых векторов) типа [c.485]

Основная особенность формулы (10.79) состоит в том, что интегрирование по д не имеет смысла, если не исключить сингулярность функции С в начале координат (вместе с тем оно играет важную роль, выделяя значения волнового числа д = к ъ полюсах подынтегрального выражения). К счастью, атомные сферы с центрами в точках Гг и Ку- не перекрываются, так что вектор (К г — — Ку — г ) никогда не может оказаться нулевым для точек, в которых, согласно условию (10.75), оператор пути рассеяния (г, г ) не обращается в нуль. Именно на этом этапе рассмотрения существенно используется условие о ячеечном виде потенциала. [c.491]

Воспользуемся ячеечным характером потенциала и введем локальную координату г внутри каждого полиэдра Вороного ( 2.11) как и в разложении (10.79), будем отсчитывать ее от ближайшего атомного центра В . ]3ид волновой функции в данной ячейке определяется как локальным потенциалом, так и волнами, приходящими из всех других ячеек [c.493]

В общем случае этот детерминант Ллойда бесконечного порядка, и точно вычислить его невозможно. Однако он дает явное представление инвариантной формулы, содержащей только матричные элементы -матрицы на изоэнергетической поверхности, и играет благодаря этим свойствам центральную роль в теории рассеяния. Далее при выводе соотношения (10.107) считалось, что рассматривается ячеечный потенциал ( 10.3), составленный из вкладов VI (г — Кг), каждый из которых центрально-симметричен в своей ячейке. Однако более тщательное исследование [50] показывает, что единственное необходимое условие состоит в том, чтобы суммарный потенциал Т т) обладал однозначным ячеечным представлением, т. е. потенциалы отдельных ячеек нигде не должны перекрываться. Иначе говоря, мы можем разбить нашу систему на ячейки Вороного, отделенные друг от друга лишь бесконечно малыми междоузельными областями, и считать, что во всем объеме каждой ячейки задано свое распределение У (г — К,), не ограничиваемое требованием центральной симметрии ячеечной ямы. С формальной точки зрения это означает просто, что ячеечные -матрицы (10.103) уже не обязательно диагональны по индексам, нумерующим парциальные волны при этом, правда, надо аккуратнее определить матричные элементы неполной функции Грина [c.500]

В ТОЧНОСТИ соответствует тому, что в формуле (10.107) функция Грина полностью отбрасывается. При этом спектр всей системы оказывается просто результатом наложения сумм Фриделя (10.102), отвечающих отдельным атомам, составляющим систему. Этот результат было бы трудно получить, исходя непосредственно из формулы (10.94) для комплексного волнового вектора к когерентной волны. В таком приближении системе атомов переходных металлов отвечал бы спектр, состоящий из -зон, ширина Г каждой из которых равнялась бы ширине соответствующего резонанса (10.38) в своей ячеечной яме. Это соображение оказалось полезным при рассмотрении энергетической зависимости псевдопотенциала в формулах типа (10.48) для массового оператора [14] и при анализе приближенных решений (10.82) уравнений метода когерентного потенциала для ячеечной модели бинарного сплава [34]. [c.502]

Еще один подход к задаче состоит в том, чтобы заменить каждый атомный потенциал ячеечной ямой ( 10.3) с должным подбором фаз. Эту модель нельзя считать удовлетворительной даже для типичных кристаллических полупроводников, поскольку в ней не учитываются важные эффекты, обусловленные влиянием междоузельных областей (см. рис. 10.6). Однако она позволяет достаточно точно вычислить локальную плотность состояний для довольно больших неупорядоченных кластеров атомов (см. 10.9). В полученном таким образом спектре в окрестности запрещенной зоны соответствующего кристаллического материала (см. рис. 10.16) намечается появление псевдощели . Не существует, однако, убедительного доказательства того, что она превратится в запрещенную зону в точном смысле слова в предельном случае бесконечного образца. В принципе в этом подходе химический механизм находит себе частичное отражение в фазах рассеяния р-волн при энергиях, близких к атомным р-уровням, появляются широ- [c.537]

Изотермы упорядоченной и однородной фаз различаются на 10%. Поэтому переход между ними возможен. Для того чтобы провести линию сосуществования двух фаз, необходимо использовать термодинамическое рассмотрение. При сосуществовании двух фаз их химические потенциалы должны быть равны, а так--же должны быть равны давления. Для однородной фазы известно абсолютное значение энтропии, а значит, и химического потенциала, а также выражение для давления с. высокой точностью 1%. Для периодической же структуры энтропия определяется путем интегрирования с. точностью до аддитивной постоянной. Для ее определения рассматривается система, в которой не может происходить фазовый переход. Предполагается, что центр частицы не может выходить за пределы элементарной ячейки объемом п=1//Л при всех плотностях. При этом частицы при достаточно больщих V будут сталкиваться как с соседними частицами, так и со стенками ячейки. При больших плотностях частица в основном будет сталкиваться с соседними частицами, а при малых — в основном со стенками ячейки. Наличие стенок будет препятствовать разрушению упорядоченной структуры при малых плотностях. Для малых плотностей можно точно рассчитать термодинамические свойства искусственной ячеечной системы, а также однородной системы. При высоких плотностях введение ячеек не играет роли, так как оно не дает дополнительного вклада в коллективную энтропию. В настоящее время считается неправомерной существовавшая ранее точка зрения, чго коллективная энтропия появляется при плавлении. Экстраполяция упорядоченной структуры через область метастабильности в область малой плотности позволила определить абсолютное зна- чение энтропии во всем диапазоне плотностей. [c.201]

Не так давно Хейне [54] развил аналогичный подход к зонным структурам переходных металлов с несколько иной точки зрения, используя метод функций Грина, который применили Корринга, Кон и Ростокер о нем мы кратко упоминали в 4 настоящей главы. Как и в методе присоединенных плоских волн (APW), в теории использовался ячеечный потенциал ). При таком подходе вся информация об атомных потенциалах входит только через логарифмические производные волновых функций на поверхностях сфер, описанных около ионов. Эти же величины можно выразить и через фазы. Фазы s- и р-состояний выражают, конечно, с помощью псевдопотенциалов простых металлов для I = 2 фазу берут в резонансной форме [c.232]

В теории электронной зонной структуры фундаментальные ограничения, присущие методу псевдопотенциала, удается обойти, представляя кристалл в виде пространства, заполненного решеткой ячеечных потенциалов ) (рис. 10.5). Предполагается, что каждый ион находится в центре сферической области, внутри которой потенциал сферически симметричен. Эти сферы нигде не перекрываются вмеждоузельнойобласт,и потенциал считается постоянным. [c.466]

Затем эту потенциальную энергию надо рассечь на ячеечные ямы. Естественно стремиться выбрать радиус ячейки i яч как можно большим, лишь бы не перекрывались различные сферы. Это нетрудно сделать в случае правильного кристалла — подойдут сферы, вписанные в каждую ячейку Вигнера — Зейтца (рис. 1.1, а). Однако для топологически неупорядоченной системы, в которой полиздры Вороного (рис. 2.42) неодинаковы, зта задача приводит к затруднениям. В случае систем типа жидкого металла, довольно хорошо представляемых в виде случайного плотно упакованного набора твердых шаров ( 2.11 и 6.7), величина i яч определена однозначно, но в предельном случае газового беспорядка ( 2.15) ячеечное описание не дает удовлетворительного приближения для полной потенциальной энергии ( 13.4). Иначе говоря, в отсутствие трансляционной симметрии решетки (2.1) мы опираемся на атомарный характер потенциала (2.2) как на [c.467]

Наконец, следует сгладить потенциал внутри каждой сферической области, придав ему центрально-симметричную форму Уяч (г), и определить положение ячеечного нуля отсчета энергии яч., 01 усреднив Т (г) по междоузельной области. Эти намеренные искажения и упрощения вносят ошибки, которые можно скорректировать в процессе расчета блоховских волновых функций (см., например, [8]). Однако ими почти всегда пренебрегают в случае неупорядоченных систем, значительно более сложном в расчетном и геометрическом отношениях. К сожалению, это приближение не оправдано для широкого класса топологически неупорядоченных материалов типа тетраздрических стекол ( 2.8), в которых распределение потенциала в междоузельных областях может оказаться вовсе не локально однородным (рис. 10.6). Кроме того, надо помнить, что крупномасштабные вариации плотности заряда, связанные с деформационным потенциалом (10.26), совершенно не учитываются в модели ячеечных потенциалов, которая тем самым не согласуется с континуальной интерпретацией плазменного сопротивления жидких металлов. [c.468]

Выбор между псевдопотенциальным подходом и методом -матрицы определяется природой самосогласованного потенциала (г). Ставя себе цель установить связь между электронными свойствами и атомной структурой данного материала, мы едва ли сможем продвинуться вперед, если этот потенциал не имеет приближенно атомарного вида в смысле формулы (2.2). Для того чтобы суметь использовать данные дифракционных опытов относительно расположения атомов (гл. 4), мы практически обязаны предположить, что величину Т (г) можно выразить в виде суммы независимых атомных потенциалов г (г — К ), каждый из которых цен-трально-симметричен относительно ядра своего атома. В общем случае, однако, выражение типа (10.11) представляет собой лишь грубое приближение к физически корректному описанию потенциала, и вид атомных потенциалов г (г — К ) может быть определен неоднозначно. Когда эти потенциалы и в самом деле можно-выбрать такими, что они нигде не перекрываются (рис. 10.5), мы можем сказать, что имеем ячеечный потенциал со свойственными ему радикальными математическими преимуществами от использования канонического представления сферических гармоник и сдвигов фаз. Во многих случаях, однако, было бы неверно с физической точки зрения пренебрегать эффектами, обусловленными перекрытием вкладов от соседних атомных потенциалов на различных расстояниях и в различных направлениях (рис. 10.6). В подобных случаях полезны гибкость и известная нестрогость. метода псевдопотенциала. Использование суперпозиционных формул типа (10.29) облегчает вывод интересных математических соотношений, отнюдь не оторванных от реальности. [c.473]

Стандартной классической моделью служит система неперекры-вающихся сфер, сквозь которую распространяется возбуждение заданной частоты. На нашем языке это соответствует решению уравнения Шредингера (10.1) в поле ячеечного потенциала (10.11) (см. 10.3) при фиксированном значении энергии = и . В макроскопической задаче волновая функция есть непосредственно наблюдаемая величина поэтому мы будем исходить из уравнения Шредингера в интегральной форме [c.493]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...